книги / Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений

ности уровня {X : V(x) = F0}. Пусть xv . . хп, . . . — последовательность точек из А, сходящаяся к хм (рис. 18).

Ясно, что точки поверхности {х : V(x) = F0} не принад­ лежат А, и V(xn) > F 0. Заметим, что в силу выбора е Ф е* точка Хоо не совпадает с точкой х* разрыва функции а.

при тг оо.

Оценим значение функционала Sa от функции ф*п) при

S lo (ф(п)) = I L W r\ a Wtn)), poo) dt ~

<П

{x0,x ) ^ V a(z0, ф^) + ^ п0(ф(п)).

Первое слагаемое здесь не превосходит е + (1 + е) X X V е -f (1 + e)F0; второе оценивается формулой

(2.9). Значит, при достаточно больших л будет выполнять­ ся неравенство

Va ixoi xn) < е + (1 + е) V0+ (1 + е) (V (xn) — F0) —

Для доказательства второй части достаточно восполь­ зоваться теоремой 4.3 гл. 5 в применении к непрерывным

ряющая условиям этой теоремы, и что при любом х0функ­

ция аХо (х) = а(х, V^F*^)) принадлежит классу §1 до­ пустимых управлений. Из этих условий вытекает, в част­ ности, что для любых двух достаточно близких точек х0, xL^ D существует управляющая функция а(х) такая, что из xL ведет в х0 «наиболее вероятиая>> траектория —

решение уравнения xt — b(xt, a(xt)). Введем дополнитель­ ное требование, состоящее в том, чтобы 0 был при каждом

близких.

Т е о р е м а 2.3. Пусть выполнены сформулированные

рем управляющую функцию а{х) следующим образом: в пре­

вольным образом, лишь бы а{х) было непрерывно, и из любой

точки области D решение системы xt = b(xt, a(xt)) при положительных t, оставаясь в пределах D, достигало мно­ жества ВХо. Тогда при любом х е D

системы xt = b{xt, a{xt))\ это, вместе с устройством функ­

ции а{х) для остальных»х, показывает, что точка х0— единственное положение устойчивого равновесия, к кото­ рому притягиваются траектории, выпущенные из всех точек области. Теперь (2.10) вытекает из теоремы 4Л гл. 4* обобщенной такл как это указывается в § 4 гл. 5.

§3. Примеры

Вконце главы 5 мы рассмотрели пример вычисления квазипотенциала и асимптотик среднего времени выхода из окрестности устойчивого положения равновесия и ин­ вариантной меры для семейства одномерных процессов, делающих скачки вправо и влево на h с вероятностями

li~xr(x)dt, h~xl(x)dt за время dt. Тем самым мы нашли харак­ теристики устойчивости положения равновесия. Этот пример допускает много различных интерпретаций; в частности — процесс деления и гибели большого числа клеток (см. § 2 гл. 5). Вопрос устойчивости положения равновесия такой системы, т. е. вопрос о времени, в тече­ ние которого численность клеток остается в данных пре­ делах, может представлять большой интерес, особенно если речь идет не о численности колонии бактерий, а, на­ пример, о численности клеток определенного рода в кро­ ветворной системе организма.

Другая конкретная интерпретация той же схемы — система, состоящая из большого числа элементов N, ко­ торые выходят из строя независимо друг от друга после показательного срока работы. Эти элементы начинают ре­ монтироваться; время ремонта показательное, с показа­ телем ц, зависящим от доли вышедших из строя элементов. Изменение этой доли х с течением времени — процесс указанного вида с h = N~x, r(x) = (1 — х)-Х (X — показа­ тель распределения срока работы), 1(х) — х-ц(х).

Не показательный срок ремонта или не показательное время между последовательными делениями клетки при­ водят к другим схемам; см. Ф р е и д л и н [8], Л е в и- н а, Л е о н т о в и ч, П я т е ц к и й- Ш а п и р о [1 ].

управляемых процессов устроено во всех точках одинако­ во; иными словами, функция Н и множество допустимых управлений в данной точке не зависят от х:

П(х, а, а) = Я(а, а); П(х) = П.

В этом случае не зависит от х и функция Я:

II (хх а ) = Н (а) = inf Я (а, а);

—аеп

Функция //(а) обращается в нуль только на одном век­

торе каждого направления (кроме а = 0). Геометрическое место концов этих векторов обозначим А. Уравнение (3.1)

можно переписать в виде VV(x) е А.

Уравнение (3.1) имеет бесконечное множество реше­ нии — r-мерных плоскостей вида VXo(X (х) = (а0, х — х0), а0 е А; но ни одно из них не является решением задачи RXo для этого уравнения. Чтобы найти это решение, за­ метим, что решения-плоскости зависят от (г — 1)-мерного параметра а0 е А и независимого от него одномерного параметра — скалярного произведения (а0, х0); это се­ мейство — полный интеграл уравнения (3.1). Как извест­ но (см. К у р а н т [1], стр. 111), огибающая произволь­ ного (г — 1)-параметрического семейства таких решений

также есть решение. Если у семейства плоскостей FXoa„ (я) при фиксированном х0 есть гладкая огибающая, то это и

ность Ux имеет но одной точке |30 на каждом луче, выходя­ щем из начала координат; посмотрим^ как найти эту точку.

Пусть образующая конуса VXo{x), соответствующая точке ро, является линией касания его с плоскостью

FXoa0(#) (а0 определяется единственным образом, потому что направление этого вектора задано: это — направле­ ние внешней нормали к Ux в точке |50). Тогда в сечении го­ ризонтальной плоскостью на высоте 1 получим (г — 1)- мерную плоскость {Р: (а0, Р) = 1}, касающуюся поверх­ ности Ul в точке ро (рис. 19). Ближайшая к началу коор­ динат точка этой плоскости находится от него в том же направлении, что точка а0, на расстоянии |а0|-1, т. е.

вергнуть поверхность А инверсии; через каждую точку полученной поверхности 1(A) проводим плоскость, орто­ гональную соответствующему радиусу, и берем огибаю­ щую этих плоскостей. Это геометрическое преобразова­ ние не всегда приводит к гладкой выпуклой поверх­ ности: могут появиться «угол­ ки» или ребра возврата. Мож­ но дать критерий гладкости Ux в терминах центров кри­

Рис. 19. визны исходной поверхнос­ ти А .

Если полученная поверхность Ux оказывается гладкой (один раз непрерывно дифференцируемой), решение зада­ чи оптимального управления получается следующим об­ разом. В область D вписывается наибольшая фигура, го­ мотетичная Ux с положительным коэффициентом подобия с, то есть фигура вида х0 + cUx, где х0 — какая-то точка из D (определяющаяся, вообще говоря, не единственным образом). Внутри этой фигуры оптимальное управляющее

поле а(х) определяется так: берется точка ро е E/i, нахо­ дящаяся на луче с тем же направлением, что х — х0; на­ ходится соответствующая точка а0 поверхности А; и

гается и что я0 непрерывным образом зависит от а0, про­

дет постоянно. В точках х, лежащих снаружи от поверх­

ности х0 + с11х, поле а(х) определяется почти произволь­ но, лишь бы оно «загоняло» все точки внутрь указанной поверхности.

Среднее время выхода будет при h | 0 логарифмиче­ ски эквивалентно exp {ch~1}.

сматривался частный случай этого примера, где речь шла об управлении диффузионным процессом с малой диф­ фузией при помощи выбора сноса.

П р и м е р 3.2. Имеется динамическая система, воз­ мущаемая малым белым шумом; мы можем подвергать ее управляющим воздействиям, величина которых в нашей власти, но которые сами по себе содержат шум. Матема­ тическая модель этой ситуации:

+ а ( Л Г ) № Г ) + е а (А Г )^ ] ,

где wtl wt •— независимые вииеровские процессы, а а(х) — управляющая функция, которая выбирается в пределах множества II(х).

± [26“ 1тах |Ь(^)| + а—1а] (или в пределах любого боль-

[хихг]

шего отрезка П(.г)). Имеем

нимум достигается при а = —for-2а -1. Функция II(х, а) обра­

а также при а = 0, что, впрочем, для нахождения опти­ мального квазипотенциала несущественно (легко проверяетсяА что |ах(.г)| и |а2(я)| превосходят указанную гра-

388 УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗМУЩЕНИЯХ [ГЛ. з

нпцу для |а|). Задача RXoдля уравнения Н (х, VXo (х)) = О сводится к уравнению

видеть, что min (VXQ(.r^, VXO(д\,)) достигает наибольшего

значения при таком х0, для которого VXo(^) и VXo(.г2) равны между собой. Это приводит к уравнению для х0

которое имеет единственное решение. После того как оптимальное положение равновесия х0 найдено, оптималь­ ное управление находится по формуле:

— Ьо '2ах (х) 1 левее точки хог

а(х) =

— Ьо 2а2(^)~1 правее точки х0.

Г Л А В А 9

УТОЧНЕНИЯ И ОБОБЩЕНИЯ

§1. Локальные теоремы, точная асимптотика

Вглавах 3, 4, 5, 7 были установлены предельные тео­ ремы о больших уклонениях, касающиеся грубой асимпто­ тики вероятностей типа Р {Xh ^ А }. Возникает вопрос: нельзя ли получить для семейств случайных процессов более тонкие результаты (которые получены для сумм независимых случайных величин) — локальные предель­ ные теоремы о больших уклонениях и теоремы о точной

асимптотике? Кое-что в этом направлении сделано; в этом параграфе мы дадим обзор этих результатов.

Если Xht — семейство случайных процессов, локаль­ ная теорема о больших уклонениях может касаться асимп­

тотики при h \ 0 плотности распределения pf (у) значения рассматриваемого процесса в момент t, где точ­ ка у отлична от «наиболее вероятного» при малых /г зна­ чения x(t) (причем, учитывая, что плотность определяет­ ся, вообще говоря, неоднозначно, мы должны указать, что речь идет, скажем, о непрерывном варианте плотно­ сти). Могут быть локальные теоремы, касающиеся сов­

тике плотности распределения какого-либо функционала F(Xh) в точках, отличных от «наиболее вероятного» зна­ чения F(x(-)).

Однако получение такого рода результатов, касающих­ ся сколько-нибудь широкого класса функционалов F и семейств случайных процессов Х л, пока нереально, хо­ тя бы потому, что предварительно должны быть получены результаты о существовании непрерывной плотности рас-

пределення у случайной величины F(Xh). По той же при­ чине исследования в области локальных теорем о больших уклонениях, касающихся плотностей значений процесса в отдельные моменты времени, пока ограничиваются слу­ чаем семейств диффузионных процессов, для которых вопрос существования плотности хорошо исследован и ре­ шается при минимальных ограничениях, в случае невырож­ денной матрицы диффузии, положительно. Плотность веро­ ятностей перехода ph(t, х, у) для значения диффузионного

процесса X*} в предположении, чтоХо=#, имеет смысл фун­ даментального решения соответствующего параболического дифференциального уравнения (или в случае диффузион­ ного процесса в области с достижимой границей функции Грина для соответствующей задачи). Это дает и дополни­ тельный способ исследования плотности рн, и область возможных применений.

Начнем с работы Ф р и д м а и а [1 ] — потому, что ее результаты более непосредственно примыкают к тому, о чем шла речь до сих пор (хотя она и вышла чуть позже работы К и ф е р а [1 ], содержащей более сильные резуль­ таты). Пусть ph(t, х, у) — фундаментальное решение урав­

ности вероятностей перехода соответствующего диффу­

зионного процесса (Х^, Р*). (Здесь нам удобнее обоз­ начать малый параметр при матрице диффузии А, а не е2, как мы это делали, начиная с гл. 4.) Полагаем

t

s 0i (ф)= j2 а и (ф*)Ы— ь1(ф.))Ы- ь’ (ф»))* * t

о

(1.3)