книги / Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений

Эта грубая локальная теорема о больших уклонениях по­

для достаточно малых t, где A h ct и а — положительные

кой границей 3D, исчезающий по достижении этой гра­

где VD(J, х1 у) определяется как нижняя грань значений функционала (ф) на кривых ср, соединяющих точки х и у за время г, не выходя из области D. Отсюда, в частности, вытекает, что

противоположный результат: если все экстремали прохо-

.92 УТОЧНЕНИЯ И ОБОБЩЕНИЯ 1ГЛ. 9

почти в точности) включаются также вопросы, касающие­ ся асимптотики переходной плотности диффузионного процесса (фундаментального решения параболического уравнения), не зависящего от параметра, при малых зна­ чениях времени. Действительно, пусть p(t, х, у) — плот­

процесса Xht за время 1. Процесс (X*, Р£) управляется диф­

ла решается в терминах римановой метрики р(х, у), свя­ занной с матрицей (atj) :

t

р{х, у) = min | [2 Х Д ф8) фЖ ] ,/2* -

Фо— I—У о

Легко проверить, что минимум функционала (1.9) по всем параметризациям <рв, 0 ^ s <1 t, данной кривой равен квадрату римановой длины кривой, умноженному на (2£)~*; а значит, минимум (1.2) равен (2г)—1 р(.г, г/)2.

Применение формулы (1.4) дает

Соответственно для переходной плотности диффузионного процесса с исчезновением на границе области D полу­ чается

где pD (х, у) — нижняя грань римановых длин кривых, соединяющих точки х и у, не выходя из D . Получаются также результаты, касающиеся отношения плотностей q и р при малых значениях временного аргумента, соот­ ветствующие (1.6), (1.7); в частности, «принцип неощути­ тельности границы» принимает такой вид:

если все кратчайшие геодезические, соединяющие точки х

были получены точные варианты этих результатов. При их получении существенную роль играют соответствую­ щие грубые результаты,—несущественно, в локальной или интегральной: форме: они дают возможность исключить из рассмотрения всё, за исключением окрестности экстремали (экстремалей) функционала действия; после этого задача становится локальной.

Точная асимптотика плотности вероятностей перехода из точки х в точку у оказывается различной в зависимости от того, являются точки х и у сопряженными вдоль какойлибо из связывающих их экстремалей или нет (см. Г е л ь ­ фанд и Ф о м и н [1]). В случае, когда точки х и у не

А. Д. Вентцель, М. И. Фрейдлин

писывается: это — плотность нормального распределения со средним срt и матрицей ковариаций ЫЕ; в точке у она

при стремлении к нулю диаметра окрестности D начала координат. Воспользуемся тем, что меры в пространстве

Абсолютная непрерывность позволяет выразить вероят­ ность любого события, связанного с процессом Х л, в виде интеграла от функционала от Yh\ в частности,

Р1Х?ег/ + £} =м{у?е=г/ + Я; ^ (y * )J .

1 4 *

уравнения Эйлера для экстремали, и, как легко проверить, интеграл сокращается с членами порядка ft-1/2, возникаю­ щими из второго интеграла в (1.21).

Из намеченного доказательства видно, что коэффициент K0(t, х, у) в разложении (1.13) имеет смысл условного ма­ тематического ожидания экспоненты от квадратичного функционала от винеровского процесса при условии wt = 0.

Положение не сложнее и в случае, когда точки х и у соединены конечным числом экстремалей, причем они не сопряжены вдоль никакой из них. В случае сопряженных точек можно выразить переходную плотность за время t при помощи уравнения Чэпмена — Колмогорова через переходную плотность за меньшее время; в полученном интеграле основную роль будут играть плотности в не­ сопряженных точках, и асимптотика получается приме­ нением метода Лапласа (конечномерного). Для плотности

~ C t —a e~~p(‘x'y)*/2t с различными а.

Что касается точной асимптотики в задачах о больших уклонениях, не сводящихся к одномерным или конечно­ мерным распределениям, то здесь пока сделано мало. Полученные результаты относятся не к вероятностям Ph{Xh e i ) и не к плотностям, а к математическим ожи­ даниям вида

пространстве мер, находящееся на положительном рас­

при Т -> оо к некоторой неслучайной мере иг(Г) (к одно­ мерному распределению процесса), и не стремящиеся к нулю отклонения меры яг от тпотносятся к области боль­ ших уклонений.

Семейства случайных мер, сходящиеся по вероятности к неслучайной мере, возникают и в других ситуациях, в частности, в задачах о пересечении уровня. Пусть,

Для случайных мер можно рассматривать предельные теоремы различного рода. Здесь мы приведем некоторые результаты относительно поведения вероятностей боль­ ших уклонений. Грубая асимптотика вероятностей боль­ ших уклонений для мер (2.1), связанных с марковскими

[3]; Гертиер также применил эти результаты к марков­ ским и к диффузионным процессам и рассмотрел ряд при­ меров. Наше изложение близко к работам Гертнера.

Пусть (Е, 3!) — измеримое пространство; обозначим В

Е