книги / Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений

величины т**). Так, если мы интересуемся нашим объек­ том только в течение отрезка времени [О, Г], то в качестве меры неустойчивости системы можно взять Р {т * ^ Т). Если интервал времени заранее не фиксирован, то устой­ чивость можно характеризовать величиной Мтх. В тех случаях, когда пребывание фазовой точки вне D не приво­ дит к разрушению объекта, а только нежелательно, в ка­ честве меры устойчивости можно выбрать значение инва­ риантной меры процесса на дополнении множества D (если инвариантная мера существует). Эта мера будет ха­ рактеризовать долю *времени, проводимую траекторией

X? вне области D.

Однако точное вычисление этих вероятностных харак­ теристик возможно только в редких случаях, главным об­

разом когда X* оказывается марковским процессом или компонентой марковского процесса в пространстве больше­ го числа измерений. В марковском случае рассматривае­ мые вероятности и средние значения являются, как из­ вестно, решениями некоторых краевых задач для соответ­ ствующих уравнений. По даже в тех случаях, когда можно написать какие-то уравнения и краевые условия, извлечь из этих уравнений полезную информацию не так-то про­ сто. В связи с этим представляет интерес нахождение раз­ ного рода асимптотик указанных вероятностных характе­ ристик при стремлении к нулю тех или иных параметров, вводящих в уравнение.

В целом ряде задач можно считать, что интенсивность шума в некотором смысле мала по сравнению с детермини­ рованными факторами, определяющими эволюцию системы. Таким образом, в задаче появляется малый параметр. Ес­ ли точка О — асимптотически устойчивое положение рав­ новесия невозмущенной системы, то выход из области D происходит за счет малых случайных возмущений, вопре­ ки детерминированным составляющим. В таких ситуаци­

*) Заметим, что величина %х может оказаться с положительной

мущениями, исчезающими при приближении к положению равно­ весия, можно создать теорию устойчивости, близкую к классиче­ ской теории (см. X а с ь м и н с к и й [1J).

мощью функционала действия. Хотя таким образом уда­ ется вычислить только грубую, логарифмическую асимпто­ тику, этого бывает достаточно во многих задачах. Так, логарифмическая асимптотика позволит нам сравнивать различные критические области, различные векторные поля Ь(х, у), а также позволит решить некоторые задачи

мущений системы (1.1); вероятности и математические ожидания, соответствующие данному значению параметра и дайной начальной точке, будем обозначать соответствен­

Здесь уместно ввести следующую меру устойчивости нашей системы относительно данного вида случайных воз­

где множество НхУ (t) состоит из всех функций ф8, опреде­

совпадают, то вероятность Pj{xD^ Т} логарифмически эквивалентна ехр {—X(h)VQ'x}. Заметим, что для совпа­ дения нижних граней по замыканию и по внутренности достаточно (в случае функционала S{)T вида, рассмотрен­ ного в гл. 4, 5), чтобы область D совпадала с внутрен­ ностью своего замыкания.

значений функционала S{)T от функций cpt, определенных

который (теорема 4.3 гл. 5) находится как решение соот­ ветствующей задачи для уравнения в частных производ­ ных первого порядка. Согласно результатам гл. 4—7 при соответствующих предположениях относительно про­

цессов Xht я области D среднее время выхода из области

мится к положению равновесия О (теоремы 4.1 гл. 4, 5.3 гл. 6, 6.1 гл. 7). В этом случае математическое ожидание представляет собой типичное с точностью до логарифми­ ческой эквивалентности значение времени выхода; а имен­ но, для любого у > О

!im Р£{ехр {k(h) [|.i0 — у]} < t D < ехр {Х(Д)[|л0 + у]}} = 1 h\,О

(теорема 4.2 гл. 4). Кроме того, значение нормированной

инвариантной для Xht меры на множестве Rr \ D лога­ рифмически эквивалентно ехр {—X(/i)jiD} (теоремы 4.3 гл. 4, 4.2 гл. 5). Таким образом, если отрезок времени за­

значение inf inf u(t, х, у) (или inf V(0, г/)), а затвхМ

заменить большей областью Dc с прежним значением Я.

ивозмущений типа «белого шума» (т. е. Xf = АХ]

+-eu;t) оптимальная критическая область для задачи без фиксированного отрезка времени имеет вид эллипсоида (см. пример 3.2 гл. 4).

Перейдем к задачам оптимальной стабилизации. Предположим, что в возмущенном уравнении (1.3)

содержится параметр, которым можно управлять (или несколько параметров). Выбор способа управления про­ цессом состоит в выборе вида зависимости управляющего параметра от значений управляемого случайного процес­ са Введем следующее ограничение на характер этой за­ висимости. Пусть каждому рассматриваемому виду а за­

висимости управляющего параметра от значений процесса

отвечает семейство случайных процессов X]'h. Предпола­ гается, что для них всех существует функционал действия k(h)Sa (ф), в котором нормирующий коэффициент K(h) не зависит от выбора управления.

Решение определенных задач оптимального управле­ ния процессом при малых /г будет связано с функциона­

где верхняя грань берется по всем допустимым способам' управления.

Мы ограничимся рассмотрением однородных по време­ ни управляемых марковских процессов. В качестве клас­ са допустимых управлений будем рассматривать такие,- в которых значение управляющего параметра в данный момент t является определенной функцией a(Xt) от значе­ ния процесса в тот же самый момент времени. Такие управ­ ления приводят к однородным по времени марковским

376 УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗМУЩЕНИЯХ [ГЛ. 8

процессам X^'h (см. К р ы л о в [2 ]); их локальные ха­ рактеристики в каждой точке х зависят от х и от значения управляющего параметра а(х) в этой точке.

Итак, пусть класс допустимых управлений состоит из функций а(х), значения которых в каждой точке принад­ лежат множеству допустимых в данной точке управле­ ний Щя) (и которые подчинены еще некоторым требова­ ниям регулярности). Каждой допустимой функции отве­

Пт Щ )-1In M}i'axD. hi О

Решение этой задачи, как мы уже говорили, скорее

всего связано с функцией V(x, у), определяемой формулой (1.4). Здесь возникает ряд вопросов: как можно найти мак­

симальный квазипотенциал V(x, у)? и как с его помощью решать задачу об оптимальном управлении? В следующих параграфах мы рассмотрим эти вопросы (для определен­ ного класса управляемых марковских процессов), а также примеры.

§ 2. Задача оптимальной стабилизации

Класс семейств случайных процессов, для которого мы будем рассматривать эту задачу,— это семейства локаль­ но безгранично делимых процессов, рассмотренные в

. . ., Ьг {х, а)); симметричная неотрицательно определенная

ра h (из (0, оо)) и выбору управляющей функции а(х) (при­ надлежащей при каждом значении аргумента множеству Щя)), мы определим как марковский процесс с инфините­ зимальным оператором, определенным на финитных дваж-

ды непрерывно дифференцируемых функциях формулой

Ah'a1{x) =

яг\{0>

процесс; в этом случае будем считать управляющую функ­ цию недопустимой. Обозначим класс допустимых управ­ лений Я.

Вопросу о том, при каких условиях данному набору локальных характеристик отвечает локально безгранично делимый процесс, посвящено большое число работ; особен­ но широко исследован вопрос в случае диффузионных про­ цессов, т. е. ц = 0. Достаточно, например, равномерной невырожденности и непрерывности матрицы диффузии,

которую мы будем предполагать конечной и непрерывной по всем аргументам вместе с ее производными по а/. При выполнении условий теоремы 2.1 гл. 5 функционал действия

для семейства процессов (Х^,а, Р* я) при h j 0 будет

рывности по х; поэтому хорошо было бы рассматривать только непрерывные управляющие функции а(х). Однако известно, что в задачах оптимального управления редко удается обойтись только непрерывными управлениями. Оказывается, необходимые нам результаты переносятся на случай, когда функции Н(х, а), L(x, (5) терпят разрыв в одной точке (или в конечном числе точек), ио не сохра­ няются, вообще говоря, если разрыв имеет место вдоль какой-нибудь линии (или тем более поверхности). Поэтому мы вводим следующий класс функций. Пусть а(х) —

определенная на Rr функция со значениями в R1 . Будем

значение этой функция принадлежит множеству разрешен­ ных в точке х управлений П(.г).

Теоремы 2.1—2.3 для диффузионных процессов со­

совпадает с границей ее замыкания. Для любой управляю­

Заметим, что Va — в свою очередь нижняя грань зна­ чений функционала Sa (ср) по функциям, ведущим из х0 в у, так что в правой части (2.4) фигурирует весьма слож­ ная комбинация максимумов и минимумов: max min sup inf.

Д о к а з а т е л ь с т в о теоремы проводится следую­ щим образом: для произвольного у > 0 выбираем Т > О так, чтобы для любой управляющей функции а е П и любого х0е D существовала функция ф*, 0 ^ t ^ Тх та­

в области D. Тогда для любой функции а, принадлежащей классу П (т. е. а непрерывна всюду, кроме одной точки^ п а(х) е П(х) при любом х), квазипотенциал