книги / Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений

уравнения Fx(r) = 0 и функция Fx(r) при переходе через г0 меняет знак с плюса на минус, то, каковы бы ни были начальные условия, при достаточно малых е в системе, описываемой уравнением (8.5) без случайных возмущений (ср = 0), установятся периодические колебания с амплиту­ дой, близкой к г0, и частотой, близкой к со. Если случай­ ные возмущения присутствуют, то, как вытекает из теоре­

шать движение, близкое к колебаниям невозмущенной

жим, что в начальный момент система уже находилась на цикле ГГо. Тогда на отрезках времени порядка е -1 откло­ нения от периодических колебаний с большой вероят­

вероятностные характеристики таких отклонений. Напри­ мер, чтобы найти вероятность того, что за время [0, Т/г|

амплитуда г® хотя бы раз отклонится от г0 больше чем на h ]/е Анужно решить краевую задачу

Отклонения на расстояние порядка 1 происходят за времена, большие по порядку чем е -1. Чтобы изучить эти отклонения, нужно воспользоваться результатами § 4. Пусть, например, l t = при [а - яАг/со, а + я/с/оо), где Цо, тц, . . ., г)А, . . одинаково распределенные не­ зависимые случайные величины; а — случайная величина, не зависящая от {ц*} и распределенная равномерно на

Предположим теперь, что уравнение Fx(r) = 0 имеет несколько корней г0 < гх < . . г2п, причем в корнях

с четными индексами функция F^r) меняет знак с плюса на минус, в точках r2h + г — с минуса на плюс. Тогда,

если го е (r2/t_1, г2*+1), то при малых е в системе без случайных возмущений установятся колебания с амплиту­ дой, близкой к г2к. Случайные возмущения приведут, вообще говоря, к переходам между устойчивыми предель­

время, необходимое для этого перехода, логарифмически

Функция V(r) имеет локальные минимумы в точках г0, г2, . . ., г2п. Предположим, что абсолютного минимума функции У(г) достигает в единственной точке г2^*. Тогда,

как вытекает из результатов гл. 6, предельный цикл ГГ2к* является «самым устойчивым»: подавляющее при

малых е время траектории (г®, 0*) будут проводить в окрестности цикла ГГ2Л*.

4. Рассмотрим линейную систему

Элементы матрицы А (у) = (Л) (у)) и координаты вектора Ъ(у) = (Ь*(у), . . br(i/)) предполагаются ограниченными. Относительно процесса предположим, ■что он имеет достаточно быстро убывающий коэффициент перемешива­

ния; МЛ (£t) = Л = (Л)), Мб(^) = 6. На основании тео­

ремы 2.1 заключаем, что Х\ сходится по вероятности при е \0 равномерно на интервале 0 ^ t ^ Т к решению

Чтобы оценить нормальные отклонения X\ от хи нужно воспользоваться теоремой 3.1. Предположим для просто­ ты, что процесс h — стационарный и Ь(у) = 0. Обозна­

чим К)п%(т) взаимную корреляционную функцию процес­ сов Л] &) и Anm(tt)y

Нетрудно привести примеры, показывающие, что сис­ тема, получающаяся из (8.8) после усреднения, может иметь асимптотически устойчивые точки покоя там, где векторные поля А(у)х + Ь(у) ни при каких значениях параметра у не имеют положений равновесия или имеют неустойчивые положения равновесия. В окрестности та­

ких точек процесс X®при в 1 проводит большое время или даже с большой вероятностью притягивается к ним. Пусть для определенности, — марковский процесс с конечным числом состояний, рассматриваемый в теоре­ ме 4.2; Ъ= 0, и все собственные значения матрицы А имеют отрицательные вещественные части. Тогда начало

ная область с границей dD, содержащая начало коорди­

ниями, и матрица А (у) в этих состояниях обращается соот­ ветственно в

Рассмотрим систему Xf = А (£*/е) X?. Если бы процесс It не переходил из одного состояния в другое, то при любом начальном состоянии £0 начало координат было бы неустойчивой точкой покоя — седлом. Пусть матрица Q для процесса \t имеет вид

Стационарное распределение такого процесса — равно­ мерное — (1/2, 1/2). Усредненная система

х1= у (а — а) х11 х2= —•{а — а) х%

при а > а имеет в точке 0 асимптотически устойчивое положение равновесия. Нетрудно доказать, что в этом

случае траектории процесса Xjr при любом е > 0 с вероят­ ностью 1 при оо стремятся к 0, т. е. за счет случайных переходов процесса £* система приобретает устойчивость. С помощью результатов настоящей главы можно вычис­

§ 9. Принцип усреднения для стохастических дифференциальных уравнений

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

ский процесс; а (х, у) — (а- (ж, у)), С {х, у) = (cj (х, у)) —

матрицы, переводящие Вп в Лг и R1соответственно. Функции Ь{(х,у),В{{х, у), а] (о:, у), Cj(xt у) предполагаются огра­ ниченными и удовлетворяющими условию Липшица. На этом примере мы рассмотрим уравнения типа (1.5), когда скорость быстрого движения зависит от медленных пере­ менных. Заметим также, что, в отличие от предыдущих параграфов, медленные переменные в (9.1) даже при фик­

Решения этого уравнения образуют марковский процесс в

R\ зависящий от х е i f , как от параметра.

Сначала мы сформулируем и докажем принцип усред­ нения в случае, когда элементы матрицы а(х, у) не зависят от г/, а затем укажем на те изменения, которые необходи­

чим X t случайный процесс в Rrt определяемый дифферен­ циальным уравнением *)

Xt=b (Xt)+ а (Xt) wt, Х0 = X.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Рассмотрим разбиение отрез­ ка [0, Т] на одинаковые интервалы длины Д. Построим

вспомогательные процессы Yt и Xt с помощью следую­ щих соотношений:

г

цесс, что и в (9.1). Так как функция Ь(х, у) удовлетворяет условию

Липшица, то Ь(х) тоже удовлетворяет условию Липшица, так что решение уравнения существует и единственно.