книги / Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений

§ 3] НОРМАЛЬНЫЕ УКЛОНЕНИЯ ОТ УСРЕДНЕННОЙ СИСТЕМЫ 301

Здесь С{г) — постоянная, зависящая от размерности про­ странства.

Чтобы оценить / 2, заметим, что из дифференцируемости

элементов /£}(£, s) матричной функции Грина и из усло­ вия 2 теоремы вытекает оценка

t/г

t X Х/г t/г Wj/8 uslг

где ф (е, я, гг, со) = ф) (s, е, со) К{ (85, и). Из этих неравенств

исвязаны соотношением

X

% = + ф Г[6 ( X I Ы - ъ (xs, Ы ] ds.

V* j/

Отсюда, учитывая оценку (3.9) и ограниченность производных функции Ь(х, у), нетрудно получить оцен­

ку, аналогичную (3.9)1 для

м !£,•+* -й Г < г ? А * .

Эта оценка обеспечивает слабую комйактность процес­

сов t е [О, Г0]. Из слабой компактности и из схо­ димости конечномерных распределений вытекает слабая

сходимость процессов к Этим заканчивается доказательство теоремы 3.1. В § 8

мы рассмотрим некоторые примеры использования этой теоремы, а сейчас сделаем только одно замечание. Соглас­ но теореме 3.1

если функционал F(q>) ограничен и непрерывен на Сот0• Для разрывных функционалов такой предельный переход, вообще говоря, невозможен. Если, однако, множество то­ чек разрыва функционала F имеет для предельного про­

цесса £? вероятность нуль, то, как легко доказать, соот­ ношение (3.22) сохраняется. Пусть, например, имеется

область D СИ Rr о гладкой границей dD, и F(cp) = 1, ес­ ли т(ф) = inf {£: срt ^ d D } < T , и ^(ф) *= 0 для осталь­ ных функций из CoT(Rr). Этот функционал имеет разрывы на тех ф, которые до момента Т достигают dD, но не выхо­ дят из D U dD, и на тех ф, для которых т(ф) = Т. Если

матрица А 1*(х8) не вырождается, то множество траекто­ рий, достигающих dD до момента Г, но не выходящих из

J9, имеет для предельного процесса £? вероятность нуль. Это следует из строго марковского свойства процес­ са и из того, что невырожденный диффузионный процесс, начинающийся в точке х е dD, с вероятностью 1 до лю­ бого момента t > 0 побывает по обе стороны гладкой по­ верхности dD. Обращение в нуль вероятности Р{т(£°) =

при 8 -*■ 0 к Р{т(£°) < Г}. В частности, выбирая в качест­

I 3] НОРМАЛЬНЫЕ УКЛОНЕНИЯ ОТ УСРЕДНЕННОЙ СИСТЕМЫ 303

ве D шар радиуса б с центром в точке 0, получим

Пт Р ( sup |Xf —xt |> бф^е] = P {т (£°) > T}.

e-*0 ^0 >

Последнюю вероятность можно вычислить, решая соот­ ветствующее уравнение Колмогорова.

Упомянем еще об одной ситуации, в которой возникает диффузионное приближение для отклонений от траекто­ рий усредненной системы. Если вернуться к «медленному» времени, в котором записано уравнение (1 .1), то принцип усреднения, содержащийся в теореме 2 .1 , можно сформу­

где Z® — решение уравнения (1 .1), a xt — решение усредненной системы (1.4). В случае Ь(^) s 0 из этой

теоремы следует, что за время [0, TVs] процесс Z\ не отойдет на заметное расстояние от начального положения. Оказывается, что в этом случае перемещения порядка 1 происходят за временные интервалы порядка е“2. Повидимому, впервые на этот факт было обращено внимание в работе С т р а т о н о в и ч а [1 ]. Там же на физическом уровне строгости установлено, что семейство процессов

Zf/e* сходится при некоторых условиях к диффузион­ ному процессу и вычислены характеристики предельного процесса. Математически корректное доказательство это­

венства Ь(х) = 0 , содержат некоторые предположения относительно ограниченности производных функций Ь(х,у), а также относительно достаточно хорошего перемешива­ ния у процесса и существования моментов, приведем результат.

Введем обозначения:

aih{x, s, t) = МЛ1' (.г, У Ь* (х, I,),

В(х1у )= {В ){х ,у ))^ ^ ^ -у

Kl (x,s,t) = j^

Предположим, что равномерно по t0 > 0 и х е Rr существуют пределы

V е

ляют собой случайный процесс, который при е —►0 слабо сходится к некоторому марковскому гауссовскому процес­ су. Если усредненная динамическая система имеет асимп­ тотически устойчивое положение равновесия или предель­

из приведенных результатов вытекает, что с вероятностью,

близкой к 1 при малых е, траектории X) попадут в ок­ рестность предельного цикла или положения равновесия и проведут в этой окрестности как угодно большое время Г, если только е достаточно мало. С помощью теоремы 3.1 можно оценить вероятность того, что в течение фиксиро­

ванного времени [О, Т ] траектория Xf не покинет окрест­ ности De положения равновесия, если эта окрестность

имеет линейные размеры порядка ]/е . Однако приведен­ ные результаты не позволяют сколько-нибудь точно оце­

нить вероятность того, что X] покинет за время [0, Т ] заданную, не зависящую от е окрестность положения рав­ новесия; можно лишь сказать, что эта вероятность стре­ мится к нулю. Теоремы 2.1 и 3.1 не дают возможности

изучить события, определяемые поведениеАм процесса X? на интервалах времени, растущих вместе с е"1. Так, с по­ мощью этих теорем нельзя оценить время, которое про­

цесс Xet проведет в окрестности D асимптотически ус­ тойчивого положения равновесия до первого выхода из D.

За достаточно большие промежутки времени процесс X?, вообще говоря, будет переходить из окрестности одного положения равновесия усредненной системы в другие. Эти переходы происходят «вопреки» усредненному дви­ жению, за счет продолжительных отклонений процесса £t от своего «типичного» поведения. Одним словом, поло­ жение здесь вполне аналогично тому, с которым мы стал­ кивались в гл. 4—6 : чтобы изучить все эти вопросы, необхо­ димы теоремы о больших уклонениях для семейства процес­

сов X?. Сейчас мы введем для этого семейства функционал действия и с его помощью изучим вероятности маловероят­ ных при 8 « 1 событий, а также поведение процесса на временных интервалах, растущих с убыванием е. Эти результаты получены в работах Ф р е й д л и и а [9],

[1 1 ].

В дальнейшем мы будем считать для простоты, что ограничены не только частные производные функций

бы заменить предположением о конечности некоторых экспоненциальных моментов величины \Ъ(х, £*)|, но это несколько удлинило бы доказательства.

Будем говорить, что выполнено условие F, если най­

Если в качестве срв и а3 выбрать постоянные ф, а е

еДг, то из (4.1) получим

Ле м м а 4.1. Функция Н(х, а) непрерывна по сово­ купности переменных и выпукла вниз по второму аргу­ менту.

Действительно, из (4.2) следует, что

|Щх + А, а + б) - Щх, а)| < К |S| + ЛГ|а||Д|

п, стало быть, непрерывность доказана. Выпуклость по а тоже вытекает из (4.2), если принять во внимание выпук­

Определим функцию L(x, Р) как преобразование Ле­ жандра функции Н(х, а) по переменным а:

L (х, Р) «= sup [(а, Р) — / / (х, а)].

а

Функция Цх, Р) выпукла вниз по Р и полунепрерывна снизу по совокупности переменных; она принимает неотри­ цательные значения, включая + оо. Из ограниченности поля Ь(х, у) следует, что L(x, Р) = + о о вне некоторого ограниченного множества в пространстве переменных Р

§ 4] БОЛЬШИЕ УКЛОНЕНИЯ ОТ УСРЕДНЕННОЙ СИСТЕМЫ 307

Функция L{x, Р) полунепрерывна снизу по совокуп­ ности переменных. В самом деле, из определения L(x, р) вытекает, что при любых J , р е Rr и любом п > 0 можно

Отсюда, учитывая непрерывность функции Н{х, а), по­ лучаем, что при некотором Ьп = 8п{х, р, а п) и \х — х'\<1 < б п, ip - p ' i < 6 „

жению о существовании предела (4.1) для любых непре­ рывных ф5, а8.

З а м е ч а н и е 2. Переменные (,х, а) и (х, Р) изме­ няются, вообще говоря, в разных пространствах. Если

пучка; (ху Р) — точка касательного пучка.

Введем в рассмотрение функционал SoT (<р) на про­

странстве СаТ(Нг):

г

S OT (Ф) = J L (Ф.. Фа)

о

если фа абсолютно непрерывна; на остальных функциях из CoT(Rr) считаем SoT (ф) = +оо.

Л е м м а 4.2. Для любого компакта F0СГ Rr и любого

ограниченного множества в пространстве переменных р обращается в +оо, то множеству Ф^0 (s) могут при­ надлежать только функции, у которых производные рав­ номерно ограничены. Отсюда с учетом компактности мно­

мерно ограничены и равностепенно непрерывны. Таким

нуто. Замкнутость, очевидно, следует из полунепрерывности функционала SoT (ф) снизу. Но поводу полунепрерывности сошлемся, как и в § 2 гл. 5, на книгу И о ф ф е

Тогда функционал SoT (ф) будет функционалом действия в

Мы отложим доказательство этой теоремы до следую­ щего параграфа, а сейчас займемся некоторыми следст­ виями из нее и проверкой условий теоремы для некоторых классов процессов. Прежде всего заметим, что для любого

где [А] — замыкание, а (А) — совокупность внутренних

точек множества А в пространстве Сот (Rr). Оценки (4.5) следуют из общих свойств функционала действия (см. гл. 3). Если нижние грани в (4.5) по [А ] и по (А) сов­ падают, то из (4.5) вытекает соотношение

условие совпадения нижних граней функционала SoT (ср) по множествам [А] и (А) является более жестким, чем,

ное поле Ь(х, у) удовлетворяет условию Липшица, то для

если роТ (фх, фу) < б, где X8 = X8, У8 = У8 — решения уравнения (1.2 ) с начальными условиями х, у соответственно, К — постоянная Липшица. Отсюда на основании оценок (4.3) и (4.5) вытекает, что если

нено, и функция Н(х, а) дифференцируема по переменным а. Тогда функционал ^~lS^T (ф) — функционал действия для