Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

21.91 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 3132 / 4332 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 > Следующая >>>

4 4} БОЛЬШИЕ УКЛОНЕНИЯ ОТ УСРЕДНЕННОЙ СИСТЕМЫ 311

как £(ф )>0 при ф е [А ], и функционал £(ф) полунепреры вен снизу. Таким образом, если выполняются условия теоремы 4.1, то вероятность отклонения порядка 1 от траектории усредненной системы экспоненциально мала.

В § 8 мы рассмотрим некоторые примеры использования теоремы 4.1, а сейчас займемся вопросом о выполнении

условий этой

теоремы

в случае,

когда

— марковский

процесс.

4.3.

Предположим,

что

— однородный

Л е м м а

марковский

процесс

со

значениями

в D с :

пусть

при любых х,

а е й г равномерно по у е

Н (х1а).

(4.8)

lim — lnM^ exp

Т-*оо 7

Тогда условие F выполнено.

Пусть

а3

и zs — ступенча

Д о к а з а т е л ь с т в о .

тые

функции,

ak,

zk — соответственно их

значения на

tk);

0 <1 to <

h < U <С . . . <

tn =

Г. Используя

марковское

свойство,

можно написать

f j(a8,b(*s,&s/8))d3

lim е In Mu е

Е->0

J Ц

. ^2-Ц

—

(ct2,b(Zj,is/e))d,

lim e In М„е 0

•IVU /pe

e - 0

' ,/E

*n—1

1 tn

(an,b(2n>5s/e))^3

X . . .

X Mstn—1/8e

Из

(4.8)

следует,

что

(afe»ft(zA’5s/e))^

— H (zhl ah) (th— th_ ,)

e In Mj,e

(4.9)

где

6 ft -> 0

при e -> 0

равномерно

у s

D. Повторяя

на каждом

полуинтервале

[th-i,

tk)

эту

оценку,

из (4.9)

312

ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ С УСРЕДНЕНИЕМ

[ГЛ. 1

получим

е InМ exp Д 1 (ocs, Ь(zs, t /e)) ds

-	^	V	A
-	2 П (г,,, a) (/, - tk-\) <	^	°b.
	k^i

Из этого соотношения вытекает условие F.

Для марковских процессов можно сформулировать общие условия типа феллеровости и положительности переходных вероятностей, которые обеспечивают выпол нение условия F и дифференцируемость Н(х, а) по а. Мы не будем касаться общего случая и остановимся подроб нее на случае, когда — марковский процесс с конечным числом состояний. В § 9 мы рассмотрим случай диффузион ного процесса

Итак, пусть		£*,	t	0,— однородный,		стохастически
непрерывный	марковский процесс с				N	состояниями
{1, 2, . . ., N};		Pij{t)		— вероятность	перехода из i в /
через время t,	P(t)		—	{pu(t)). Обозначим Q =			(q^)	матри
цу, состоящую		из	производных		при		t =	0 ; эти
производные,	как			dt
			известно, существуют.
Т е о р е м а		4.2. Предположим, что всеэлементы мат-

рш^ы, @ отличны от нуля. Обозначим Qa'x=(</ijX) матрицу,


элементы которой	задаются			равенствами:			^	+
+ 8 i;*•(a, b (.г, г)), где		= 1 при г =			/ и	==	0 при г	/.
Тогда матрица Qa x		имеет	однократное				вещественное
собственное значение X — Х(х,			а), которое превосходит ве
щественные части всех		остальных			собственных значений.
Это собственное значение дифференцируемо по а. Условие F
в этом случае выполняется, и П(х,					а) =	Ця,	а).	про
Д о к а з а т е л ь с т в о .			Если		l t — марковский
цесс, то семейство	операторов			Tt,		0 , действующих

на множестве ограниченных измеримых функций на фа зовом пространстве процесса £* по формуле

ТJ/ (z) = MJ (|,) exp |f (a, b (.r, g,)) ds u

§ 4] БОЛЬШИЕ УКЛОНЕНИЯ ОТ УСРЕДНЕННОЙ СИСТЕМЫ 313

образует положительную полугруппу. В нашем случае фазовое пространство состоит из конечного числа точек, и эта полугруппа представляет собой полугруппу матриц,

действующих		в TV-мерном пространстве векторов / =
= (/(1), . .		}(N)). Легко вычислить инфинитезимальный
оператор	А этой полугруппы:
А =	lim	= (qu + 6и .(а, Ъ{х, г))) = <?“ ■*.
	по	1

С его	помощью полугруппа	Tt представляется	в виде:
Тх =	exp {tQa>x}. Так как,	по предположению,	Ф О,

то элементы матрицы Tt при £ > О строго положительны.

11о теореме Фробениуса (Г а н т м а х е р	[1 ]) наибольшее
по модулю собственное значение такой	матрицы р, =

= ц(£, х, а) вещественно, положительно и однократно.

Ему	соответствует собственный вектор е (t, х, а) = (еи ...,
	N
eN),	2	еи= 1» все компоненты которого положительны.
	k=1
Из		полугруппового свойства операторов Tt нетрудно

вывести, что вектор е (t, х, а) на самом деле от t не зависит и является собственным вектором матрицы Qx>a: Qx>a е(х, а) = = Х(х, а)е(х, а). Соответствующее собственное значение К(х, а) вещественно, однократно, превосходит веществен ные части всех остальных собственных значений матрицы Qx’a, и Ix(t, ху а) = ехр {t-Цху а)}. Дифференцируемость Цх, а) по а вытекает из дифференцируемости по а элемен тов матрицы Qx*a и однократности собственного значения

Цху а) (см.	К а т о [1 ]).
Чтобы закончить доказательство теоремы, в силу лем
мы 4.3 достаточно показать, что
lim Y In Мг схр \|j (а, b (х, У ) dsj		= X (х, а)
Т - * ос
при 1 = 1,	2 , . . ., N. Это равенство можно,		очевидно,
переписать	следующим эквивалентным	образом:
	Н ш ^-1п(7’,1 )(0= Х{х, а),		(4.10)
	Т-*оо1

где 1 — вектор с единичными координатами.

314 ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ С УСРЕДНЕНИЕМ [ГЛ. 7

Чтобы доказать (4.10), воспользуемся тем, что все		ком
поненты собственного вектора е =	е(х, а) = (ei, . .	ек),
N	min eh^. max ek	1.
2 ^ = 1» положительны: 0 < с <	min eh^. max ek	1.
	l<A<iV

Отсюда, учитывая положительность полугруппы Ти

можно заключить,	что
с (Tt1) (i) <	(7>) (0 =	< ( r tl) (0

при £ = 1 , 2 , . . . , N. Прологарифмируем это соотношение и разделим на t:

4 In с + 4 In (Ttl) (i) < 4 In (Tte) (i) =

=	a ) + f lnet^ ± ] n ( T tl)(i).

Устремляя в этой цепочке неравенств £->■ оо, получаем (4.9). Теорема 4.2 доказана.

Заметим, что в случае, который рассматривается в теореме 4.2, можно написать уравнение для введенной выше функции u(t, z), не отыскивая наибольшее по вещест венной части собственное значение Х(х, а) матрицы Qx>a. Действительно, Х(х, а) = X — корень характеристического уравнения

det (qtJ + 6 „[(a , b(x, i)) — X]) = 0.

(4.11)

Так как в силу (4.7) и теоремы 4.2 функция u(t, z) удовлет

воряет уравнению Гамильтона— Якоби ^ (£, z) = X(z, y zu),

то u(£, z) должна также удовлетворять и следующему уравнению:

det (qu - 6и ^(v,u (*, z), Ь{z, i)) - |j-j) = 0,

причем следует выбирать то решение этого уравнения,

для которого ^ — корень уравнения (4.11) при а =

= y zu(t, z), имеющий максимальную вещественную часть.

5 5]

БОЛЬШИЕ УКЛОНЕНИЯ. ПРОДОЛЖЕНИЙ

315

§5. Большие уклонения. Продолжение

Вэтом параграфе мы докажем теорему 4.1. Выберем маленькое число Д > 0 так, чтобы Г/Д = п

было целым. Пусть ф* : [О, Г] Rr — кусочно-постоян ная, непрерывная справа функция, имеющая скачки толь

ко в точках вида &Д, к =		1, 2, . . ., п — 1. Рассмотрим
семейство случайных	процессов
		t
Х1Л=	х +	J Ъ(ф5, g</8) ds
		О
		т

и обозначим SQT(ф) = SQT(ф) = J L (ф5, ф5) dsx если ф5 абсо-

лютно непрерывна, SoT(ф) = -\-оо для остальных ф е е C0T(Rr). Функционал 5'оТ(ф)’ полунепрерывен снизу;

множество	Ф^з) =	{ ф е CoT(Rr) : Sот(ф) s,	фо = х }
компактно в CQT(Rt).		Это доказывается в точности так же,
как лемма	4.2.
Кроме того, заметим, что функционал ^ (ф )			при каж
дом ф полунепрерывен снизу по ф в топологии			равномер

ной сходимости. Это немедленно следует из леммы Фату и полунепрерывности снизу по совокупности переменных функции L(x, Р): если фп-*-ф, то

lim 5 QT (ф) =		П т	j L (ф£, фв) ds >
П~-*оо	,	п->ос о
		Т		Т
		> ЦИт L (\р”, Ф.0 ds>jL(vl5s,(ps)ds = s t T(ф).
		О	п-*-оо	О
Л е м м а		5.1. Пусть выполнено условие F, и функция
Н(х, а)	дифференцируема по переменным а.

Тогда функционал 5(ф) будет нормированным функ ционалом действия в пространстве CoT(Rr) для семейства

процессов	при вч» 0 с нормирующим коэффициентом
т = « -1.

316	ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ С УСРЕДНЕНИЕМ		[ГЛ. 7
	Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть ai, 0С2, . .	a n	е	Rr•
Обозначим a(s) кусочно-постоянную функцию		на	[О,	Г],
которая при S G ((/ — 1)А, £Д] принимает значение			п	а/<»
			2

k=i

i = 1, 2, . . ., м. Функцию /Ге (аь а2, ... , ап), где х — на чальное условие: XI = я, определим равенством

л? («ь	.	. ап) = г In М ехр \|е~1Д (aft, X ^ )j.
Учитывая	определение		можно записать
h$(au . . . , 0 ,)		=

= е In М expje- 1J(a(s), Ъ(\|>3, 1</е)) dsj + (V 2 J « а

Отсюда и из условия F вытекает существование предела

hx (ait . . ап) = Jim/?*(аь . .. , а п) и равенство е->0

hx(аи . .. ,а п) = ] Н	a (s)) ds +	[x,	2	aft)
о		\	A=I	/
Легко видеть, что функция	kx(a\, . .	а п)	выпукла по

переменным ai, . . а п; из дифференцируемости функции Н(х, ос) по второму аргументу вытекает дифференцируе мость hx(oci, . . .,an).

Обозначим Iх i, , . ., |3П), рь e 7?r, преобразование Лежандра функции hx (ai, . . ., a n). Функция 1хфi, . . ., pn) следующим образом выражается через L(x, (3) — преобра зование Лежандра от Н(х, ос):

		т
Iх	=	(5.1)
		О

где f5(s) — кусочно-линейная функция на [0 , 74, имеющая изломы в точках, кратных Д, и принимающая в точке кА значение (3*, |3и == х. Действительно, если х = 0, то по

§ 5]

БОЛЬШИЕ УКЛОНЕНИЯ. ПРОДОЛЖЕНИЕ

317

определению

преобразования

Лежандра

г ° ( Р ..............Р „ )

sup

(“ а, Ра) — А 2

# ^fc-од .

а(

k=\

Ь=1

г=А

= Д

sup

jsup

( ® i .

P i / A )

Фо, “

1 +

2 ®

а2, •••>&n ( Otl

i—2

(ак, рк/Д) —

'Ь - п д ,

®|

А=2

г—А

sup

\b (\JJ0, pt/A) +

«2, -.«П

.A=2 4

fc=2

2 «.У

i--ft

AL (\150, рх/Д) +

sup

.fc=24

«2,••

fc=2

H (

DA»

2 a i

i-&

Выделяя в последнем слагаемом верхнюю грань по 0С2, как это ранее сделано для ai, затем выделяя верхнюю грань по аз и так далее, придем к соотношению

i° ( P i , . . Рп) = 2	д * ь ( % й_ 1 )Дт	ь - ь - * ),
h= 1	4	7

которое эквивалентно (5.1) при х = 0. Отсюда, если за

метить,	что	Iх (01, .. ., Рп) = 1° (Pi — я, . . .,		0 п — х),
получаем	(5.1) для		произвольного начального	условия
х е й г,
Положим		Г\г =	(X д^, Х 2д\ . . ., Хпд). Если	Xf'* —

процесс в r-мерном пространстве, то це — случайная ве личина со значениями в (Rr)n — произведении п экземп

ляров пространства	Rr. Из определения hx (ai, . . ., a n)
следует, что hx (al2	.. .Лan) = Нш е In М exp (е- 1 (а1 ц8)},
	е-*0


3l8	ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ						С	УСРЕДНЕНИЕМ	[ГЛ. 7
где а — (ai, 0С2, . .				a 7l). Обозначим ФА($) = ( е е					(й г)п:
Iх (*ь . .. , ел) <				ДРИ 5 <		оо;	р (в, g) = шах \|eh — gk\|,
где е =	(еи .. ., ел), g = (£ъ					. . . , gn) — точки пространства
(йг)п- Из теоремы 1.2 гл.					5 следует, что для любых s, б,
у > 0 и любого е ^				(йг)п	при достаточно малых е выпол
няются	неравенства
Р{р(ч*,		е) <	б] ^ ех р		(	е	(f	(^i,_ •! •хет	?)Ь
								i) +
Р (р ( 11е, Фд (s)) >			б] < ехр \|— е-1 (s					Y>1*	(5.2)

Пусть ф е C0T(R ),

ф0

Обозначим фл = (фд, ф2д, точно малых б' = б'(б) И

. .

30Т(Ф) < 00v б > 0.

., ФпД) е= (.Rr)\ При достаII >

Р{Рог(Хр*. ф) < 6} >	Р{р(1Г, ФА) < б'}.
Это неравенство вытекает из	того, что траектории
и функция ср, для которой	5 ^ (ф )< оо, удовлетворяют

условию Липшица. Оценивая правую часть последнего

неравенства	с помощью первого из	неравенств	(5.2),
для каждого	0 при достаточно малых е будем иметь
Р1рог(Х8Л	ф) < §) > е х р { — е l (lx (фД\| ...,Ф „д) +		т)}=>
	*= ехр		(5.3)
где ф3 — кусочно-линейная функция,		имеющая изломы

в точках, кратных А, и совпадающая в этих точках с функ цией фз.

Далее, принимая во внимание абсолютную непрерыв ность функции фз и выпуклость вниз L(x, f}) по р, пол> чим

П	J	г
< 2	J	i ( % - 1)Дг Ф.) ds = $L (фи ф8) ds ~ S^T(ф).
ft=1 (А—1)Д		О

(5.4)

§ 5] БОЛЬШИЕ УКЛОНЕНИЯ. ПРОДОЛЖЕНИЕ 319

Из (5.3) и (5.4)	вытекает первое из двух		неравенств,
входящее в определение		функционала действия:
Р (Рот {X е’*, ф) <	6} >	ехр { - е - 1(5?г (Ф) +	v)K (5.5)

Чтобы доказать второе неравенство, заметим, что при достаточно малых Д(6), 6Г(6) справедливо включение

{ ( o s f i : p er( X 4 а д )			> 6 }	с
			£	{со е= Q: p(if, Фл($)) >			б'},
где	Фх (s) =	(ср <= Сог (Rr): ф0 =			х, SJr (ф) <	s}. Из	этого
включения		и второй из	оценок		(5.2) вытекает нужное
нам	неравенство
	Р{роГ(Х ^ , Фа(5)) >		6} <	ехр { —e -x(s -		у)}.	(5.6)

Как уже говорилось, компактность множества Фх($) до казывается так же, как лемма 4.2.

Лемма 5.1 доказана.

Из этой леммы и полунепрерывное™ снизу функцио

нала ЗЗг (ф),		как	обычно, вытекает,		что	для	любого
/1 d	Сот (Я )	выполняются неравенства
—	inf S (ф) ^ lim е In Р {Xе’^ е			А] ^
Ф^(А)		е-*0
		Нш е 1пР {Xе’^ d		А] ^ —	inf	S (ф). (5.7)
		ь->0			ф<Е[А ]
Здесь (А) — совокупность точек				множества		А,	внутрен
них относительно			пространства Сот С^г).				Н{х, а)
Л е м м а		5.2.	Предположим, что		функция
дифференцируема по переменным а. Пусть						:	[0,74

Rr — последовательность ступенчатых функций, рав номерно сходящаяся при п ->■ оо к некоторой функции

Ф е СоГ (i?r). Тогда существует последовательность ф(п>е d C ur(7?r), равномерно сходящаяся к ф, такая, что

320 ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ С УСРЕДНЕНИЕМ [ГЛ. 7

Д о к а з		а т е л ь с т в о .		Для произвольного разби
ения	0 = t0	<	tx < t2 < ... <	tn—i < t n= T имеем
<*> >	Sur (ф) =		J L (<ps, q>„) ds =
			0

= f sup [(фа, a) — II (cp5, a)] ds > 0 «

	«	sup	*C
	2	sup	J 1(ф4, a) — H (фв, a)] ds =
	A—1	a	1
			1
= V	sup	(Ф»к -	Ф(й-ь a) -	j / / ( 9 s,a)ds . (5.8)
h^i	a			1
Положим				1
Положим
yh(a) =	tfi
yh(a) =	j Я (ф„ a) ds; lh(p) =			sup [(a, p) — yh(a)].

h—1

Из условий леммы вытекает, что функция ук(а) выпукла вниз и дифференцируема. Функция 1кф) выпукла вниз, неотрицательна и полунепрерывна снизу. Соотношение (5,8) можно переписать в виде

		71
00 >	SoT(ф) >	Д 1„[ф,л -	ф
Известно (см.	Р о к а ф е л л а р		[11), что если 1кф) —
полунепрерывная	снизу	выпуклая	функция, и р* е

е{Р : /ft(P) < оо }= Ак1 то ift(P*) = Иш 1к(\3), где точки р

принадлежат	— внутренности множества	относи
тельно его аффинной оболочки *). Поэтому для		всякого
*) Аффинная оболочка aff А множества А С IV определяется
		771	-j

равенством aff А =|У1.Г| 4* ... + у х : хх,

§ Г - ‘ •

<<< < Предыдущая 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 3132 / 4332 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.2023374.36 Кб5Финансовый анализ деятельности предприятия..pdf
#
12.11.20232.23 Mб3Финансовый менеджмент..pdf
#
12.11.202311.22 Mб4Финишная обработка лепестковыми кругами..pdf
#
12.11.20238.65 Mб2Фитнес как эффективная система физического развития студентов..pdf
#
12.11.202310.86 Mб41Флотационные реагенты..pdf
#
12.11.202321.91 Mб11Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений..pdf
#
12.11.20234.35 Mб20Фоносемантическая звуковая картина мира..pdf
#
12.11.20237.17 Mб6Формирование гражданской компетентности..pdf
#
12.11.20231.78 Mб3Формирование системы мониторинга реализации программы социально-экономического развития региона..pdf
#
12.11.20238.74 Mб12Формирование состава остаточных нефтей..pdf
#
12.11.20231.26 Mб4Формирование физической культуры личности студента политехнического университета средствами спорта (на материале единоборств)..pdf