книги / Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений

Эта оценка проверяется с помощью экспоненциального неравенства Чебышева. Отсюда и из (9.13) получаем, что

для любой функции ф еС 0т(Л-/) и любого у > 0 при доста­ точно малых б и 1!п

< М*,у |рот (X е, ф) < б; exp je~,/2 j (е (ф*п), У|), dws) —

-(28)“ * j |в ( й п), Yt) |?ds + - ^ j . (9.14)

Введем в рассмотрение еще процесс Z? = (Xf, У/), который в координатной форме определяется стохасти­ ческими уравнениями

364 ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ С УСРЕДНЕНИЕМ [ГЛ. 7

Как и большинство результатов, касающихся диффу­ зионных процессов, приведенная здесь теорема о больших уклонениях тесно связана с некоторыми задачами для дифференциальных уравнений второго порядка с неотри­ цательной характеристической формой. Рассмотрим при­

— b{Xzt lY^). Чтобы выписать функционал действия для

семейства процессов Xf, в соответствии с теоремой 9.2 и за­ мечанием 1 (или согласно теореме 4.1; здесь быстрое и медленное движение разделяются), нужно рассмотреть задачу на собственные значения

Nu (у) = 4~ Jji + («> ъ (*> У)) и = (У),

= 0.

дУ У=± 1

Пусть X = Х(х, а) — собственное значение оператора N с максимальной вещественной частью и Ь(х, (5) — преобра­ зование Лежандра функции Цх, а) по второму аргументу. Тогда нормированный функционал действия для процес­

сов Х* при в \ 0 на абсолютно непрерывных функциях

т

имеет вид Sor (ф) — ^ Ь (ф8, фS)ds. Чтобы найти асимптоти-

о

ку Рх,у [X* е О}, D а Дг, при г | 0 и асимптотику вероятностей целого ряда других событий, связанных с

точка х считается фиксированной, и мы ее будем иногда в обозначениях опускать. Как следует из теоремы 4.1, функционал действия обращается в нуль на траекториях усредненной системы и только на них. Можно доказать,

(9.17), для которой х0 ~ х и хи = z, то u(t0, z) = 0. Для нахождения функции u(t, z) можно воспользоваться урав­ нением Гамильтона — Ячоби. В рассматриваемом случае оно имеет вид

Так как N — самосопряженный полуограииченный оператор, то для его наибольшего собственного значения Jc(#, а) справедливо представление

X {х, а) = nun |-Е j [/' (i/)]2 dy — J (a, b (x, y)) f2 (y) cfyj,

где S = {/ : J |/ (y) | d y= 1, f (1) = /' ( - 1) = oj. Отсюда

вытекает, что решения уравнения (9.18) удовлетворяют следующему нелинейному дифференциальному уравнению

не находя первого собственного значения оператора N. Допустим, нам нужно найти асимптотику при е 1 0

множестве G (Z Rr. Легко видеть, что vz(tx х, у) -> f(xt(x))f

3G6 ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ С УСРЕДНЕНИЕМ [ГЛ. 7

где xt(x) — решение усредненной системы (9.17) с началь­ ным условием XQ{X) = х. В частности, если xt(x) ф G,

6 | 0 решения задачи (9.20) к решению задачи (9.21). Соотношение (9.18) позволяет оценить скорость этой схо­ димости.

Как мы видели в гл. 4 и 6, в стационарных задачах с малым параметром большие уклонения могут определять главный член асимптотики, а не только члены, стремя­ щиеся к нулю вместе с е. Рассмотрим стационарную зада­ чу! соответствующую уравнению (9.20). Для краткости

будем считать г = 1:

чи (9.22), по крайней мере обобщенное, всегда существует, но без дополнительных предположений оно не единственно

условие обеспечивает единственность решения задачи

(9.22). Если Zf = (Xf, yf) — процесс в полосе \у |^ 1 с отражением по нормали к границе, управляемый при

Рассмотрим теперь усредненную динамическую систе­ му (9.17) на прямой. Предположим, что траектории усред­ ненного уравнения, исходя из любой точки х е [—1, 1 ],

выходят из этого отрезка. Тогда, очевидно, функция Ь(х)

е[—1, 1], то положение существенно усложняется. См.

Г Л А В А 8

УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗМУЩЕНИЯХ

§1. Постановка задачи

Втеории обыкновенных дифференциальных уравнений много внимания уделяется исследованию устойчивости решений относительно малых возмущений начальных ус­ ловий или правых частей. В этой главе мы рассмотрим не­ которые задачи, касающиеся устойчивости при случайных возмущениях. Напомним сначала основные понятия клас­ сической теории устойчивости. Пусть динамическая систе­ ма

в Rr имеет в точке О положение равновесия: Ь(0) — 0. Положение равновесия О называется устойчивым (устойчивым по Ляпунову), если для всякой окрестности

ние равновесия О называется асимптотически устойчивым. С устойчивостью относительно возмущения начальных условий тесно связана задача об устойчивости при постоян­ но действующих возмущениях. Чтобы пояснить, в чем

где Z>t — некоторая ограниченная непрерывная функция

на полупрямой [0, оо) со значениями в Rr. Задача об устойчивости при постоянно действующих возмущениях может быть сформулирована так: при каких условиях на поле Ь(х) решение задачи (1.2) с начальным условием

шению хг = О? Можно доказать, что если положение рав­ новесия устойчиво в достаточно сильном смысле относи­ тельно малых возмущений начальных условий, то оно устойчиво и при постоянно действующих возмущениях. Например, если положение равновесия равномерно асимп­ тотически устойчиво, т. е. Пш xt = О равномерно по

I—> оо

х0 — х из некоторой окрестности точки О, то это положе­ ние равновесия устойчиво и относительно малых постоян­ но действующих возмущений (см. М а л к и н [1 ]).

Положение существенно меняется, если отказаться от ограниченности функции £* на полупрямой [0, оо). В этом случае решения уравнения (1.2) могут, вообще говоря, выходить из любой окрестности положения равновесия, даже если это положение равновесия устойчиво относи­ тельно возмущений начальных условий в самом сильном смысле. Да и само понятие малости постоянно действую­ щих возмущений в этом случае требует уточнения.

Пусть теперь £* в (1.2) — случайный процесс: £< —

—со). Если возмущения £*(со) равномерно малы по ве­

ничительно. Более естественно предположение о стрем­

лении к нулю sup М |^I2 или каких-либо других харак- t

теристик процесса £*, делгюцее маловероятным большое

значение |£*| в каждый фиксированный момент t, но позволяющее функции |£*(о>)| принимать большие зна­ чения в какие-то моменты времени, зависящие от со. При предположениях такого рода траектории процесса

хь вообще говоря, могут выходить рано или поздно из любой окрестности положения равновесия. Так, например, если — стационарный гауссовский процесс, то, как бы

ни было мало М|£*|2= а Ф 0, траектории xt свероятностыо 1 как угодно далеко отклоняются от положения рав­ новесия.

Чтобы пояснить характер тех задач, касающихся устой­ чивости при случайных возмущениях, о которых будет идти речь в этой главе, рассмотрим некоторый объект, состояние которого описывается точкой х е Rr. Предпо­ ложим, что эволюция во времени этого объекта описыва­ ется в отсутствие случайных возмущений уравнением (1.1), а случайные возмущения С*(о>) приводят к тому, что изменение состояния описывается уравнением

Мы допускаем в качестве £* и некоторые обобщенные слу­ чайные процессы, лишь бы уравнение (1.3) имело смысл, и для любой начальной точки х0 = х е Rr существовало единственное решение уравнения (1.3). Так, мы будем рассматривать случай, когда Ь(х, у) = Ь(х) -]-о(х)у, а £* — процесс белого шума или производная от пуассоновского процесса.

Предположим, что можно указать некоторую область D d Rr такую, что пока фазовая точка, характеризую­ щая состояние нашего объекта, принадлежит Z), объект не претерпевает существенных изменений, а когда фазо­ вая точка покидает!), объект разрушается. Такую область

D мы будем называть критической областью.

Пусть X? — решение уравнения (1.3) с начальным ус­ ловием XQ = х. Введем случайную величину т* = min{£:

X? ф. D] — время до разрушения объекта. В качестве меры устойчивости системы относительно случайных воз­ мущений при критической области D естественно выби­ рать различные вероятностные характеристики случайной