книги / Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений

некоторую метрику р и топологию, соответствующую ей. Мы будем рассматривать только метрики, задаваемые следующим образом. Фиксируется некоторая система 9!Я

Конечно, чтобы равенство (2.3) определяло метрику, нужно взять достаточно богатое семейство функций /: каждый заряд ^I G F должен однозначно определяться интегралами < ц, / > при / е ЗЯ.

Пусть зафиксирована некоторая конечная мера т на (Z?, Jf). Будем говорить, что метрика р в F, определяемая равенством (2.3), удовлетворяет условию (1), если для

Условие (1) позволит нам в дальнейшем свести изуче­ ние больших уклонений для мер к изучению больших уклонений для случайных векторов в конечномерном пространстве и воспользоваться результатами § 1 гл. 5.

Метрика (2.2) на V = У([0, 1]) — частный случай метрики (2.3) с системой ЗЯ, состоящей из индикаторов всех отрезков [0,#]; она удовлетворяет условию (1), если в

ограниченных по модулю единицей и удовлетворяющих условию Липщица с константой 1 (эта метрика соответст­ вует обычной в теории вероятностей С*-слабой сходи­ мости в пространстве V). Если т — произвольная

предположить, что в 9Й существует счетное подмножество М0 такое, что для каждой функции f ^ Ши меры ц най­ дется ограниченная последовательность / п элементов 9Й0, сходящаяся к / почти всюду относительно меры ц. Мы всегда будем считать, что это условие выполнено.

Пусть теперь имеется семейство случайных мер яЛ, зависящее от параметра А. Будем для простоты считать, что h — положительный числовой параметр.

Основное наше предположение состоит в следующем. Найдется функция X(h), стремящаяся к +оо при h | О,

Так же, как в § 1 гл. 5, доказывается, что # (/) — выпук­ лый вниз функционал. Мы сделаем следующие предполо­

дифференцируема.

А.2. Если ограниченная последовательность {fn} из­

§ 2] БОЛЬШИЕ УКЛОНЕНИЯ ДЛЯ СЛУЧАЙНЫХ МЕР 403

принимающий неотрицательные значения, включая, мо­ жет быть, +оо.

Перечислим основные свойства функционала S(\i). Попутно мы введем некоторые обозначения, которые будут употребляться в дальнейшем.

В.1. Для того чтобы 5(ц) < оо, необходимо, чтобы эаряд ц являлся мерой. Если nh(E) = 1 с вероятностью!, то /5(ц) < оо только для мер ц с р(£') = 1. Функционал S полунепрерывен снизу относительно В*-слабой сходи­ мости.

В.2. При любом s > 0 меры р, такие, что £(р) ^ s, равномерно ограничены и равномерно абсолютно непре­

Наметим доказательства этих свойств (полные доказа­ тельства можно найти в работе Г е р т н е р а [3]).

В.1 доказывается очень просто, при этом даже не ис­ пользуются предположения A .l, А.2. Например: если

В.2. Если S(p) ^ s, пользуемся тем, что верхняя грань (2.5) не меньше, чем значение выражения в квадратных скобках при / = yyvA, у > 0. Получаем

р ( Л ) < я (ухл) + * V

Ограниченность следует отсюда сразу. Чтобы убедиться в равномерной абсолютной непрерывности, достаточно дока­ зать, что для любого е > 0 существует б > 0 такое, что из т(А) < б вытекает р(Н) < е для всех мер р е Ф($). Выбираем у так, чтобы s/y было меньше, чем е/2; из уело-

номерной абсолютной непрерывности рп, р.

В.4. Согласно А.1 существует производная H'(f)(h) = *= lim y~1(H(f + yh) — H(f)) — линейный функционал от

Y->0

A G S. Равенство pf{A) = H'(f)(%A) задает на (E, <%) конечную положительную счетно-аддитивную (в силу ус­ ловия А.2) меру. Из свойств выпуклых функций (см. Р о ­ ка ф е л л а р [1 ]; мы уже использовали эти свойства при доказательстве леммы 5.2 гл.7) вытекает, что неравенство (2.6) достаточно проверить для мер р, для которых верх­

§ 2] БОЛЬШИЕ УКЛОНЕНИЯ ДЛЯ СЛУЧАЙНЫХ МЕР 405

Сформулируем теперь основной результат этого па­ раграфа.

Т е о р е м а 2.1. Пусть метрика р удовлетворяет условию (1), предел (2.4) существует, и функционал H{f) удовлетворяет условиям A .l, А.2. Тогда Л(й)5(|ы) — функционал действия для семейства случайных мер лл

р (л*, р) ^ р~ (л'1, |х) + шах <лЛ, wy + max <ji, w>. (2.10)

Так как в силу В.2 мера р, абсолютно непрерывна отно­ сительно т, то при достаточно малом ба последнее слагае­ мое в правой части (2.10) будет меньше 6/4, так что

Р{р(л\ ц) < б } >

> Р {ря (nh, р) < 6/2} — Р {max <л\ w)>> 6/4). (2.11)

Применяя теорему 1.2 гл. 5 к семейству конечномерных случайных векторов т)л = {лл(у)}ю€$[» ft j 0, и учиты­

вая, что в конечномерном пространстве все нормы эквива­ лентны, получаем оценку

Р{ря 0*h, ц) < 6 / 2 } >

> ехр { - Я,(h) [5e (р) + v/2])> ехр { - \ (A) [S (р) + V/2]}.

(2. 12)

Оценим теперь вычитаемое в формуле (2.11). Экспо­ ненциальное чебышёвское неравенство дает нам при лю­ бом х > 0

Р { « и?> > 6/4} ^

^ ехр кХ (h) -j j Мexp {кХ (h) <л\ w}} =

Выражение в квадратных скобках сходится при h | 0 к

х-^- — Н (xw). Если мы выберем х достаточно боль­

шим, а затем уменьшим выбранное 8i так, чтобы H(xiv) было достаточно малым для всех w е 33 (это можно сде-

в правой части (2.14), воспользуемся включением Ф51 (s) с :

^ {Ф (s)}^ /4(CM. формулу (2.7)) и применим к семейству

конечномерных векторов т)л = (nh} (vx)t .. .лпк(уп)) теоре­ му 1.1 гл. 5:

Р (Ра « Ф (*)) ^ 6/2} < Р {ра (nh, Фа (в)) > 6/4} <

< е х р { — %(h) (s — v/2 )}.

Второе слагаемое в (2.14) оценивается при помощи фор­ мулы (2.13), и при малых h получаем оценку (2.9).

Рассмотрим пример. Пусть (£*, Рх) — диффузионный процесс на компактном многообразии Е класса С^°°К управляемый эллиптическим дифференциальным операто­ ром L с бесконечно дифференцируемыми коэффициента­ ми; рассмотрим семейство случайных мер лт, задаваемых формулой (2.1). Проверим, что для этого семейства выпол­ няется условие существования предела (2.4), в котором вместо h | 0, параметр Т стремится к оо, а в качество функции X берется Т: для любой функции / е В сущест­ вует конечный предел

Для этого, как при доказательстве теоремы 4.2 гл. 7, заметим, что семейство операторов

образует полугруппу, действующую в пространстве В. Если g(x) — неотрицательная функция из В, принимаю­ щая положительные значения на каком-либо открытом

Справедливость условий А.1 и А.2 вытекает из результатов теории возмущений. Далее нетрудно доказать, что верх­ нюю грань в определении функционала S(\x) достаточно брать не по всем функциям из В, а только по непрерыв­ ным:

Для непрерывных функций / логарифм спектрального радиуса оператора Т{ совпадает с собственным значе­

имеющим максимальную вещественную часть; это собст­ венное значение вещественно и однократно. На гладких функциях инфинитезимальный оператор А* совпадает с эллиптическим дифференциальным оператором L + /; от­ сюда вытекает, что под X(f) в формуле (2.16) можно пони­ мать максимальное собственное значение оператора L + /.

При каждом Т > 0 случайная мера ят — вероятностная. Согласно В.1 функционал £(ц) конечен только для вероятностных мер ц. Так как для любой кон­ станты с справедливо равенство Щ + с) = X(f) + то

Для мер |л, обладающих положительной гладкой плот­ ностью относительно риманова объема т , индуцирован­ ного римановой метрикой, связанной со старшими чле­ нами оператора L, можно выписать уравнение Эйлера для экстремали задачи (2.17) и получить выражение для S{|х), не содержащее нижней грани. В частности, если опе­ ратор L самосопряжен относительно т , уравнение для экстремали решается явно. Нижняя грань (2.17) дости­

гается для и = ^ - 2 и функционал £(ц) может быть

записан в виде

dm.

Аналогично вычисляется функционал £((4,) для меряг в случае, когда (£*, Р*) — процесс в ограниченной облас­ ти с отражением на границе (Г е р т н е р [2 ]).

§3. Процессы с малой диффузией

сотражением на границе

Вглавах 2—6 мы рассматривали применение вероят­ ностных методов к первой краевой задаче для дифферен­ циальных уравнений с малым параметром при старших производных. Естественн о возникает вопрос о том, что можно сделать для второй краевой задачи или для сме­ шанной, когда на части гра­ ницы задаются условия Ди­ рихле, а на другой — ус­ ловия Неймана.

Пусть гладкая граница

ограниченной области D сос­ тоит из двух компонент дхD и dJD. .Будем рассматривать краевую задачу

и функция / предполагаются достаточно гладко зависящи­ ми от х* Такая задача имеет единственное решение, кото­

по направлению I на части границы d}D;xe= min{£:X® е е d.zD) (рис. 20). Асимптотика решения ие может быть выведена из результатов, касающихся предельного пове­

дения X® при малых е. Начнем с результатов типа закона больших чисел.

Рассмотрим наряду с процессом X® динамическую

систему xt = b(xt) в J5, получающуюся из него при е =* 0. Из результатов гл. 2 следует, что траектория диффузшш-

с вероятностью, близкой к единице при малых е, близка к траектории xt(x) динамической системы вплоть до момента выхода xt(x) на границу (если этот момент конечен). Отсю­ да получаем: если x t(x) выходит на d2D раньше, чем на dxD, и в точке выхода у(х) поле Ънаправлено строго нару­ жу области, то значение ие(х) решения задачи (3.1) в данной точке ж е й сходится при е -> 0 к f(y(x)).

Если процесс Xf начинается в точке х е дхD (или достигает, двигаясь вблизи траектории динамической сис­ темы, части границы dj) раньше, чем d2D), то его наибо­ лее вероятное поведение зависит от того, направлено по­ ле Ъ(х) в этой точке строго внутрь области или наружу.

В первом случае Xf будет близко к траектории той же

самой динамической системы xt = b(xt), выходящей из

пусть все траектории динамической системы xt = b(xt), начинающиеся в точках х е D (J дXD, выходят из области

(естественно, через часть границы д2В). Тогда решение ие(х) задачи (3.1) при е -> 0 равномерно по х & D \J dD сходится к решению и°(х) вырожденной задачи

ы°(*)|э2о = /(*)•

Если поле Ъна dxD направлено строго наружу области, траектория динамической системы выходит из D (J dxD

через часть границы dxD, и процесс Xf лишен возможно­ сти следовать за ней. Оказывается, в этом случае Xf на­

чинает двигаться вдоль траектории системы xt = b(xt) на

дхD, где поле Ъ получается проектированием Ъ на каса­ тельное направление параллельно направлению отраже­ ния L Этот результат тоже допускает формулировку на языке уравнений в частных производных, но не в рассмот­