книги / Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений

Траектории динамической системы, выходящие из то­ чек х из левой части области D (левее сепаратрис, входя­ щих в точку if4), за исключением неустойчивого положе­ ния равновесия Kv притягиваются к циклу К2; точки пра­ вой части притягиваются к К3, а точки на линии разде­ ла — к К±. Значит, из точек левой половины D при малых

е процесс Х\ будет выходить на dD в малой окрестности У2, из точек правой половины — вблизи У3, а из точек разделительной линии — вблизи У2 или Из­

боли мы увеличим VD {Kt, dD) так, чтобы VD{K2, dD)r=

= 16, VD(K3, dD) = 10, VD (tf4, 0D) = 9, то { д и ­ графов, минимизирующих сумму (5.3), тоже два: Кх->■ К2,

можно выбросить из рассмотрения все неустойчивые ком­ пакты Kt.

exp {&~2{WD—MD(X) =т=у)}. Это справедливо и для ^ G U Gt.

dD) = 2, VD(Kv dD) = 1). Вычислим асимптотику мате­ матического ожидания времени тЕ выхода на границу для траекторий, начинающихся в положении устойчивого рав­

математическое ожидание времени выхода логарифмиче­ ски эквивалентно exp {e -2(tFD — Л^ГХ>(АГ3))} = ехр{4е-2}.

Рассматривая цепь Z n, мы можем понять, за счет чего получается такое среднее время выхода. Начинаясь в /i3, эта цепь при малых е с вероятностью, близкой к 1, прове­ дет на dg3 число шагов порядка exp {&~2VD (К3, dD)} = = exp {2е~2}, затратив время того же порядка; после

циклу К2 (может быть, задержавшись на относительно небольшое число шагов вблизи неустойчивого положения

= ехр {е~2} раз реже) dgv а после этого выйдет на грани­ цу. Итак, математическое ожидание порядка ехр{4е~2} образуется за счет маловероятных — с вероятностью по­ рядка ехр {—4е~2} — значений порядка ехр {8е~2}.

Вспомним, что в случае области, притягивающейся к одному устойчивому положению равновесия, среднее

время выхода М/с8 имеет тот же порядок, что границы диапазона наиболее вероятных значений т8 (теорема 4.2 гл. 4); в частностщ любая квантиль распределения т

264 ВОЗМУЩЕНИЯ НА БОЛЬШИХ ОТРЕЗКАХ ВРЕМЕНИ [ГЛ. 6

логарифмически эквивалентна среднему. Приведенный пример показывает, что это, вообще говоря, не так в слу­ чае, когда в области D есть несколько компактов Kt1 содержащих со-предельные множества; математическое ожидание может стремиться к бесконечности существенно быстрее медианы и всех квантилей.

Это сильно снижает ценность доказанной теоремы как результата, характеризующего предельное поведение рас­

на dD. Тогда равномерно по х в пределах любого компакт­

§ 6. Разбиение на циклы. Субпредельные распределения

В задачах, которым посвящена эта глава, имеется два больших параметра: е~2 и t — время, в течение которого рассматривается возмущенная динамическая система. Естественно исследовать, что будет, если стремление этих параметров к бесконечности согласовано тем или иным образом. Будем интересоваться предельным поведением

мер Р £ {Х ^ еГ }; ограничимся случаем компактного многообразия (как в § 4).

Наиболее простой случай — когда сначала устремляет­ ся к бесконечности с”2, а затем t. Здесь все определяется поведением невозмущенпой динамической системы. Ясно,

что lim lim Р* {X] G T) = 1, если открытое множество

f - ю о Е—>0

Г целиком содержит (о-пределыюе множество траектории xt(x), начинающейся в точке х0(х) = х, и этот предел ра­ вен нулю, если Г находится на положительном расстоянии от этого множества.

В § 4 рассмотрен случай, когда сначала к бесконечно­ сти устремляется t, а затем е-2. Теорема 4.1 дает воз-

§ 61 ЦИКЛЫ. СУБПРЕДЕЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 265

на которых достигается минимум W(Kt). В случае общего положения этот минимум достигается на одном компак­ те; если к тому же на этом компакте сосредоточена единст­ венная нормированная инвариантная мера ц0 динами­

ческой системы, то lim lim Р* (Xf е Г} = р0 (Г) для всех £~>С t~*ОО

Г с нулевой (10-мерой границы.

Займемся исследованием поведения процесса Х\ на отрезках времени длины Z(e~2), где £(е“ 2) — функция, монотонно возрастающая при возрастании е-2. Ясно, что если £(е“ 2) растет достаточно медленно, то за это вре­

мя траектория процесса Х\ не успеет отойти далеко от устойчивого компакта, в области притяжения которого находится начальная точка. За большие отрезки времени осуществится переход из окрестности этого компакта в окрестности других, сначала к «ближайшему» (в смысле функционала действия) компакту, затем — к все более и более «далеким». Установим прежде всего, в каком по­

gj компактов Kj с номерами из L \ Q. Пусть процесс начинается в giljdgi, i е Q. Тогда при достаточно малых

р с вероятностью, стремящейся к 1 при 8 -^ 0 , X^ бу­

дет принадлежать одному из множеств dgj таких, что в одном из (L \ 0)-графов g, на которых достигается

В формулировке теоремы можно также V(Km, К п) заменить на V(Km, К п), и в этом случае мы можем также выбросить все неустойчивые компакты и рассматривать

только переходы от одного устойчивого компакта к дру­ гому.

Рассмотрим пример. Пусть K h i = 1, 2, 3, 4, 5,— устойчивые компакты, содержащие со-предельные мно­ жества; значения V(Ki4 Kj) задаются матрицей

Пусть процесс начинается вблизи Кх. Находим {2, 3, 4, 5}-граф, минимизирующий сумму значений V. Этот граф состоит из одной стрелки 1 -> 2; значит, первым из

Полагаем Q = {2}. Находя минимизирующий сумму (6.1) {1, 3, 4, 5}-граф 2 3, получаем, что следующим компак­ том, к которому приблизится процесс, будет с подавляю­ щей вероятностью К3. Далее граф 3 -> 1 показывает, что процесс вернется к компакту Кх. Переходы от Кх к К2ч от К2к К3 и от К3 обратно к Кх будут происходить много раз, но в конце концов процесс подойдет к одному из ком­ пактов А 4, К ъ. Чтобы понять, к какому именно, пользуем­

(Мы не утверждаем, что до этого процесс будет совершать переходы между компактами Кх, К2, К3только в наиболее

окрестности А 4 будут с вероятностью,- близкой к 1, про­ исходить и переходы в противоположном направлении.)

Далее процесс будет ходить от Ki к Къ и обратно (это показывают графы 4 -> 5 и 5 -> 4); затем он вернется в окрестности компактов Кх, К2, К 3, причем вероятнее все­

го сперва к компакту Кх (как показывает граф 5 4,

так, как описано выше. Таким образом, получается «цикл из циклов»— цикл второго ранга.

Переходы между окрестностями компактов К г и в об­ щем случае описываются с помощью иерархии циклов (Ф р е й д л и н [9], [10]). Пусть Ки . . ., К1о—- устой­ чивые компакты; Q — какое-то подмножество множества L — ( 1 , 2 , . . . , 10}. Предположим, что существует единст­ венный (£\<2)-граф g*, на котором достигается минимум (6.1). Определим /?Q(0> * ^ Q» как тот элемент из L\Q, в котором заканчивается цепочка стрелок в графе ведущая из i в множество L\Q.

Опишем теперь разбиение множества L тта иерархию циклов. Начнем с циклов первого ранга. Для каждого

все гл различны. Тогда циклами первого ранга, порожден­

-> zm}; причем последняя группа рассматривается вместе

суказанным циклическим порядком. Циклы, порожден­ ные различными начальными точками г0 е L, либо не пересекаются, либо совпадают, и в этом случае цикли­ ческий порядок на них — один и тот же. Итак, циклы первого ранга выделены (некоторые из них — только из одной точки).

Будем далее строить определение рекуррентно. Пусть

ные определенным циклическим порядком. В конечном счете каждый цикл состоит из отдельных точек — элемен­ тов L; будем обозначать множество точек, из которых составляется цикл, так же, как и сам цикл. Будем гово­

ся из теоремы 5.3; напомним, что для произвольного мно­

тельство утверждения (6.4), аналогичного утверждению теоремы 4.2 гл. 4, опускаем.

Разбиение на циклы и теорема 6.2 позволяют ответить

на вопрос о поведении процесса X\ на отрезках времени длины £(е~2), где £(в”2) имеет показательную асимптотику

уже много раз пройти все эти циклы (а внутри них — все циклы меньшего ранга), и для него уже успеет установить­ ся предельное распределение, найденное нами в § 4. В тер­ минах иерархии циклов это предельное распределение будет сосредоточено на том из циклов л, л', . . ., л(в), для которого соответствующая константа С(л), С(л'), . . ., или С(л(г5)) — наибольшая; в пределах этого цикла — на том из его подциклов, для которого соответствующая константа, определяемая по формуле (6.2), больше всего, и т. д. вплоть до отдельных точек i и соответствующих им устойчивых компактов К ь. То же будет, если не £(в”2) ж Ж ехр {Се-2 }, а только lim в2 1п£ (в-2 ) > max {С (л),

С ( л С (л<*>)}.

За времена £(в 2), имеющие меньший порядок, процесс не успеет пройти всех циклов, и общее для всех начала ных точек х предельное распределение еще не успеет уста­ новиться; при этом на циклах не максимального ранга, которые процесс уже успеет пройти, будут устанавливать­ ся некоторые субпредельные распределения, зависящие от начальной точки.

Вернемся к примеру, рассмотренному после теоремы 6.1. Изобразим иерархию циклов на чертеже (рис. 17):

а они — в единственный цикл второго ранга. На стрел­

270 ВОЗМУЩЕНИЯ НА БОЛЬШИХ ОТРЕЗКАХ ВРЕМЕНИ {ГЛ. б

ках, выходящих из каждого цикла я, указаны значения

констант С(я). Если lim е2 In t (е~2) между 0 и 2, за вре-

е->0

мя £(е~2) процесс еще не успеет отойти от того компакта К ь вблизи которого он начинался, и субпредельное распределение, соответствующее начальной точке х, бу­

но не произойдет ничего больше; так как это распределе­ ние сосредоточено на точке 5, соответствующей компакту

но не дальше; субпредельное распределение будет сосре­ доточено на К2 для начальных точек, притягивающихся к любому компакту, кроме К3 (а для точек, притягиваю­

щихся к К3,— на К3). Наконец, при lim в2 In t (е~2) > 5 е-»0

устанавливается уже предельное распределение (хотя схождение с цикла { 1 - + 2 - + 3 - * ! } и даже с цикла {5}, может быть, еще не произошло).

Теперь мы можем указать субпредельные распределе­ ния для начальных точек из областей притяжения всех устойчивых компактов Kt. Например, для х%притягиваю-