книги из ГПНТБ / Шински Ф. Системы автоматического регулирования химико-технологических процессов
.pdfВычитая фазовый угол входных колебаний объекта из фазового угла выходных колебаний, получим сдвиг по фазе <Dd между ними:
ф ( / = 2 л - ^ Н . _ 2 я |
— = |
- 2 n - b L = |
- 3 6 0 ° - ^ - |
(1,1) |
Т0 |
То |
т 0 |
То |
|
Знак «минус» в полученном выражении указывает на отставание по фазе выходных колебаний относительно входных. Так как запаз дывание не изменяет форму и амплитуду входного сигнала, то ко эффициент передачи такого объекта при любых периодах колебаний равен единице:
(3= |
1,0 |
(1,2) |
Пропорциональное регулирование объектов с запаздыванием.
Определив свойства объекта, выбирают регулятор. Вначале рас смотрим пропорциональный регулятор, выходная величина кото рого т связана с входной е выражением
т=^-е+Ь |
(1,3) |
где Р — диапазон пропорциональности, %; Ъ — значение |
выходной |
величины, соответствующее заданному значению параметра. |
|
По мере приближения величины Р к нулю коэффициент передачи П-регулятора стремится к бесконечности. При диапазоне пропор циональности, равном 100%, коэффициент передачи регулятора составит 1. Если рассогласование отсутствует, выходная величина регулятора равна Ъ.
Для возникновения в контуре с П-регулятором собственных колебаний необходимо, чтобы запаздывание в объекте обеспечивало
сдвиг колебаний по фазе на 180°. Это условие позволяет |
определить |
||
период собственных |
колебаний |
контура: |
|
|
Ф<*= — 180°= —я |
|
|
Подставляя это |
значение в |
уравнение (1,1), получим |
|
Отсюда |
|
то |
|
|
T 0 = 2 x r f |
(1,4) |
|
|
|
Это соотношение показывает, что контур регулирования с объ ектом, время запаздывания которого равно 60 с, при пропорцио
нальном |
регулировании будет совершать колебания с периодом |
в 120 с. |
|
Далее |
определим влияние диапазона пропорциональности регу |
лятора на степень затухания колебаний контура. Для возникнове ния в контуре незатухающих (гармонических) колебаний необхо димо, чтобы произведение коэффициентов передачи всех его эле ментов было равно 1. А так как коэффициент передачи объекта, обладающего только запаздыванием, равен 1, то для возникновения
20
таких колебаний диапазон пропорциональности регулятора в этомг случае должен составить 100%. Для уменьшения амплитуды ко лебаний контура во времени нужно увеличить значение диапазона пропорциональности.
На рис. 1-5 показано, что при диапазоне пропорциональности, равном 200%, амплитуда каждого последующего полупериода ко лебаний уменьшается в 2 раза, а целого периода — в 4 раза. Именно'
Р=100°/о
р=гоо%
Рпс. 1-5. Затухание колебаний в контуре регулирования с чистым запаздыванием при различных значениях диа пазона пропорциональности.
такую степень затухания колебаний принимают на промышленных предприятиях в качестве оптимальной.
Заметим, что имеется только одно значение диапазона пропор циональности регулятора, соответствующее оптимальному сглажи ванию колебаний контура регулирования. Если объект с временем запаздывания, равным 60 с, подвергается только пропорциональному регулированию, при котором амплитуда колебаний должна умень
шаться |
до 1 - / 4 |
первоначальной |
величины, то |
период колебаний |
системы |
будет |
равен 120 с, |
а диапазон |
пропорциональности. |
21
регулятора должен составлять 200%. Полученные результаты в основном зависят от свойств объекта.
Остаточное отклонение параметра при пропорциональном регули ровании. Основной функцией регулятора является стабилизация ре гулируемого параметра путем формирования выходного сигнала в соответствии с изменением нагрузки объекта. Поэтому нагрузку объекта часто выражают в величинах, соответствующих выходным значениям регулятора.
В уравнении П-регулятора (1,3) выходная величина при отсут ствии рассогласования равна Ъ. Это значение обычно устанавливают равным 50% выходной величины или изменяют его вручную для приведения регулируемого параметра к заданному значению. Но из-за пропорциональности между входом и выходом изменение вы ходного значения регулятора невозможно без соответствующего изменения рассогласования. При изменении нагрузки выходное зна чение П-регулятора должно меняться. Величина отклонения теку
щего значения параметра от задапного определится |
равенством |
р (">—Ь) |
|
е = — T o o — |
( , - 5 ) |
Рассогласование, называемое в данном случае остаточным откло нением параметра, возрастает с увеличением диапазона пропорцио нальности. При диапазоне пропорциональности 200%, необходимом для сглаживания колебапий до l / i амплитуды в течение одного периода (см. выше), изменение нагрузки па 10% дало бы 20?6-пое остаточное отклонение, что недопустимо.
Пропорциональное регулирование объекта, обладающего запаз дыванием, можно охарактеризовать математически. Предположим, что значение выходной величины регулятора в данный момент вре мени соответствует текущему значению параметра, смещенному на время запаздывания:
где п = |
On— ТО/1-1 |
|
|
|
|
||
t/xd. |
|
|
|
|
|
|
|
Таким |
соотношением определяют объект, коэффициент передачи |
||||||
которого |
равен 1, а время запаздывания |
— xd. При |
введении |
регу |
|||
лятора для замыкания данного контура |
получим: |
|
|
||||
|
100 |
. |
, |
|
|
|
|
|
тп = -р- |
(г — Сп) |
|
|
|
|
|
|
100 . |
. |
100 |
. |
, |
|
|
|
т л + 1 = — (г — r„ + i) = — ( г — т „ ) |
|
|
||||
Допустим, что в начальный момент времени с 0 |
= |
0; Ь — 0; г0 |
— 0; |
Р — 200%. Изменим величину задания до 50% . Тогда регулируемый
параметр начнет совершать |
колебания. |
Текущие значения с при |
наличии запаздывания определятся следующим образом: |
||
г о = 0 % |
с 0 = 0 % |
т 0 = 0 % |
7-1=50% |
c i = 0 |
/«1 = 0,5(50 — 0 ) = 25 |
22
ri=500 /o |
c 2 = 2 5 |
wo = |
0,5 (50 — 25)= 12,5 |
||
|
с 3 =12,5 |
т 3 = 0 , 5 ( 5 0 —12,5)= 18,75 |
|||
|
с 4 |
= |
18,75 |
. от4= |
0,5 (50—18,75)= 15,625 |
|
с 5 |
= |
15,625 |
|
|
|
^ |
= |
16,667 |
отю = |
16,667 |
Как видим, колебания выходной величины с затухают, а период, колебаний равен удвоенному времени запаздывания. Следует также обратить внимание на то, что в течение одного периода амплитуда колебаний уменьшается в четыре раза. Наконец, наблюдается от клонение текущего значения параметра от заданного. Динамическое
50
1,0
< о " |
г |
с\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v.-г о |
J |
|
|
1 |
= |
|
1 |
|
|
|
|
10 |
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
I |
2 |
J |
i |
5 |
В |
7 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
n = t/?a |
|
|
|
|
t |
|
|
Рис. |
1-6. |
Идеальный |
переходный |
про |
|
пропор |
|||||
Рис. 1-7. Влияние предела |
|||||||||||
цесс |
при |
пропорциопальном |
|
регулиро |
циональности |
регулятора |
на пере |
||||
вании объекта с чпстым запаздываппем. |
ходный процесс |
при изменении на |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
грузки. |
|
равновесие наступает при 16,667% от первоначального значения параметра. Отклонение параметра от заданного значения составит
г—с= 33,333%
или по равенству (1,5):
• щ ( т - Ь ) = 2, 16,667%
Приведенное изменение регулируемого параметра может быть графически изображено в виде затухающей прямоугольной волны (рис. 1-6). Это возможно в случае, когда на объект, обладающий чистым запаздыванием, в системе с П-регулятором накладывается ступенчатое возмущение. Однако отклонение параметра в виде пря моугольных волн в объектах регулирования маловероятно, так как энергия передается с конечной скоростью и изменение регулиру емого параметра происходит не ступенчато.
Переходный процесс при изменении нагрузки в реальной системерегулирования, состоящей из объекта, обладающего запаздыванием,
ипропорционального регулятора, показан на рис. 1-7.
Интегральное регулирование объектов с запаздыванием. Пропор
циональное регулирование обычно не применяют, когда диапазон пропорциональности составляет несколько процентов. В этом случае:
23-
1—Т5Е7ПУБЛЙЧЙАя 71 |
|
I . . . « п и л |
T P V h , i i 4 E C - H A p - |
необходимо применить другой закон регулирования. Интегральный регулятор представляет собой устройство, выходной сигнал кото рого пропорционален интегралу величины рассогласования во вре мени:
е dt |
(1,6) |
где R — постоянная времени регулятора, называемая временем интегрирования. При наличии в системе рассогласования между текущим и заданным значением регулируемого параметра, выходной сигнал И-регулятора изменяется до тех пор, пока величина рас согласования не станет равной нулю. Скорость изменения вы ходного сигнала интегрального
е регулятора пропорциональна величине этого рассогласо вания:
am =е |
|
|
|
" |
(1.7) |
||
к — R — - 1 i |
|
|
d |
m |
|||
|
|
dt |
R |
|
|||
Рпс. 1-8. Нахождение |
временп |
пнте- |
Реакция |
интегрального |
ре |
||
гулятора на |
ступенчатое |
воз |
|||||
хрнрованпя Н по крпвой |
разгона |
регу |
|||||
лятора. |
|
|
мущение |
представлена |
на |
||
|
|
|
рис. 1-8. Прежде чем исполь |
||||
зовать регулятор в |
замкнутом контуре, найдем |
|
его амплитудную |
||||
и фазовую частотные характеристики. |
|
|
|
Наибольший интерес представляет случай, когда период выну жденных колебаний контура регулирования равен периоду его •собственных колебаний т 0 . Подадим на вход регулятора синусоидаль ное возмущение:
&— A s i n 2 n -t
Ч
На выходе получим интеграл от входа во времени:
т = \- R
•откуда
[ е dt = |
-^r Г [A |
sin 2л |
то |
/ |
) dt |
|||||
) |
|
R |
|
|
|
|
|
|
||
At0 |
\ |
|
J V |
— |
|
|
— |
|
||
-„ |
-cos 2л |
|
)+т0 |
|
|
|||||
, |
т0 |
|
J |
|
|
|||||
2лД |
|
|
|
|
|
|
|
|
где т0 — значение выходной величины при t = 0. Принимая во внимание тождество
- cos х= |
sin ^ — -— + x^J |
|
получим: |
I |
л . 2nt \ . |
Ахо . |
2nR
2i
Сдвиг по фазе интегрального регулятора равен разности между фазовыми углами выходных и входных колебаний:
|
ф » - ( - т + " ) - ^ — 1 — « » • |
<••» |
||
Таким'образом, И-регулятор дает запаздывание по фазе, равное |
||||
90°, |
независимо от периода |
колебаний |
входного сигнала. |
|
Коэффициент передачи интегрального регулятора равен отно |
||||
шению амплитуд колебаний |
на выходе |
и входе: |
|
|
|
_ |
/1т 0 /2пД |
т 0 |
|
|
G R - |
А |
2л7Г |
( 1 , 9 ) |
В |
замкнутом контуре регулирования |
суммарный сдвиг по |
фазе |
объекта а запаздыванием и интегрального регулятора должен быть
равен —я при |
периоде |
собственных колебаний системы |
т 0 : |
|||||
|
|
„ |
_ |
п |
2nxd |
|
_ 1 8 0 о = = _ 9 0 о _ з 6 0 о ^ 1 |
|
|
|
|
|
2 |
т0 |
|
т0 |
|
Решив последнее |
равенство |
относительно т 0 , получим: |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
T 0 |
= 4 T r f |
(1,10) |
Следует обратить |
внимание |
на то, что период собственных коле |
||||||
баний контура в этом случае в два раза больше периода |
колебаний |
|||||||
контура |
при |
пропорциональном |
регулировании. |
|
||||
Для |
того, |
чтобы |
амплитуда |
колебаний контура регулирования |
с течением времени не уменьшалась, коэффициент передачи контура
должен быть равен |
1,0. Так как коэффициент передачи объекта |
с запаздыванием уже |
равен 1,0, то для интегрального регулятора |
он также должен составлять 1,0. Решая уравнение (1,9) относительно
постоянной времени интегрального |
регулятора R , найдем |
|
|||||
|
|
|
|
R==Jo_=2Jd_ |
|
|
(1,11) |
|
|
|
|
л. |
|
|
|
|
|
|
|
2л |
|
|
|
Таким образом, период собственных колебаний контура регули |
|||||||
рования, |
состоящего из объекта с временем |
запаздывания, равным |
|||||
1 мип, и |
интегрального регулятора, будет равен 4 мин при |
посто |
|||||
янной времени регулятора, равной 2/я, или около 0,65 мин. |
|
||||||
Сглаживания амплитуды колебаний до 1 / i |
первоначальной |
вели |
|||||
чины |
за |
время |
т 0 можно |
достигнуть путем |
уменьшения коэффици |
||
ента |
передачи |
регулятора |
или увеличения |
R в два раза. |
|
Изложенное наглядно иллюстрирует рис. 1-9.
В рассматриваемом случае регулятор имеет лишь один параметр настройки, влияющий на демпфирование колебаний. Период коле баний и постоянную времени интегрального регулятора, необхо димую для сглаживания амплитуды колебаний до 1 / i ее величины
25
за время т 0 , устанавливают исходя из свойств объекта. Использо вание интегрального регулятора позволяет устранить остаточное отклонение параметра, свойственное пропорциональному регулиро ванию. Однако в этом случае скорость регулирования несколько меньше.
Рис. 1-9. Затухание колебаний в контуре регулирования с чистым запаздыванием при разлпчпых зпачеппях времени интегрирования.
На рис. 1-10 показана реакция объекта, обладающего запазды ванием, на изменение величины нагрузки при использовании интет трального регулятора. Скорость приведения регулируемого пара метра к заданному значению падает с увеличением постоянной времени регулятора. При некотором значении постоянной ампли туда колебаний регулируемого параметра достигнет 1 / i первона чальной величины за один период колебаний.
Пропорционально-интегральное регулирование. ПИ-регулятор * совмещает свойства пропорционального и интегрального способов регулирования: остаточное отклонение параметра, присущее про порциональному регулированию, полностью исчезает, в то время
* ПИ-регуляторы пазывают также пзодромпымп. — Примеч. ред.
26
как скорость регулирования уменьшается незначительно. Уравне ние, описывающее работу ПИ-регулятора, имеет вид *:
l = — \ e + l i \ |
e d l ) |
(1.12) |
|
Оптимальному режиму работы изодромного регулятора соответ
ствует |
значение |
т 0 , |
которое |
находится |
в интервале |
менаду |
двумя |
|||||||
найденными |
для |
|
предыдущих |
регуляторов значениями |
(т. е. |
|||||||||
4т( / |
> т 0 |
> 2 r d ) , |
и |
зависит |
от |
установленных значений |
диапа- |
|||||||
зона |
пропорциональности |
и |
|
70 |
|
|
|
|||||||
времени |
изодрома |
регулятора. |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
Выше |
было |
показано, |
что для |
|
60 |
|
|
|
||||||
уменьшения |
амплитуды |
колеба |
е-- |
|
|
|
||||||||
с/ |
|
|
||||||||||||
ний до |
у 4 ее величины |
за вре |
|
|
|
|||||||||
мя т 0 , |
необходимо |
соблюдение |
|
50 |
|
|
|
|||||||
следующих |
условий, |
завися |
|
|
|
|
|
|||||||
щих |
от |
применяемого |
способа |
|
40 |
4% |
|
8% |
||||||
регулирования: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
||||||
|
100 |
|
_ |
|
т0 |
|
|
Рис. 1-10. Влияние времени интегриро |
||||||
-75— = 0 , 0 |
НЛП |
.,_ |
f , = |
0,3 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
2л |
Я |
|
|
вания регулятора на переходный про |
|||||
Следовательно, |
коэффициент |
|||||||||||||
|
цесс |
при изменении |
нагрузки. |
|||||||||||
передачи |
регулятора, |
удовле |
|
|
|
|
|
творяющего этим условиям регулирования, должен быть равен 0,5. Пропорциональная и интегральная составляющие коэффициента
передачи изодромного регулятора находятся в разных |
фазах, |
по |
|
этому результирующий коэффициент передачи может |
быть найден |
||
как сумма'векторов обеих составляющих (рис. 1-11). |
|
|
|
Зависимость коэффициента передачи ПИ-регулятора от безраз |
|||
мерного параметра x0/2nR, |
приведенная на рис. 1-12, |
может |
быть |
приближенно аппроксимирована следующими двумя асимптомами,
сопрягающимися при т 0 |
= |
2nR: |
|
|
|
|
GPR |
100 |
|
т0 |
|
||
— р |
|
|
(1,13) |
|||
|
J 00 |
то |
|
т 0 |
||
Срд — |
при Ь |
<^ DO |
||||
Р |
2л R |
2л R |
Максимальная ошибка между истинным и приближенным значе
ниями коэффициента передачи |
наблюдается при т 0 |
— 2лЕ, |
когда |
действительное значение <?рЛ = |
100]/2/Р, а приближенное — |
100/Р. |
|
ПИ-регулятор имеет два настроечныхпараметра |
и оба |
влияют |
на приведение контура в равновесное состояние. Существует бес конечное число комбинаций диапазона пропорциональности и вре
мени |
изодрома, |
обеспечивающих |
затухание колебаний до у 4 ампли |
||
туды |
за период |
т 0 при условии, что GPR |
— 0,5. |
Некоторые из |
|
этих |
взаимозависимых значений |
приведены |
в табл. |
1. |
* Коэффициент ]{ в уравнении изодромного регулятора часто называют временем изодрома. — Примеч. ред.
27
Очевидно, что устанавливать бесконечно большое время изодрома нежелательно, так как это приведет к остаточному отклонению параметра. Выбор же слишком малой величины времени изодрома
|
|
|
|
|
|
|
Рпс. 1-11. Диаграмма векторов ко |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
эффициентов |
передачи ПИ-регуля- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тора: |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
1 — пропорциональной |
составляющей |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
( G p |
= 100/Р; |
Ф р = |
0); |
2 — |
интегральной |
||||
|
|
|
|
|
|
|
составляющей |
(Сд = |
100 T0/2nRP; |
Ф д |
= |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
= —90°); |
S — |
резул ьтиру ющего |
вектора |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
(Срд = |
100/Р |
Vi |
+ |
(т„/2яЯ)=; |
ф р л |
= |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= — a r c t g T o / 2 n R ) . |
|
|
|||||
н времени |
Таблица 1. Значения диапазона пропорциональности |
(Р) |
|
|||||||||||||
изодрома (Я), |
необходимые для сглаживания амплитуды колебании |
|||||||||||||||
|
|
|
до |
1 / 4 первоначальной величины |
за период то |
|
|
|
||||||||
Ф д , |
град |
|
Ф^, |
град |
arctg |
( - Ф д ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
0 |
|
- 1 8 0 |
|
0,000 |
|
2,00 |
|
|
00 |
|
|
200 |
|||
- 1 5 |
|
— 165 |
|
0,268 |
|
2,18 |
|
|
1,29 |
|
|
206 |
||||
- 3 0 |
|
—150 |
|
0,577 |
|
2,40 |
|
|
0,66 |
|
|
232 |
||||
- 4 5 |
|
- 1 3 5 |
|
1,000 |
|
2,67 |
|
|
0,42 |
|
|
283 |
||||
- 6 0 |
|
—120 |
|
1,732 |
|
3,00 |
|
|
0,28 |
|
|
400 |
||||
—75 |
|
- 1 0 5 |
|
3,732 |
|
3,43 |
|
|
0,15 |
|
|
770 |
||||
- 9 0 |
|
- 9 0 |
|
|
оо |
|
4,00 |
|
|
1,27 |
|
|
|
|||
200 |
|
|
|
|
|
|
|
70 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о-100 |
|
|
|
|
|
|
г7 |
ВО |
|
|
|
|
R=0,k2bu,P=Z83% |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
«£• р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
50 |
/ |
|
|
|
*< |
•< |
••—- |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
0,5 |
|
1,0 |
1,5 |
ZD |
W |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t0/ZStR |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рпс. |
1-12. |
Зависимость |
коэффициента |
Рпс. 1-13. Влияние параметров на |
||||||||||||
передачи ПИ-регулятора от безразмер |
стройки ПИ-регулятора на переход |
|||||||||||||||
|
ного параметра т0 /2яД: |
ный |
процесс |
при |
изменении на |
|||||||||||
J—асимптота 100 |
|
|
; 2 —асимптота 100 |
|
|
|
|
|
грузки. |
|
|
|||||
2nR |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
приводит |
к |
большим |
значениям |
диапазона |
пропорциональности. |
При этом регулятор будет работать практически как интегральный {последняя строка таблицы; см. также рис. 1-13).
28
Для получения качественного переходного процесса имеется широкая возможность выбора приближенных значений параметров настройки регулятора (методы определения более точных значений параметров настройки регуляторов будут даны в главе I V ) . На рис. 1-13 показано влияние изменения нагрузки на переходный процесс в случае пропорционально-интегрального регулирования при различных значениях параметров настройки регулятора. Как видно из рисунка, сглаживание колебаний до 1 / i амплитуды в те чение одного периода может быть достигнуто при различных комби нациях Р и R ; скорость регулирования при этом также различна.
Емкость
Под емкостью обычно понимают свойство элементов системы автоматического регулирования накапливать или сохранять ве щество или энергию. От величины емкости зависит скорость изме нения выходной величины при изменении входной.
Prrc. |
1-14. Схема регулирования уровня: |
Рис. 1-15. |
Реакция нейтрального |
||
j — |
резервуар; |
2 — насос-дозатор; |
з — |
объекта на |
ступенчатое возмутце- |
регулятор |
уровня; 1 — клапан. |
НИе. |
Простейшая схема регулирования уровня приведена на рис. 1-14; В резервуар поступает поток жидкости Ft, одновременно из него насосом-дозатором откачивается постоянный поток F0. В этом случае уровень жидкости в резервуаре можно регулировать, изменяя поток жидкости на входе. Скорость изменения объема жидкости v в ре зервуаре равна разности расходов этой жидкости на входе и выходе:
§ = * W o ЦДЛ)
откуда
v=\(Fi~F0)dt |
(1,15) |
Для вертикального резервуара с постоянной по высоте площадью поперечного сечения относительный уровень жидкости равен ее относительному объему: