книги из ГПНТБ / Добровольский В.А. Очерки развития аналитической теории дифференциальных уравнений

ным условиям при х=Хо, то существует также однозначная, не­ прерывная и конечная функция у в окрестности Хо, удовлетворя­ ющая уравнению (10.5) и заданным начальным условиям для

Далее Фукс рассматривает вопрос существования интеграла вне указанной окрестности Хо. Областью Т' называется область 7' за вычетом кругов довольно малых радиусов и содержащих особые точки. Соединяя эти кружки непересекающимися линия­ ми с границей области Т, он получает односвязную замкнутую

250

область Т". Внутри ее остается вышеопределенную функцию у продолжить некоторым способом, так что внутри Т" получится однозначная, непрерывная и конечная функция у, удовлетворя­ ющая уравнению (10.5) и любым начальным условиям для каж­ дой точки этой области. Но если выйти из точки Хо и возвра­ титься в нее после одного или нескольких переходов через сече­ ния, то у и его производные в общем получат значения, отлич­ ные от первоначальных. Ими как начальными условиями внуттри Т" определяется функция, отличная от у. Таких функций можно получить бесконечно много. Далее речь идет о многолист­ ной поверхности и сечениях, по разные стороны которых функ­ ция принимает различные значения и о переходе переменного х через сечения с одного листа на другой непрерывным образом вдоль бесконечно многих ветвей. «Этим,— заключает автор,— полностью определено поведение интегралов дифференциально­

го уравнения (10.5) внутри Т', когда в точке этой области уста-

dy

новлены любые заданные начальные условия для у, , ...

аіГП—1V

dx”1- 1>К

В скором времени (1870 г.) Фукс предложил в статье [153.4] новый вариант построения ряда, представляющего интеграл ли­ нейного дифференциального уравнения. Члены рядов такого ви­ да строились в форме повторных квадратур по весьма простому закону, хотя на практике вычисление их было довольно трудо­ емким. Однако идея его весьма отлична от той, которую исполь­

зовал раньше Каке, и носит более естественный и простой харак­ тер.

Фукс рассматривает уравнение вида

У{т) = Рт—іУШ'+Рт_2*/"-2+ • • • + Р0У + Р (1°-12)

с заданными начальными условиями при х = х0, у — г)0,

<10ЛЗ>

имея в виду, что точка х0— обыкновенная. Решение уравнения (10.12) ищется методом вариации произвольных постоянных в форме

где функции ct (x) подлежат вычислению, а уѵ у2, ... ,ут— система

линейно независимых частных интегралов. После известных преоб­ разований Фукс получает искомый интеграл 1 в форме

(10.15)

1 Д здесь означает определитель, получивший позже имя Вронского;

— коэффициент при у<(т-1).

251

лежащим к точке Хо. В случае однородного уравнения он обра­ щается в нуль. Величина его не зависит от того, какой у, брать из фундаментальной системы.

Введя обозначение линейного дифференциального оператора, исходное уравнение (10.12) можно записать в форме D (у)—р = 0. Обозначив через D2(y) оператор, содержащий производную не

Затем рассматривается следующий процесс. Пусть и0— ин­ теграл уравнения D\(y)=0 при начальных условиях (10.13).

Положив в уравнении (10.16) у = щ + и, видим, что и есть основной интеграл, принадлежащий к точке х0, уравнения

Далее рассматривают применение этого процесса для непо­ средственного вычисления функций (и и F), не обращаясь каж­ дый раз к дифференциальному уравнению. Из изложенного еле-

252

После соответствующих подстановок и замен переменных 1 из (10.20) и (10.23) при р > 0 следует

ющие ряд для интеграла у. Автор устанавливает сходимость ря­ да f ’ i ( x ) + F 2 ( x ) + ..., отмечает, что интегралы берутся вдоль любой кривой, не преходящей через особую точку, обращая вни­ мание на случай бесконечного пути, устанавливает также сходи­ мость ряда г/= «о+ «і+ ... и то, что он удовлетворяет данному уравнению. В заключение показывается, что ряд, построенный Каке (см. § 1 этой главы), может быть рассмотрен как специаль­ ный случай указанного Фуксом класса представлений.

§ 3. Развитие вопроса в работах других ученых (Гюнтер, Шлезингер, Племель)

Усовершенствование доказательства теоремы Фукса о суще­ ствовании интегралов линейных дифференциальных уравнений было предложено в 1897 г. молодым математиком П. Гюнтером. Основная идея его работы состоит в замене вспомогательного уравнения, рассматриваемого Фуксом, другим, общий интеграл которого может быть указан непосредственно.

АГП—І ,

1 В том числе и под знаком определителя вместо производных - ds',т —1 ста-

нут D i ( y ) t і = і , 2, . . . . /и; он обозначается А(б х ) .

253

Рассматривая линейное однородное уравнение вида (10.5) при тех же предположениях, которые указаны в начале § 2 этой главы, и исходя из

где величины А получаются из величин р и их производных дей­ ствиями сложения и умножения. Далее образуется уравнение

так, что все производные удовлетворяющей ему функции и пред­ ставляются в виде

Г

> Ааі(х0), /=1, 2,..., т. Но общий интеграл уравнения (10.26) известен

а=1

254

где sp s2........ sm—корни уравнения

s(s— 1)... (s — m + 1) =

=—M /s (s — 1)... (s — m + 2) + + M / 2s (s — 1)... (s — m +

+3 ) . . . + (— l)m-1Afm_ 1rm-Is +

По поводу заметки Гюнтера Фукс в том же журнале поме­ стил замечание, где отметил свой приоритет в разработке данно­ го вопроса, имея в виду неточности в рецензии Максима Бохера [104], считавшего основателем теории Римана и приписавшего Фуксу лишь обобщение метода Каке. Более общую и весьма про­ грессивную постановку вопроса наметил Шлезингер (78) в 1905 г. В результате многолетнего изучения теории линейных уравнений и, в частности, работ Римана он пришел к заключе­ нию, что большинство изучаемых в этой теории вопросов, в осо­ бенности теоретико-группового характера, можно трактовать более глубоко, если их рассмотрение связывать не с однородным линейным дифференциальным уравнением п-го порядка, а с си­ стемой п однородных линейных дифференциальных уравнений первого порядка. Кроме этого, поводом к его занятиям данным вопросом, как указано в статье [254.4], было то, что доказатель­ ство теоремы существования интегралов линейных уравнений Фуксом не выходило за пределы круга идей теории функций Коши—Вейерштрасса, в то время как сам Фукс уже в своем первом фундаментальном сочинении провозгласил курс следова­ ния идеям Римана. Шлезингер указывает как на один из недо­ статков метода доказательства Фукса тот, что при нем нельзя усмотреть характер сочетания мнимой и действительной части в моногенных интегралах, удовлетворяющих линейному диффе­ ренциальному уравнению. Поэтому он считал небесполезным

255

развить метод доказательства существования интеграла систе­ мы уравнений, основанный на применении способа Коши—Лип­ шица для случая действительной независимой переменной, а затем, постепенно следуя пути, указанному Риманом, для опре­ деления интеграла моногенной функции комплексного перемен­ ного подойти к случаю комплексной независимой переменной. В той части, где речь идет о случае действительной переменной, этот метод перекликался с тем, которым занимался Вольтерра (79) в его замечательных сочинениях в 1887—1899 гг. Эти сочи­ нения, как указывал Шлезингер, тогда мало известные по эту сторону Альп, служили стимулом к его занятиям.

Для системы уравнений

где коэффициенты йік — однозначные и конечные функции дей­ ствительного переменного х на отрезке (р, г), при заданной мат­ рице (y°ik) от п2 постоянных элементов с отличным от нуля опре­ делителем при q<r строится интеграл-матрица

тJ

Р

Здесь

л

нальную систему, которая, будучи подставлена вместо уѵ у2,’ • • • >Уп> удовлетворит уравнению (10.27). Итак, матрица

представит, следовательно, такую фундаментальную систему интегралов дифференциальной системы (10.27), которая при х = р принимает начальные значения (гДь); эта система будет, очевидно, однозначно определена заданием ее начальных зна­ чений.

После исследования свойств интеграл-матриц Шлезингер пе­ реходит к изложению случая комплексной переменной, рассмат­

1 біь — символ Кронекера, 6іь = 0 для і ф к , 6*а= 1 и (6іь) = 1 — единич-

I пая матрица.

256

ривая систему уравнении вида

где предполагается для простоты, что аш, ßik есть однозначные, конечные и дифференцируемые функции действительных пере­ менных I, т] внутри односвязной области S на I, т]-плоскости. Для этой системы устанавливаются известные условия интегри­ руемости

(тг)+<М<<%>= (%) + <“«>(М-

Выполняя их и выбирая путь интегрирования целиком внутри 5, строим матрицу

Для краткости она обозначается

(|ДІ)

( n j = s j (*ikdl + Vlkd 4 + 8 ik).

(ІоЛІо)

Эта матрица определена в любой точке (g, ц) области S. Далее доказывается, что она будет однозначна внутри S. Она обладает также тем свойством, что каждый ее ряд, подставленный вместо «1, и2, ..., ит, тождественно будет удовлетворять системе (10.31). Следовательно, (і'іь.) представляет такую фундаментальную си­ стему вполне интегрируемой системы (10.31), которая для |=Ео, г)= г|о преобразуется в единичную матрицу (6іь). Тогда наибо­ лее общая фундаментальная система уравнения (10.31), которая для 1 = 1о, т)=г1о принимает произвольно заданные постоянные начальные значения (u0ik), содержится в форме («ій) = (м°ій)

( V i b ) .

Определив так интеграл-матрицу, Шлезингер обращается затем к классической теории линейных дифференциальных урав­ нений, вводя понятие интеграл-матрицы, определенной кривой с, и, изучив ее свойства, возвращается к рассмотрению системы

(10.27), предполагая уже *=Е+т)Ѵ—1 и огь моногенными функ­ циями от X , голоморфными внутри односвязной замкнутой облас-

ти S х-плоскости. Полагая yh*=Uk+ Vk]/—1; ßift= ctifc + —1, он преобразует комплексную систему (10.27) при отделении дейст­ вительной и мнимой частей в другую, но в общем вполне интег­ рируемую, и строит общий интеграл-матрицу для системы

(10.27) в форме

X

X

(10.32)

при которой, как он отметил, «характер сочетания интегралов из их действительных и мнимых частей наглядным способом пе­ реходит в очевидность».

Не останавливаясь на рассмотрении всех аспектов интерес­ ной статьи Шлезингера, отметим, что здесь были существенно использованы не только результаты Вольтерра и основоположни­ ков теории — Коши, Фукса, но также и соответственных работ Фробениуса, Соважа, Кенигсбергера, Гефтера, Гейзеля, Ландс­

берга и других.

В другом плане было разработано более позднее доказа­ тельство той же теоремы Иосипом Племелем (80) в 1911 г. в статье [254.4]. По его замечанию до тех пор доказательство тео­ ремы существования велось по существу дважды для окрестно­ сти регулярной точки х = Х о , представлявшей начальные условия, и для окрестности особой точки так называемого фуксова типа. Теперь Племель строил доказательства существования таким образом, что из существования решений для окрестности регу­ лярной точки непосредственно следовало их существование при условии приближения х к особой точке а фуксового характера и что эти решения могут возрастать не быстрее, чем степень \х—а\~м, где М — подходящая положительная величина. К то­ му же доказательство Племеля довольно простое по своей кон­ струкции. Итак, рассматриваемое уравнение

(* —а) ип’ = {п — 2) ип — (х —а) рхип —

— (х —а)2ррп_ х — . . . — (х —а)прпиѵ

258

Справа в системе (10.34) коэффициенты и в точке а регулярны. Тогда можно исходить из системы

du.

где аналитические коэффициенты Ац.(х) в точке а будут иметь, полюсы не выше первого порядка.

Доказательство существования проводится обычным путем с помощью мажорант в предположении л:0=0; а=\. Через на­ чальные значения ыь(0), которые по абсолютной величине мень­ ше некоторого положительного g, выражаются все производные при последовательном дифференцировании системы (10.35) в форме

U é " > = ^ k \ m U \ " t" ^ A 2 m U 2 + • • • + ^ knmU n \

где коэффициенты Аихт составлены из первоначальных и их про­ изводных действиями сложения и умножения. Далее обосновы­ вается применение мажоранты в предположении, что все коэф­ фициенты \Ahn(x) |< G , и рассматривается система

Оно может быть представлено и в форме ряда, сходящегося в еди­ ничном круге

ѵ- і г(1 + 4 ^ + -ШД+Л-

иявляющегося рядом Тейлора для функции U, отсюда можно за­

писать ряд Тейлора для uk (x), сходящийся в единичном круге

«W = «(0) + + . -. , (10.38)

и затем придти к уже известным заключениям. Но, как говорит Племель, из указанного выше доказательства сходимости мож­

но узнать еще поведение и(х) в фуксовой особой точке. Предполагая регулярную точку Хо расположенной так, что

на окружности с центром х0, проходящей через ближайшую осо­ бую точку а, не содержится других особых точек, и взяв опять х0 = 0, а —1, он выводит, что в единичный круг входит одна осо­ бая точка, являющаяся простым полюсом коэффициентов А^х{х).

gkX

Они представятся рядом Ахх(х) — ~pg_x + Bkx(x)r где степенной