книги / Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений

Здесь и в дальнейшем мы обозначаем через С* постоянные, зависящие только от константы Липшица коэффициентов Ъ{{х, у), В'(х, у), а) (х, I/), Cj (.г, у), максимума модулей этих коэффициентов и от размерности пространства.

Из ограниченности коэффициентов стохастического

Отсюда заключаем, что (9.4) выполняется, если положить

Оценивая вероятность, стоящую в правой части,с помощью неравенства Чебышёва и принимая во внимание (9.4) и (9.6), получаем (9.7). Из оценок (9.4) и (9.6) легко полу­ чить также, что

к нулю по вероятности вместе с 8. Отсюда и из (9.7) будет следовать, очевидно, утверждение теоремы.

Прежде всего заметим, что из определения процесса

определяемым уравнением (9.2). Следует только в (9.2) выбрать винеровский процесс wt не зависящим от X\^t Y\

Первое слагаемое в правой части этого неравенства стре­ мится к нулю в силу (9.9). Чтобы показать стремление к нулю второго и третьего слагаемых, нужно воспользовать­ ся неравенством Чебышева, соотношением (9.8) и тем, что me(t) -> 0 при е | 0. Четвертое и пятое слагаемые оцени­ ваются с помощью неравенства Колмогорова и тоже

Этот процесс можно описать также с помощью стохасти­ ческих уравнений

г8 = Ь(г*3 <ре) +

Предположим, что функции Ь(г, ф), В(г, ф), С(г, ф) перио­ дические по ф с периодом 2л; С(г, ф) ^ с0 > 0. В этом

путем отождествления значений, отличающихся на целое кратное 2л, будет невырожденным марковским процессом на окружности. Такой процесс имеет на окружности единственную инвариантную меру с плотностью т(г0, ф), причем существуют такие С, X > 0, что для любой огра­ ниченной измеримой функции на окружности /(ф)

358 ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ С УСРЕДНЕНИЕМ [ГЛ. 7

Решая эту задачу* окончательно получаем

Пт иг (гх ф) = и (г) =* е;о

Некоторые примеры более общего характера можно найтв

нии диффузия отсутствует, а быстрое движение происходит па компактном многообразии и коэффициенты диффузии по быстрым переменным не зависят от медленных пере­

ветственно. Рассмотрим семейство векторных полей Ь(х, у) на Л/, зависящих от у е Е как от параметра, и семейство В(х, у) полей па зависящих от х е М. Кроме того, на многообразии Е рассмотрим эллиптический дифферен­ циальный оператор L второго порядка* переводящий

§ 9 ) Усреднение б стохастических уравнениях 359

константы в нуль. Функции Ъ(х, у), В ( х , у ), так же как коэффициенты оператора L, предполагаются бесконечно

У) = {Ь(х, у), ? J(x , у)) +

+ B-1lLgf(x, у) 4-(В(х, у), V yf(x, y))\t

где V x, V у — операторы градиента на М и Е соответст­

венно. В координатах траектории процесса Ъ\ = (X ft Yf) можно задать системой стохастических уравнений

производных в операторе L, матрица С(у) связана с коэф­ фициентами aij(y) при старших производных в операторе L соотношением С(у)С*(у) = {а^(у))\ wt — /-мерный винеровский процесс.

Если многообразие М не компактно, то нужно еще сделать предположение о том, что поле Ъ{х, у) не слишкОхМ

Пусть а — элемент пространства Т*МХ, сопряженного к ТМХ. Введем в рассхмотрение дифференциальный опера­ тор R = R{x, z2а), действующий на функции j(y)x у ^ Ег по формуле

R{x, z, а)/(у) =

= £/(*/) + (^(2 , y),Vyf(y)) + (а, Ь(х, y))f(y)\,х

х, z е М, а е — параметры. При произвольных значениях параметров Д(я, z, а) — эллиптический диф­ ференциальный оператор в пространстве функций, опре­ деленных на кохмпакте Е. Этот оператор является сужени-

ем на гладкие функции производящего оператора некото­ рой положительной полугруппы. Аналогично тому, как это делалось в § 4, отсюда можно вывести, что опера­ тор R(xy z, а) имеет однократное собственное значение ц(.г, z, а) с наибольшей вещественной частью. Это собст­ венное значение вещественно и в силу однократности диф­ ференцируемо по параметрам х, z, а.

в пространстве ограниченных измеримых функций на Еу образует положительную полугруппу. Отсюда выводится утверждение леммы 9.1 аналогично тому, как это дела­ лось при доказательстве теоремы 4.2.

Мы будем иногда рассматривать функцию L(xy z, Р) при совпадающих первых двух аргументах. Будем обозначать Ь(ху х, Р) = L(xy Р); эта функция, очевидно, является преобразованием Лежандра от р,(;г, ху а). Заметим,, что функция Ь(х± z, Р) полунепрерывна снизу.