Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

21.91 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 4142 / 4342 43 > Следующая >>>

* 3J ПРОЦЕССЫ С ОТРАЖЕНИЕМ НА ГРАНИЦЕ 411

В случае, когда траектории динамической системы не выходят из D через d2D, а наоборот, входят через эту часть границы, результатов типа закона больших чисел недо

статочно для нахождения lim иг{х). Изучение больших е-*0

уклонений для диффузионных процессов с отражением и асимптотики решений соответствующих краевых задач

проводилось в работах Ж и в о г л я д о в о й ,		Ф р е й д -
л и н а [1 ], А н д е р с о н а , О р и	[1 ]. Изложим кратко
результаты этих работ.
Приведем использованную у А н д е р с о н а и О р и
[1 ] конструкцию, позволяющую	построить	диффузион

ный процесс с отражением при помощи стохастических уравнений, исходя из винеровского процесса. Ограничим

ся случаем процесса в полуплоскости	{(я1,	х2) :
х1^ 0} с отражением по нормали к	границе, т.	е. по

направлению х1. Введем отображение Г пространства

С0т (# 2)		в Сот (Д+) 1 Для			£ е	Сот (R2)		значение тц =
= Г*(£)		функции		т] = Г(£)	определим равенствами
			л< = (л?! ч*)«			л? =	Ь*«
		л‘ =		£< — min (о,		min g,1).		(3.3)
					\	0‘<s<f	l
Ясно,	что Г(£) ее Сот (# + ),				отображение			Г непрерыв
но И	\|Т]I — Г)8\<		\rt — Cal-
Мы хотим построить диффузионный процесс с отраже
нием на границе				с матрицей диффузии				(а^(х)) и пере
носом Ь(х) = (Ь1^),				Ь2(х)). Представим матрицу диффузии
в виде	(aij(x)) =		а(я)сг*(я), где			сг(я) — ограниченная мат

ричная функция с элементами, удовлетворяющими усло вию Липшица (такая матрица существует, если функции

aij(x) ограничены		и непрерывны вместе с производными
до первого	порядка). Определим функционалы сг*(£) и
bt(£) на Сит(Я2),		положив
	О\|(0 =	о(Г,(£)),	bt(0 = Ь(Г,(£)).
Рассмотрим	стохастическое		уравнение
	t		t
%t =	х + j °S(X) dw, +		f К (X) ds> x e R+.

оо

412

УТОЧНЕНИЯ И ОБОБЩЕНИЯ

ГГЛ. 9

Теорема существования и единственности для таких урав нений доказывается так же, как для стандартных стоха стических дифференциальных уравнений. Оказывается,

что случайный процесс X t = Г*(Х) как раз и будет диф

фузионным процессом в R\ с отражением, который имеет заданные коэффициенты диффузии и переноса.

Пусть теперь в уравнении имеется малый параметр. Ограничимся для простоты случаем, когда а — единичная матрица, умноженная на е:

t
X] = X + ew, + J bs (Xе) ds;	(3.4)
о

соответствующий процесс с отражением мы тоже будем

снабжать индексом е : X] = Г*(Хе). Доказывается, что решение уравнения (3.4) можно получить, применяя не

которое		непрерывное	отображение Вх к		функции E W	е
е	Сот ( #г) (доказательство такое же,			как у леммы		1.1
гл.	4).	Итак, процесс	с отражением	Xе	получается	из

E W с помощью суперпозиции двух непрерывных отображе ний: Xе = r(Bx(ew)). Используя общие свойства функцио нала действия (§ 3 гл. 3), получаем, что функционал дей

ствия для		семейства	процессов Xf		в пространстве	Сот
при	е -> 0	имеет вид	в”2£ог(ф)>	-	т
				-	т
		S OT (ф) =	min	4	i Ix e P * -	(3-5)
			Х:Г(Вж(х))=ф‘‘
Но	отображение Вх		обратимо:	t
				t
		(#гЧ )<	= i\|>t - X -	j	bs(i\|5) ds;
				0

о учетом этого выражение (3.5) можно переписать в виде

Str (ф ) = m i n	4	\| I 'Ь — Ь(ф 8) \|2d s	(3.6)
1 \|::Г (\|\|!)= ф	*	J0

(пользуемся тем, что Ь.(ф) = Ь(Г,(ф)) = Ъ{ф,)).

§ 3]	ПРОЦЕССЫ* С ОТРАЖЕНИЕМ НА ГРАНИЦЕ	413
	Легко убедиться, что минимум (3.6) равен
	т
	S OT (ф) = 4" J I Фз — ^(Ф.) I * * ,	(3.7)
	о

где Ь{х) — поле, совпадающее с Ь(х) всюду, кроме точек границы diD, в которых Ь(х) направлено наружу области;

в этих точках Ь(х) определяется как проекция Ь(х) на направление границы. Этот минимум достигается на функ ции ф, определяемой равенствами

“	Ор?, ч>). ф = ф?,
t
Ф? = Ф< + J	Х{0> (ф!) min (О, Ь1(0, фП) ds.	(3.8)
О

Формула, аналогичная (3.7), справедлива и в случав переменной матрицы (аЦ#)), а также для процессов в произвольной области D с отражением вдоль любого гладкого поля Z, не касательного к границе.

Из результатов, касающихся функционала действия,

в частности,	вытекает,	что	траектории	X]	сходятся
по вероятности	при е	0	к функции,	на	которой

функционал S+ обращается в нуль, т. е. к решению сис

темы xt = b(xt).

Изложим теперь вытекающие отсюда результаты, ка сающиеся асимптотики решений задачи (3.1) (см. Ж и в о- г л я д о в а, Ф р е й д л и н [1 ]). Пусть D — кольцо на плоскости, имеющее в полярных координатах (г, 0) вид

{(г,	0) : 1 <	г <	2};	рассматривается			задача
v	- 4 ( .	дг\ +	д*игс \ .		, / m	див	,	у	/	m	диг
v	- 4 ( .	дг\ +	ае—J +		Ьг (г2 0)	- Q P	+	b e	( г ,	0)	- щ -
						“	Oj	I	G	D,	(3.9)
		^ ( 1 , 0 )		= 0,	we(2, 0) =		/ (0).

Будем говорить, что выполнено условие 1, если траек

тории динамической системы xt =* Ь(х%), начинающиеся в

414	УТОЧНЕНИЯ И ОБОБЩЕНИЯ				[ГЛ. 9
D, выходят	на diD= {г= 1}	раньше, чем		на	d2D=
«= {г =* 2},	и br(1, 0) < 0 при	всех	0.	отрезке [О,
Предположим, что функция Ье(1, 0) на
2я] имеет конечное число нулей. Пусть Ки К21 . •					К х— '
те из них,	в которых bQ(1, 0) при возрастании 0 меняет
знак с плюса на минус.
Рассмотрим
V(Kh у) = Ы{ £&(ф):Фо = к н			Фг = у;	^ > 0 ) ;

предположим, что при любом i минимум V(KX, у) по у е

е d2D достигается в единственной

точке ух =

(2,

0*);

положим

V(Ki,

dJD) =s V(Ki, yt).

вы

Т е о р е м а

3.2. Пусть

выполнены перечисленные

ше условия. Пусть g* — единственный

{д2Б}-граф

над

множеством символов {Кц .

. ., Кх, d2D},

на котором до

стигается

минимум

(а

F(a,

Р)

по всем

{d2D}-

графам

Пусть

траектория

системы

хх = b(xt),

начинающаяся

в точке

х е D,

выходит

на

окруж

ность <9iD в точке (1,

Qx); для х е

dxD возьмем в качестве

0Л угловую

координату

точки

х.

Пусть K t — точка,

к которой

притягивается

при

t ->

оо решение

уравне

ния 0f =

be (1,

0*) с

начальным

условием

0*.

Тогда

lim ие(х) =

/(0^), где

Kk -> д2П — последняя

стрелка в

г-*0

пути, ведущем из точки Кх в d2D в графе g*.

Д о к а з а т е л ь с т в о

этой теоремы проводится так

же, как доказательство

теоремы

5.2

гл.

ЛИТЕРАТУРА

А н д е р с о н , О р и (R. F. Anderson, S. Огеу)

1.Small random perturbations of dynamical systems with reflecting boundary.— Nagoya Math. J., 1976, 60, p. 189—216.

Ан о с о в Д. В.

1.Осреднение в системах обыкновенных дифференциальных урав

нений	с быстро	колеблющимися решениями. — Изв.
АН СССР. Сер. «Математика», 1960, 24, № 5, с. 721—742.
А р н о л ь д	В. И.

1.Математические методы классической механики.— М,: Наука, 1975.

Ар о н с о н (D. G. Aronson)

1.The fundamental solution of a linear parabolic equation contai

ning a small parameter.— 111. J. Math., 1959, 3, p. 580—619. Б а й е р Д., Ф p e й д л и н М. И.

1.Теоремы о больших уклонениях и устойчивость при случай ных возмущениях.— ДАН СССР, 1977, 235, N° 2, с. 253—256.

Бе р н ш т е й н С. Н. (S. Bernstein)

1.Sur l ’equation differentiel de Fokker — Planck.— C. R. Acad.


2.	Sci. (Paris), 1933, 196, p. 1062-1064.					des	probabilites
	Sur l ’extension			du theoreme limite du calcul
	aux	sommes de		quantites	dependantes.— Math. Ann.,			1926,
	97,	p. 1 -5 9 .
Б л а г о в е щ е н с к и й Ю. H.
1.	Диффузионные процессы, зависящие от малого параметра.—
	Теория		вероятностей и		ее применения,	1962,	7,	№ 2,
	с. 135-152.
Б л а г о в е щ е н с к и й Ю. Н., Ф р е й д л и н М . И.
1.	Некоторые свойства диффузионных процессов, зависящих от
	параметра.— ДАН СССР, 1961, 138, N° 3, с. 508-511.
Б о г о л ю б о в Н. Н., З у б а р е в Д. Н.
1.	Метод асимптотического приближения для систем с вращаю
	щейся фазой и его применение к движению					заряженных час
	тиц в магнитном поле.— Укр. мат. журнал,					1955, 7, № 7.
Б о г о л ю б о в Н. Н., М и т р о п о л ь с к и й Ю. А.
1.	Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний.—
	М.: Физматгиз,			1963.
Б о р о в к о в			А. А.

1.Граничные задачи для случайных блужданий и большие укло нения в функциональных пространствах.— Теория вероятнос тей и ее применения, 1967, 12, N° 4, с, 635—654,

416	литература

Бо р о д и н А. Н.

1.Предельная теорема для решений дифференциальных уравне-- нин со случайной правой частью.—- Теория вероятностей и ее применения, 1977, 22, № 3, с. 498—-512.

Ва р а д а н (S. И. S. Varadhan)

1.Asymptotic probabilities and differential equations.— Comm. Pure Appl. Math., 1966, 19, № 3, p. 261—286.

2.On the behavior of the fundamental solution of the heat equation with variable coefficients.— Comm. Pure Appl. Math., 1967,

20, № 2, p. 431-455.		a small	time interval.— Comm. Pure
3. Diffusion processes in
Appl. Math.,	1967, 20,	№ 4, p.	659-685.
В е н т ц е л ь А.	Д.

1.Курс теории случайных процессов.— М.: Наука, 1975.

2.Об асимптотике наибольшего собственного значения эллишпческого дифференциального оператора с малым параметром

при старших производных.— ДАН СССР, 1972, 202, JVs 1,

с. 19 -21 .

3.Об асимптотике собственных значений матриц с элементами

порядка exp {— V J 2е2}.— ДАН СССР, 1972, 202, № 2,

с. 263—266.

4.Теоремы, касающиеся функционала действия для гауссовских случайных функций.— Теория вероятностей и ее применения, 1972, 17, № 3, с. 541—544.

5.Формулы для собственных функций и мер, связанных с мар ковским процессом.— Теория вероятностей и ее применения, 1973, 18, № 1, с. 3—29.

6.Об асимптотике первого собственного значения дифференциаль ного оператора второго порядка с малым параметром при старших производных.— Теория вероятностей и ее примене ния, 1975, 20, № 3, с. 610-613.

7.Грубые предельные теоремы о больших уклонениях для мар ковских случайных процессов: I,— Теория вероятностей и ее

применения, 1976, 21, № 2, с. 231 — 251; И, 1976, № 3, с. 512-526.

В е н т ц е л ь А. Д., Ф р е й д л и н М. И.

1.Малые случайные возмущения динамической системы с устой чивым положением равновесия.— ДАН СССР, 1969, 187,

№ 3, с. 506-509.

2.О предельном поведении инвариантной меры при малых слу чайных возмущениях динамических систем.— ДАН СССР,

1969, 188, № 1, с. 13 -16 .

3.О движении диффундирующей частицы против течения.— УМН, 1969, 24, № 5, с. 229-230.

4.О малых случайных возмущениях динамических систем.—

УМН, 1970, 25, № 1, 3 -5 5 .

5.Некоторые задачи, касающиеся устойчивости при малых случайных возмущениях.— Теория вероятностей и ее примене ния, 1972, 17, № 2, с. 281—295.

Во л о с о в В. М.

,1. Усреднение в системах обыкновенных дифференциальных урав

нений.— УМН, 1962, 17, № 6, с. 3—126,

ЛИТЕРАТУРА

417

Га н т м а х е р Ф . Р.

1.Теория матриц.— М.: Наука, 1967.

Г е л ь ф а н д И. М., Ф о м и н С. В.

1.	Вариационное исчисление.— М.: Флзмаггиз, 1961.
Г е р т н е р Ю.
1.	Теоремы о больших уклонениях для некоторого класса слу
	чайных процессов.— Теория вероятностей и ее применения,
2.	1976, 21, № 1, с. 95-106.
2.	О логарифмической асимптотике вероятностей больших укло
	нений. — Кандидатская диссертация.— М., 1976.

3.О больших уклонениях от инвариантной меры.— Теория ве роятностей и ее применения, 1977, 22, № 1, с. 27—42.

Ги р с а н о в И. В.

1.О преобразовании одного класса случайных процессов с по мощью абсолютно непрерывной замены меры.— Теория ве роятностей и ее применения, 1960, 5, № 3, с. 314—330.

Ги х м а н И. И.

1.По поводу одной теоремы Н. Н. Боголюбова.— Укр. мат. журнал, 1952, 4, № 2, с. 215—218.

Ги х м а н И. И., С к о р о х о д А . В.

1.Введение в теорию случайных процессов.— М.: Наука, 1965.

2.Случайные процессы: т. I.— М.: Наука, 1971.

Гр и г е л и о н и с Б.

1.О структуре плотностей мер, соответствующих случайным

процессам.— Литовский математический сборник, 1973, 13, № 1, с. 71 -78 .

Г р и н ь А. Г.

1.О возмущениях динамических систем регулярными гауссов скими процессами.— Теория вероятностей и ее применения, 1975, 20, № 2, с. 456-457.

2.Некоторые задачи, касающиеся устойчивости при малых слу чайных возмущениях.— Кандидатская диссертация, М., 1976.

3.О малых случайных импульсных возмущениях динамических

систем.— Теория вероятностей и	ее	применения,	1975, 20,
№ 1, с. 150-158.
Д а н ф о р д Н., Ш в а р ц Дж.
1. Линейные операторы.— М.: ИЛ, 1962.		Devinatz,	R. Ellis,
Д е в и н а ц, Э л л и с , Ф р и д м а н	(A.	Devinatz,	R. Ellis,

A. Friedman)

1.The asymptotic behavior of the first real eigenvalue of the se cond order elliptic operator with a small parameter in the hig her derivatives. II—Indiana Univ. Math. J., 1973/74, p. 991 —

1011.

Д о н с к е р , В а р а д а н (M. D. Donsker, S. R. S. Varadhan)

1.Asymptotic evaluation of certain Markov process expectations for large time: I—Comm. Pure Appl.Math., 1975,28, N2 1, p. 1 — 47; II, в том же журнале, 1975, 28, № 2, p. 279—301; III, в том же журнале, 1976, 29, № 4, р. 389—461.

2.Asymptotics for the Wiener sausage, Comm. Pure Appl. Math., 1975, 28, № 4, c. 525—565.

Ду б Дж. Л.

1.Вероятностные процессы.— М.: ИЛ, 1956,

418 ЛИТЕРАТУРА

Д у б р о в с к и й В. Н.

1.Асимптотическая формула лапласовского типа для разрыв ных марковских процессов.— Теория вероятностей и ее при менения, 1976, 21, N° 1, с. 219—222.

2.Точные асимптотические формулы лапласовского типа для марковских процессов.— ДАН СССР, 1976, 226, № 5, с. 1001 — 1004.

3.Точные асимптотические формулы лапласовского типа для

марковских процессов.— Кандидатская диссертация.— М., 1976.

Ды н к и н Е. Б.

1.Основания теории марковских процессов.— М.: Физматгиз, 1959.

2.Марковские процессы.— М.: Физматгиз, 1963.

Ев г р а ф о в М. А.

1.Асимптотические оценки и целые функции.— М.: Гостехиздат,

1957.

Ж и в о г л я д о в а Л. В., Ф р е й д л и н М . И.

1.Краевые задачи с малым параметром для диффузионного процесса с отражением.— УМН, 1976, 31, № 5, с. 241—242.

Ик э д a (N. Ikeda)

1.On the construction of two-dimensional diffusion processes sa tisfying Wentzell’s boundary conditions and its application to boundary value problems.— Mem. Coll. Sci. Kyoto. Ser. A,

1961, 33, № 3, p. 367-427.

И б р а г и м о в И. А., Л и н н и к 10. В.

1.Независимые и стационарно связанные величины.— М.: Наука, 1965.

И о ф ф е А. Д., Т и х о м и р о в В. М.

1.	Теория экстремальных задач.— М.: Наука, 1974.
К а т о Т.
1.	Теория возмущений линейных операторов.— М.: Мпр, 1972.

Ки ф е р Ю. И.

1.Некоторые результаты, касающиеся малых случайных возму щений динамических систем.— Теория вероятностей и ее при менения, 1974, 19, № 2, с. 514—532.

2.О малых случайных возмущениях некоторых гладких динами ческих систем.— Изв. АН СССР. Серия «Математика», 1974, 38, № 5, с. 1091—1115.

3.Об асимптотике переходных плотностей процессов с малой

диффузией.— Теория вероятностей и ее применения, 1976, 21, № 3, с. 527-536.

К о д д и н г т о н 3. А., Л е в и н с о н Н.

1.Теория обыкновенных дифференциальных уравнений.— М.: ИЛ, 1958.

Ко л м о г о р о в А. Н. (А. N. Kolmogoroff).

1. Zur Umkehrbarkeit der statistischen Naturgesetze.— Math. Ann. 1937, 113, S. 766—772.

К о л м о г о р о в A. H., Ф о м и н С. B.

1.Элементы теории функций и функционального анализа.— М,: Наука, 1968,

Ли т е р а т у р а

419

Ко м а ц у (Т. Komatsu)

1.Markov processes associated with certain integro-differential equations. — Osaka J. Math., 1973, 10, p. 271—303.

Кр а м е р (H. Cramer)

1.Sur un nouveau theoreme limite de la th£orie des probabilites.— Act. Sci. et Ind., 1938, 736. [Русский перевод: Об одной новой

предельной теореме	теории вероятностей.— УМН, 1944,
10, с. 166—178.]	М. А., К р е й н С. Г.
К р а с н о с е л ь с к и й	М. А., К р е й н С. Г.

1.О принципе усреднения в нелинейной механике.— УМН, 1955, 40, № 3, с. 147-152.

Кр ы л о в Н. В.

1.О квазидиффузионных процессах.— Теория вероятностей и ее

применения, 1966, 11, № 3, с. 424—443.

2. Управляемые	диффузионные процессы.— М.: Наука, 1977.
К у п и т а, В а т а	п а б е (Н. Kunita, S. Watanabe)

1.On square integrable martingales. — Nagoya Math. J. —1967, 30, р. 209—245. [Русский перевод: О мартингалах, интегрируе

мых с	квадратом.— Сб. перев. «Математика», 1971, 15,	№ 1,
с. 66-102.]
К у р а н т	Р.	1964.
1. Уравнения с частными производными.— М.: Мир,

Ла б к о в с к и й В . А.

1. Новые предельные теоремы о времени первого достижения

границы цепью Маркова.— Сообщ. АН Груз. ССР, 1972, 67, № 1, с. 41 -44 .

Л а д ы ж е н с к а я О. А., У р а л ь ц е в а Н. Н.

1. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа.—• М.: Наука, 1964.

Л е в и н а Л. В., Л е о н т о в и ч А. М., П я т е ц к и й - Ш а -

п и р о И. И.

1.Об одном регулируемом ветвящемся процессе.— Проблемы

передачи	информации, 1968, 4, № 2, с. 72—83.
Л е в и н с о н	(N. Levinson)	problem for equation g Дw + Aux +
1. The first	boundary value
+ Buy +	Си = D for small e. — Annals of		Math., 1950, 51,
№ 2, p. 428-445.		(J. P. Lepeltier,	B. Marchal)
Л е п е л ь т ь е , М а р ш а л ь

1.Probleme des martingales et equations differentielles stochastiques associees a un operateur integro-differentiel.— Ann. Inst.

H. Poincare, 1976, В 12, № 1, p. 43—103.

M а к к и н Дж. П.

1.Стохастические интегралы.— М.: Мир, 1972.

Ма л к и н И. Г.

1.Теория устойчивости движения.— М.: Наука, 1966.

Мо г у л ь с к и й А. А.

1.Большие уклонения для траекторий многомерных случайных

блужданий.— Теория вероятностей и ее применения, 1976, 21, № 2, с. 309-323.

Мо л ч а н о в е . А.

1.Диффузионные процессы и риманова геометрия,— УМН, 1975,

30, М 1, с, 3-59,

420 ЛИТЕРАТУРА

Н г у е н В ь е т Фу .

1. К одной задаче об устойчивости прп малых случайных возму щениях.— Вестник МГУ, серия математ. механ., 1974, №5,

с. 8 — 13.

2.Малые гауссовские возмущения и уравнения Эйлера. — Вест

ник МГУ, серия математ. механ., 1974, №6, с. 12 — 18.

Не в е л ь с о н М . Б.

1. О поведении инвариантной меры диффузионного процесса с

малой диффузией на окружности.— Теория вероятностей и ее применения, 1964, 9, № 1, с. 139—146.

Н е й ш т а д т А. И.

1.Об осреднении в многочастотных системах: I — ДАН СССР,

1975, 223, № 2, с. 314—317; II — в том же журнале, 1976, 226, № 6, с. 1296—1298.

Пе т р о в В. В.

1. Суммы независимых	случайных величин.— М.: Наука,	1972.
П о н т р я г и н Л. С.,	А н д р о н о в А. А., В и т т А.	А.

1.О статистическом пассмотрении динамических систем. — ЖЭТФ, 1933, 3, №3, с. 165—180.

П р о х о р о в 10. В.

1.Сходимость случайных процессов и предельные теоремы тео рии вероятностей.— Теория вероятностей и ее применения, 1956, 1, № 2, с. 177-238.

Р и с е Ф., С е к е ф а л ь в и - Н а д ь Б.

1. Лекции по функциональному анализу.— М.: ИЛ, 1954. Р о з а н о в Ю. А.

1. Стационарные случайные процессы.— М.: Физматгпз, 1963.

Ро к а ф е л л а р Р.

1.Выпуклый анализ.— М.: Мир, 1973.

С а р а ф я н В. В., С а ф а р я н Р. Г., Ф р е й д л и н М. И.

1. Вырожденные диффузионные процессы и дифференциальные уравнения с малым параметром.— УМН, 1978, 33, № 6,

с.233-234.

Си н а й Я. Г.

1. Гиббсовские меры в эргодической теории.— УМН, 1972, 27,

№ 4, с.	2 1 -6 4 .
С к о р о х о д	А. В.

1.Случайные процессы с независимыми приращениями.— М.: Наука, 1964.

Со б о л е в С. Л.

1.Некоторые применения функционального анализа в мате матической физике.— Л.: Изд-во Лен. гос. университета,

1950.

С т р а т о н о в и ч Р. Л.

1.Условные марковские процессы и их применение к теории оптимального управления.— М.: Изд-во МГУ, 1966.

Ст р у к (D. W. Stroock)

1.Diffusion processes with Levy generators.— Z. Wahrscheinlichkeitstheorie und verw. Gebiete, 1975, 32, S. 209—244.

С т p у к, В a p а д а н (D. W. Stroock, S. R. S. Varadhan)

i.Diffusion processes with continuous coefficients: I.— Comm. Pure Appl. Math., 1969, 22, № 3, p. 345—400; II — в том же

<<< < Предыдущая 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 4142 / 4342 43 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.2023374.36 Кб3Финансовый анализ деятельности предприятия..pdf
#
12.11.20232.23 Mб3Финансовый менеджмент..pdf
#
12.11.202311.22 Mб1Финишная обработка лепестковыми кругами..pdf
#
12.11.20238.65 Mб0Фитнес как эффективная система физического развития студентов..pdf
#
12.11.202310.86 Mб15Флотационные реагенты..pdf
#
12.11.202321.91 Mб4Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений..pdf
#
12.11.20234.35 Mб1Фоносемантическая звуковая картина мира..pdf
#
12.11.20237.17 Mб3Формирование гражданской компетентности..pdf
#
12.11.20231.78 Mб2Формирование системы мониторинга реализации программы социально-экономического развития региона..pdf
#
12.11.20238.74 Mб3Формирование состава остаточных нефтей..pdf
#
12.11.20231.26 Mб2Формирование физической культуры личности студента политехнического университета средствами спорта (на материале единоборств)..pdf