книги / Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений

5

5]

БОЛЬШИЕ УКЛОНЕНИЯ. ПГОДОЛЛхЕПИЕ

321

значения б >

0 можно

указать функцию ф( : [О,

Т]

RT

такую, что

sup

|<р, -

Ф, |<

8, ф0

= ф0, Фtk — Ф,й_, е= Лй

п

О

п

_

*

н 1

11

„?,

~

*?**-!> >

,2

^ fo *

~ 9 * -i)

- S .

Для

та-

кой функции

s

(ф) >

S

/ft (ф|* -

ф(*_,) -

8.

(5.9)

fe—1

Для точек р G

.4^ верхняя грань, входящая в определение

Zfe(|5),

достигается

(см.

V о к а ф е л л а р

[1 ]).

В

силу

этого

можно

указать

такие аке

Rr, что lk (cpfft—- cp^—1) =

=

(<PtA— ф/л_ 1? ak)—Yk (« а);

яри э т о м

a ft

удовлетворяют

соотношению

cp/ft — ф,А

=

VY/i (ak)-

Пусть

ф(т ) — произвольная

последовательность

сту­

пенчатых

функций, равномерно сходящаяся

при

т - >

оо

к ср. Определим последовательность ф(щ) из

условий:

фат) =

Фо>

<pim,=V a ^ (^ m>. a j

при

SG (fft_lf 1ft),

ф',”|о=*

— Ф()|—о- Тогда функции

ф(т>

сходятся

при m —>- оо

к

функции Ф4 в точках 0, ti, 12, . . ., tn =

Г. В самом деле,

< ’ - < рГ , -

? v .ff

*ft—1

«Л

V a # (ф 3, aft) ds -

ф//к — ф,

.

(5.10)

J

fk—1

Здесь

мы

воспользовались

тем,

что

из

сходимости

при

гк

m -*■ оо выпуклых функций

у™ (а) =

J

Я (ф!7П), a) ds

гк—1

322

ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ С УСРЕДНЕНИЕМ

(ГД. Т

Так как

ф'т) =

у аН (ф*т), ак) при s (= (г,,-.,

th), то

L

Фат)) = snp [(ф1т), а) — Я (у[т \ ос)] =

а

= (ф'Л аА) - Я (ф!т), ah).

(5.11)

Из

(5.10) и

(5.11) вытекает, что прп т

о о

| i W “ , Й”

) * "

о

а) - Я (ч,™

а)] ds -

П

-

tk

th

= 2

J № " ’, « » ) * - J

А = 1

-*k—1

*k—1

-> 2

h (ф** - Ф*_,) < V

(ф) + 6.

(5.12)

h—i

sup |

— (pt |< я, и чтобы f L (\|& фз) ds < S0T(ф) + у .

о« < т

5

§ 5]

БОЛЬШИЕ УКЛОНЕНИЯ. ПРОДОЛЖЕНИЕ

323

Из этого включения и оценки (5.5) вытекает неравен­

ство

Р (Рог ( * е, ф ) <

61 > Р {р оТ ( х м ’\ ф х)

< б ') >

> exp I— г~1

(q /) + Y)} > exp I -

г-1 (SoT(ф) +

2у)1

(5.13)

при

достаточно

малых е.

Докажем теперь второе неравенство, входящее в опре­

что так как функция

\Ь(х, у)| ограничена, то траектории

А®,

так же как

исходящие из точки х е

/Г, при

t е

10, Л принадлежат некоторому компакту F ClCoT{Rr).

Из

полупепрерывности функционала §от(ф)

по Ф ВЫТ(э-

кает, что для любого

0 можно выбрать б =

б7(ф) так,

что

5^(ф)> s — у/2,

если роТ(ф,

ф) < б и

SoT(ф )> s.

На основании полунепрерывности

5 от(ф) п0 Ф заключа­

ем,

что б7(ф) — полунепрерывный снизу функционал от

е Сот(й г): ф0 =

х, SoT(ф) ^

s}; обозначим 6Y=

inf

6Y(ф),

б' = 6Y/(4 КТ +

2), где К —■константа Липшица

тег,

функции

Цхч у).

и

пусть

Выберем в компакте F конечную б'-сеть,

Ф*1), . . ., ф(]У) — элементы

этой сети, не принадлежащие

множеству 0*(s). Очевидно, что

Р |Рог (Xе, Ф* («)) > 6) <

i

Р (РоТ (X е, ф(‘>) <

6'),

(5.14)

i= 1

324

ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ С УСРЕДНЕНИЕМ

[ГЛ. 7

Выберем ступенчатые функции

ф(2), . .

так,

чтобы риТ(Ф(*\ <P(i)) < 672

при i =

1, 2, . .

N. Из (5.14)

п (5.15) вытекает оценка

р IРот (х\ Фх(*)) > 6] <

s Р (рох

ф(1)) <

i—1

< (2 Я Г +

1)в').

(5.16)

тов относительно

поведения

процесса Xf — решения

системы (1.2). Эти

результаты

вполне аналогичны тем,

326

ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

С УСРЕДНЕНИЕМ

[ГЛ. Т

Для доказательства этой теоремы нам понадобится

следующая

лемма.

что выполнены

условия

Л е м м а

6.1. Предположим,

теоремы 6.1. Тогда, если V(xo, dD) < оо для

некоторого

xQе D,

то

функция

V{x,

dD)

непрерывна в

точке

хо.

Если V (О,

dD) < оо,

то V (х, dD) ^ V (О, dD) <оо

при

всех х е

Z),

и функция V(x, dD) непрерывна.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть Х\

и Z* — решения

уравнения (1.2), исходящие в момент

нуль из

точек хо

и z соответственно. Тогда

для

разности Х\ — Z\ выпол­

няется неравенство

| X ? - Z f | < eK7> 0- z | . ]

(6.3)

Если ТДхо,

dD) <

оо, то с учетом условия (6.1) для

любого у >

0 и достаточно малых б >

О можно построить

функцию срt, i e

[О,

Т], фо = хо, р(срг , D) >

б, для кото­

рой SoT(ср) <

F(x0, dD) -f у/4. Отсюда на основании тео­

ремы 4.1 заключаем, что при достаточно

малых

е > О

Р{т'/2<

Т} >

exp {-s-\V(xo,

dD) +

Y/2)},

(6.4)

где Тб/2 =

inf

{*: р

(Xf, D) > 6/2).

Пусть

|z — хо|<

< е-ктЫА;

А — событие, состоящее

в том,

что траекто­

рия Ъ\ до момента Г выходит из D. Из (6.3) и (6.4) выте­

кает оценка

Р(А) >

ехр { —e-1(F(x0, dD) + y/2)}.

ме 4.1: при достаточно

малых е >> О

Р (Л) < ехр

в - 1 ( inf S0T(ф) — Y/4)|,

f 6]

ПОВЕДЕНИЕ НА БОЛЬШИХ ИНТЕРВАЛАХ ВРЕМЕНИ

327

=3 2, и

выходит из 0

до момента Т. Из последних двух

оценок

получаем, что

при \XQ — z\ < е~кт6/А

в точке О. Пусть б1 таково, что |F(z, dD) — F(0, dD)

Y

при \z — О|< б1. Так как траектория усредненной

си­

328

ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ С УСРЕДНЕНИЕМ

[ГЛ. 7

Пусть

0 <

<1 <

. . . <

fn_ 1 <

Т,

5 >

О,

70, 71, . .

in_j — последовательность

целых

чисел.

Рассмотрим

множество ступенчатых функций на отрезке [0, Т J:

1(б) =

* (*) =

** ИР“

5 е 1*1» sft+i).]

/г =

0,

— 1;

s0 = 0,

К

~

при

1 <

ft <

п — 1,

sn =s Г;

ф (Г) = fn—l}.

Из (6.5) вытекает, что найдутся

целое /г >

0,

моменты

времени ti,

. .

tnl9 целые числа го, i’i, . .

in-i

п б '> 0

такие,

что

решение уравнения

Уг =

ф(0),

=

О,

выходит до момента Т из

D+$/2

при

любой

функции

ф е Л !1

!n—j(6'). Из

марковского

свойства

процесса £t

легко вывести, что при некотором

с <

оо

Учитывая

эту

оценку, приходим к заключению:

Р{х* < Г } > е-™ -1

(6.С)

при любом

е > 0.

в силу теоремы 4.1

С другой

стороны,

lim е In Р {т8 <

—

inf

S0T(<p),

(6.7)

где Я ?

=

|(f G Сот(Rr): ср0 = О, cps е dD при некотором

S < = 10,

Г ]}. Так как

V {О, dD) <

inf

Sот (ф)i то из (6.0)

и (6.7)

имеем

фе н £

V (0 ,3 Z ?)<

inf

5 ( ф ) < - lim g In P {т£ <

T) < с < оо,