книги / Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений

где С — некоторая симметричная постоянная матрица порядка г. Легко видеть, что из (7.1) при as == а вытекает равенство

уточнять не будем, матрица С является матрицей вторых производных по переменным а от функции Н(х, а), введен­ ной в § 4, при х = 0, а = 0.

В дальнейшем мы будем предполагать для простоты, что det С Ф 0. Если матрица С вырождается, но какое-то собственное значение отлично от нуля, то по существу все результаты сохранятся, только их формулировки ста­ нут более громоздкими.

На функциях из CoT(Rr) определим функционал

г

S (ф) = S OT (ф) = - у j (С"‘(ф, - Я Ф ^ Ф. - £ ф 4)d st

О

если cps абсолютно непрерывна; на остальных <p е CoT(Rr) полагаем S(ср) = +оо. С таким функционалом мы уже встречались в гл. 4; S(ср) — нормированный функционал

где Wt — процесс белого шума. Ниже мы поясним, какое отношение к нашей задаче имеет уравнение (7.3).

нец, вычисление функционала действия для процессов

г), проводится так же, как это делалось в лемме 4.3 (см. также (Г е р т н е р 11])). При этом используется послед­ нее условие теоремы.

Таким образом, функционал S((р) и нормирующий коэффициент /(г) = е2х-1 характеризуют отклонения

порядка 8х, х е (0, 1/2). Процесс K_1/2Xf в соответствии с теоремой 3.1 при е->- О сходится к гауссовскому процес­

мы 3.1 следующим образом: вероятности уклонений по­ рядка 8х, х е (0, 1/2), имеют ту же асимптотику, что и уклонения порядка 1 под действием гауссовского шума

XCw, X = 81/2~х. Этот факт, конечно, находится в пол­ ном соответствии с тем, что большие, по не очень большие, уклонения для сумм независимых слагаемых имеют ту же асимптотику (в главных членах), что и соответствующие уклонения нормального приближения (см. Л и н н и к,

И б р а г и м о в [1 ]).

Рассмотрим теперь некоторые случайные процессы, для которых можно проверить условия теоремы 7.1 и вычислить матрицу С.

Т е о р е м а 7.2. Пусть Е£ — стохастически непрерыв­ ный марковский процесс с конечным числом состояний;

§ 7] НЕ ОЧЕНЬ БОЛЬШИЕ УКЛОНЕНИЙ 335

Отсюда и из (7.6) следует (7.2), а стало быть, и условие Fx. Проверку остальных условий теоремы 7.1 мы предо­ ставляем читателю.

Аналогичный результат верен, конечно, и для некото­ рых других марковских процессов, например, если — невырожденный диффузионный процесс на компакте. Близкие по существу рассуждения позволяют проверить условия F и Fx и для некоторых немарковских процессов с хорошими свойствами перемешивания (ср. С и н а й [1 ]).

Выпишем уравнение Гамильтона — Якоби для функ­ ции u(t, х) = inf {SоДср): фо = 0, ф* = х}\ как неодно­ кратно говорилось, через эту функцию выражаются глав­

щей точку 0, если De получается сжатием в ех раз из не­

функции V(x). Аналогично тому, как это делалось в § 3 гл. 4, можно доказать, что функция V(x) есть решение задачи R0 для уравнения

~ (C W (X), VV (х)) + (Ъх, VV (X)) = 0.

Непосредственной проверкой нетрудно убедиться в том, что если матрица С~1В симметрична, то F(:r) =

=*— (С^Вх, х).

Взаключение этого параграфа заметим, что аналогич­ ные оценки можно получить не только для отклонений порядка ех, х е (0, 1/2), от положения равновесия, но п для отклонений порядка 8х от любой усредненной траек­ тории.

§8. Примеры

1.Рассмотрим сначала случай, когда правые части уравнения (1.2) не зависят от х и процесс £* стационарный.

Тогда X] можно представить в виде

838 ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ С ОСРЕДНЕНИЕМ [ГЛ. 1

ляемля условием F, тоже пе зависит от х, и нормирован­

ный функционал действия £ оТ(ф) имеет вид: *5от(ф) ^

г

= J* L (cps) ds, где L(P) — преобразование Лежандра функ-

и

ции #(а). Как объяснялось ранее, для вычисления асимп­ тотики вероятностей многих интересных событий важно уметь находить функцию

U(t, х) = ini{Sot{y): ф0 = х0, ср* = х}.

В случае, рассматриваемом здесь, эта нижняя грань и экстремаль, на которой она достигается, просто вычис­ ляются. Действительно, будем считать, что функция L(P) строго выпукла. Тогда уравнения Эйлера для функцио­ нала 5(ф)

- i r t W - o

показывают, что экстремалями являются только прямые

Ф = с, с е Rr. С учетом условий на концах отрезка [О, t ] получаем, что нижняя грань достигается на функции

если только эта нижняя грань совпадает с нижней гранью, взятой по совокупности внутренних точек множества D. Если, кроме того, нижняя грань достигается только в

одной точке х е D[JdD, то нетрудно доказать, что для любого б > О

H m P l i X ? - £ | < 6 | X ? s f l U dD) = 1 .

о

lim e In М exp ti о

и пусть функция Н|(сс) дифференцируема по а. Тогда, как легко проверить, условие F выполняется для уравне­ ния (8.2), и

Преобразование Лежандра Ь(х, р) функции Н(х, а) прос­ то выражается через Ь^ф) — преобразование Лежандра для Н^(а):

\Я21 Ягг + («, e2)J

Рассмотрим случай, когда дп = д22 = —д, ех = —е2 =

= е е Rr. Решая характеристическое уравнение, нахо­ дим, что

(а) = - q + у q%+ (а, ef,

и с помощью соотношения (8.4) получаем функцию Н(х, а) для семейства процессов X].

Предположим, что 0 — асимптотически устойчивое по­ ложение равновесия для системы (8.3). Для нахождения асимптотики среднего времени выхода из области, содер­ жащей точку 0, точки, через которую этот выход происхо­

дит, асимптотики инвариантной меры процесса X ®и дру­