Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1308 вузов, 5224 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Башкирский Государственный Аграрный Университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

книги из ГПНТБ / Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник

.pdf
Скачиваний:
315
Добавлен:
25.10.2023
Размер:
16.43 Mб
Скачать
☆

260

 

 

 

 

 

 

И Н Т Е ГР А Л

 

 

 

 

 

[ГЛ. XI

 

несколько

 

примеров.

 

 

 

 

Разберем

 

 

 

 

)dx.

П р и м е р

1.

 

Найти

 

J

(5х

4

—

4Х3

4 - Зх

2

 

 

 

 

 

 

— 1

Р е ш е н и е . Применяя

четвертое и третье свойства

интеграла,

а

затем формулу

(

1

) и

второе свойство,

получим:4*3

- f Зх

 

-

 

)dx

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J (5х —

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx =

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= J 5х4 dx — J 4х3 dx 4- I Зх2 dx — |

= 5 J X4 dx — 4 [ X3 dx 4- 3 J x2 dx — j dx =

= 5 — 4 4 - 3 — x 4 - C = x5 — x4 4- X3 — X 4“ C.

Здесь С является алгебраической суммой четырех про­ извольных постоянных слагаемых, входящих составной частью в каждый интеграл.

Легко проверить правильность интегрирования; для этого найдем дифференциал от полученной в ответе

функции:

X4 4- X3

 

X

 

4

 

3

 

2

1 dx.

d(x5

 

—

 

4- С) = (5х

— 4х

4- Зх

— )

—

 

 

 

 

 

В результате получили подынтегральное выражение; следовательно, интеграл найден верно.

П р и м е р 2.

Найти

I

2хѴ~х dx

'

t X

Р е ш е н и е .

Данный

интеграл

не подходит ни под

одну из табличных формул, поэтому подынтегральное выражение преобразуем следующим образом:

 

2хУ~х dx

j ±

±и,

 

]_

 

 

 

 

 

 

2 хх2 X

 

3 dx =

2 х 6

dx.

 

 

 

 

Применяя

третье

свойство

6

и формулу

(I),

получим:

2

л I

13

 

 

С

 

41. .*

6

Ѵ х

 

С.

 

2 ~-VЖ

 

 

 

 

 

J

 

Р С = -13[г к ^ -Г ^ =

- -------ѵ*2

 

4-

 

 

 

 

3

2

 

 

 

x «dx =

6

Г X2 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx.

 

 

 

 

 

 

 

 

П р и м е р

3. Найти I — -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§

1 06]

О С Н О В Н Ы Е

Ф ОРМ УЛЫ

И Н Т Е ГР И Р О В А Н И Я

261

в

Р е ш е нX:и е .

Представим

подынтегральную

функцию

виде

суммы

двух

функций, разделив числитель по­

членно на

Тогда данный интеграл разобьется на сумму интегра­ лов; применяя формулы (I) и (II), получим:

 

 

j ( x + ± ) d x

=

x d x + t

 

dxX

 

= -^-+1п| *1 -f с.

 

 

Мы

разобрали простейшие примеры, в которых функ­

ции могли быть выражены путем несложных преобра­

зований в виде, позволяющем применить для нахожде­

ния

интеграла табличные

формулы. Очень часты случаи,

 

когда

таких

простых

преобразований

сделать нельзя

 

и для интегрирования приходится применять особые

 

приемы, иногда довольно сложные.

 

 

недостаточно

 

 

Таким

образом,

для

интегрирования

 

простого знания формул, нужен еще опыт, который на­

 

капливается постепенно в процессе решения примеров.

 

Интегрирование в отличие от дифференцирования тре­

бует

от

нас

известной

изобретательности

и

 

смекалки-

 

1.

/X d x -

" 2-

JX4 dx.

Упражнения

 

 

 

»

 

 

 

 

 

 

 

3.

 

J y -

 

dx.

4.

j

 

5 dx.

 

 

5.

J а dip.

*

6.

J1 2л: dx

J

(а +

 

 

 

t2 dt.

-8.'

J (2 — .v) dx.

х 9.

J (Зд: — Xs) dx.

 

10.

 

ф2) £?ф.

*

11.

J 3 (X -

2) dx.

**

12.

J (4л;3 +

4л; — 3) dx.

•■ 43.^J л:2J4(1 +

2л:) dx.

 

 

 

 

 

*1 4 .

J (х

+ З)2

dx.

 

«*»

J 4 (2л: -

-

У-dx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17.

15.

1

J І^л■2

 

 

 

 

-

16.

J X (1 — л;)2 dx.

J(*

J У7х

dx.

 

*•18.

dx.

3

 

*

19.

[

d

CD

 

 

У и

 

о,

J

У *

 

„

 

Г

'1—

 

 

 

 

du

 

 

Г

 

dx

 

 

 

 

 

dx

 

 

J

— Г ■

 

20.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J

 

 

 

 

со2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

262

И Н Т Е Г Р А Л

[ГЛ. XI

*23.

261

28

7

30

Jf Sd*-\

24.

JГX j L

dx.

25,

{

4V xi

3«

,

 

2 / 7

 

 

 

 

 

 

— Vx -

2

1 ( ? - , 7 + 3 1 ^ )

л

 

/

3x

dx.

ѵ - У і

■ do.

29.

 

J 4 sinл: dx.

 

J

За

du

 

J 2

У 7

 

31.

J-Ifg-.

 

32.

2 и

 

 

a cos Ф dtp.

 

 

 

 

sin

 

1. J (1

+ cos

t) dt.

 

 

34.

 

J (2

—(3 sin

x) dx.

 

 

 

 

 

 

33

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

32

'

 

 

 

 

 

35.

J

 

2

2

cos х)

dx.

 

 

 

36.dtp. J

2

 

 

 

d<p.

 

 

(Зх du.—

 

J

2

 

\ COS Ф

gin

)dx.

 

 

 

37.

J

Зе"

 

 

38.

 

 

аф

 

 

 

 

 

ф .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

39.di

 

j

(x — 5eA)

.f (f-7 1-

40.

j*(2e'-3cos

t)dt.

 

 

 

41.

 

 

 

J 32t

 

'

42. J

 

 

 

 

JГ

 

3

dx

 

 

 

 

 

 

о +

 

43.

Г

6 dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X2

 

 

45.

 

2

2

1

J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

 

Гi + x 2-

 

 

 

 

 

 

 

4

V T =

 

 

 

 

 

 

 

 

2 0

 

46.

 

 

 

 

 

 

.

f . ^

 

+ ^ s lnx

 

 

 

COS

 

 

Sin4~ 2 dt.

 

 

4 7

 

 

2 dx

 

 

 

 

 

 

2

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J

 

 

 

 

ex

 

 

JГ X

 

1

 

 

 

 

 

sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

x dx.

 

 

 

 

 

 

48.

 

 

2 X dx.

 

49.

 

J

 

tg

 

 

 

 

50.

X 2 +

 

-

 

 

 

j* sec

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§ 107. Определение постоянной интегрирования. В § 104

было установлено, что в равенстве

С

 

 

 

 

 

 

постоянное

 

 

 

 

J

 

f{x)dx — F (х)

+

 

 

 

 

значение,

слагаемое

 

С

 

 

имеет произвольное

а потому неопределенный интеграл представляет собой множество первообразных функций, отличающихся друг от друга постоянным слагаемым. Чтобы из сово­ купности первообразных функций найти одну, отвечаю­ щую задаче, нужно иметь дополнительное условие.

Пусть, например, требуется найти уравнение кривой, проходящей через точку М( 1 ; 3), если известно, что угловой коэффициент касательной, проведенной в лю­ бой точке кривой равен 2х,

§ 1 07]

О П Р Е Д Е Л Е Н И Е П О С Т О Я Н Н О Й И Н Т Е ГР И Р О В А Н И Я

263

 

(§

6Согласно геометрическому смыслу производной

6

) напишем:

 

 

откуда

dy = 2х dx.

Взяв интеграл от обеих частей последнего равенства, получим:

или

I d y = J 2X dx

(1)

у = х2-\-С.

Равенство

(1) не может служить ответом на

вопрос

задачи, так как оно содержит неопределенное постоян­ ное С. Чтобы получить определенный ответ (т. е. един­ ственную первообразную функцию для данного диффе­

ренциала),

воспользуем­

ся

дополнительными

дан­

ными

задачи,

а

именно

координатами

точки,

ле­

жащей

на

кривой, урав­

Xнение

которой

ищется.

Положив

в уравнении (1)

=

1

и

у =

3,

получим:

откуда

3 =

1 + С ,

 

 

С =

2.

 

 

 

Итак,

искомое уравне­

ние кривой (т. е. искомая первообразная функция, удовлетворяющая данному до­ полнительному условию), будет

 

 

 

 

у = х2 +

2.

 

(2)

Построив

графики

1первообразных функций,

опреде­

ляемых уравнениемОу.(

),

мы получим множество

(семей­

ство)

хпарабол= \

1

 

 

), каждая из

которых имеет

у(рис.—

1 7

вершину на

оси

 

Задав

дополнительное

условие

(при

 

и

3),

мы тем самым

из множества

264

 

И Н Т Е ГР А Л

 

 

 

 

[ГЛ. XI

 

 

 

 

 

которой лежит

 

 

 

х =

 

2

 

 

 

 

 

у —

 

 

 

 

2

 

 

 

парабол выделили одну параболу (х), иау

1

 

координатами

 

1 и

 

3.

Б самом

деле,

точка с

 

 

подставив в уравнение ( )

вместо

и

соответственно

 

и 3, получим тождество.

 

 

 

 

С

изме­

 

Если

изменить дополнительное условие, то и

 

нится, а соответственно с этим мы получим другую пер­

вообразную функцию, графиком

которойС =

будет

другаяу х2

парабола того же семейства. Например, если

кривая

проходит через точку Л'(1;1),

то

0 и

=

(рис. 117).

 

 

 

Уп р а ж н е н и я

1.Найти J (х — 3) dx, если при к = 2 первообразная функция

равна

9.

Г

(sin

X

+

cos

х) dx,

если

при

х =

я

 

 

 

 

2.

Найти

 

 

 

 

 

-^- первообразная

функция равна 2.

 

l j r f j c ,

 

если

при

 

=

1 первообразная функ-

3.

Найти

 

{ ~ 7

~

 

X

ция равна 2.

J

 

ех —

cos

х

j

dx,

если

при

х =

0

первообр

азиая

4.

Найти

 

 

 

 

 

 

 

функция равна

 

 

 

 

 

 

 

если

при

х — 0 первообразная

.5. Найти

К1 +5х 2 \ -i\ d x ,

функция равна 0.

 

 

линии,

проходящей

через

точку

А

(2;

1) и

6.

Найти

уравнение

 

обладающей таким свойством, что угловой коэффициент касатель­ ной в каждой ее точке равен абсциссе этой точки. Построить эту линию.

7. Составить уравнение линии, проходящей через точку Д(1; 1), если угловой коэффициент касательной в каждой ее точке равен

обратной величине абсциссы точки касания.

 

 

 

 

м/сек.

 

8. Скорость тела задана уравнением

ѵ

=ѵ

(6/2 +

1)

Найти

уравнение пути

S,

если за время ^ = 3

сек

тело

прошло

60

м.

9. Скорость

точки задана уравнением

 

 

=

(t2

— 6f -f- 7)

м/сек.

 

 

 

 

 

Найти уравнение движения, если к моменту начала отсчета времени точка прошла путь S = 4 м.

10.Скорость точки задана уравнением t/ = 4cos? м/сек. Найти уравнение движения, если в момент t = я/6 точка находится на расстоянии S = 8 м от начала отсчета пути.

11.Тело движется со скоростью, возрастающей пропорционально времени. Найти уравнение движения, если в начальный момент путь тела S = 0, а через t = 5 сек оно прошло путь 5 = 15 м.

§ 108]

И Н Т Е ГР И Р О В А Н И Е СП О С О Б О М П О Д С Т А Н О В К И

265

 

12. Скорость движения тела пропорциональна квадрату времени. Найти уравнение движения, если известно, что за 3 сек тело про­ шло 18 см, а в начальный момент путь S = 0.

§ 108. Интегрирование способом подстановки. I. Если

заданный интеграл

простейшими преобразованиями

трудно привести (или совсем нельзя привести)

к инте­таб­

личному,грированиемто

способомдля его

подстановки.отыскания применяются

особые

приемы. Рассмотрим один из них*), называемый

П р и м е р

1 . Найти J (1 + х)5 dx.

 

Р е ш е н и е . Положим

 

 

 

1 + X — Z,

( 1)

где z — новое переменное. Возьмем дифференциал от обеих частей равенства (1); получим dx = dz. Заменив в искомом интеграле 1 -j-x и dx их найденными значе­ ниями и применив формулу (1 ) § 106, найдем:

Но ответ должен быть представлен как функция от переменной х\ поэтому, подставив вместо z его значение из равенства ( 1 ), получим:

{ l + x ? d x = ± ( l + * ) 6 + С .

Для проверки решения найдем дифференциал полу­ ченного выражения, рассматривая его как степенную функцию от ( 1 + х ) :

d [ i - ( l - | . Х ) 8 + С] = j - 6 (l + x f d x = (l + x f d x .

В результате получилось подынтегральное выражение; следовательно, интегрирование было произведено верно.

П р и м е р 2. Найти

*) Другой прием (так называемый способ интегрирования по частям) изложен в § 146 (стр. 380—382).

266

И Н Т Е Г Р А Л

[ГЛ. XI

 

 

Р е ш е н и е . Положим

3 =

z,

2

х +

 

 

 

 

отсюда 2 dx = dz и dx - - у .

Подставив

в

подынтегральное

 

выражение

вместо

2х + 3

и dx

нх

значения, заменив

 

корень

степенью

с дробным показателем и применив

формулу

(I)

§ 106,

найдем:

 

 

 

 

 

 

2 ,

z

 

 

 

 

 

 

Y

2

х -{- 3 dx =

 

 

 

 

2

dz —

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

I *_з

 

 

 

 

+ С:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- + C = ± V &

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~2

 

 

 

 

 

Перейдя к прежнему переменному

х,

получим:)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f / 2 х + 3 dx = j / ( 2х + З

3

+ С.

 

 

 

П р и м е р

3.

Найты J

sin (а +

bx) dx.

 

 

 

 

Р е ш е н и е . Положим

bx = z,

 

 

 

 

 

 

 

откуда

 

 

 

=

а +

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b dx

dz

dx = 4 b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^- •

 

 

 

Сделав подстановку, как в предыдущем примере, и

применяя

формулу

(V)

§

106, получим:

sin (а +

bx) dx = J

 

 

dz

=

— у1 cos z + C =

sin z •—

П р и м е р 4.

Найти

J

 

 

=

— у cos {a + bx) + C.

Р е ш е н и е . Положим

X3

=

z,

dz

откуда

 

 

1

+

 

3x

2 dx = dz

и

X

2 dx

 

 

 

 

 

 

 

§

108]

 

И Н Т Е ГР И Р О В А Н И Е СП О С О Б О М П О Д С Т А Н О В К И

 

267

Сделав

 

необходимую замену

и применив

формулу (II)

§

106,

получим:

dz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

' J w = | 1 : = T 1" 2 + C = : r l" < 1+ * 3> + C -

 

П р и м е р

5.

Найти

J

s\n2x z o s x d x .

 

 

 

 

 

Р е ш е н и е . Положим

 

 

2

,

 

 

 

 

 

тогда

 

 

 

 

 

 

 

sm x =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos xdx =

 

dz

 

 

 

 

 

и

sin

2 X

cos

x d x = Jz2 dz

=

-y- +

C =

sin

3 x

+

C.

 

 

 

 

 

 

Г

 

 

 

 

 

П р и м е р

 

. Найти

 

sin X d x

 

 

 

 

 

 

6

 

y=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-л/ T ^ r Cps X

 

 

 

 

 

 

Р е ш е н и е . ПоложимJ

 

X =

z;

 

 

 

 

 

тогда

 

 

 

 

 

1

— cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin xdx =

 

dz

 

 

 

 

 

и

f - Ä

= f

* = f z ~ * d z =

 

 

 

 

 

J К 1—cosX

 

 

J ЛГгѵт

 

 

J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

—

У

+

0 = 2 ^ 1 — cos X + С.

 

П р и м е р

7.

Найти

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J(fLf•

 

 

 

 

 

 

Р е ш е н и е . Полодсим

 

 

 

г;

 

 

 

 

 

тогда

 

 

 

 

 

 

1 - е х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ех dx — — dz

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= - 2 - ^гу + С = 4 + С= 1 — & •+ с.

268

 

И Н Т Е ГР А Л

[ГЛ. XI

П р и м е р 8 .

Найти

J э ТdxД 2

интеграл напоминает

Р е ш е н и е .

Так

как

искомый

табличный [(X)

§

10G],

нужно соответствующими пре­

образованиями привести его к виду, позволяющему при­ менить указанную формулу. Для этого вынесем за знак

интеграла множитель

Получим:

 

 

_

^

=

1

 

dx

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

I

 

 

(У

 

 

 

Jг 9 +

 

д:2

 

9 Jг

'+1г

1

+

 

Положим

теперь

 

T =

Z ;

 

 

 

тогда

 

 

 

 

 

 

dx =

3 dz

 

 

 

 

dx

J

 

 

dx

 

 

/■

dz

 

 

 

 

I 9 +

x*

M - (fr=

 

3 z-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 +

C =

4 -a rctg 4

+ C .

П р и м е р

 

-к- arctg z +

9.

Найти

 

ГУ Тrf- 5x2

 

 

 

 

Р еdx

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

J vm

 

 

 

 

[(IX)Г

ш е н и е . Этот интеграл приводится к табличному

§

106] следующими преобразованиями:

 

J Уз — 5х2

; У

Ф

-

Н

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

- I

 

Уз у

 

 

-

F T /

/ - ( й

- r

Положим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

VW

— X = z;

Уз

§ 1081 И Н Т Е ГР И Р О В А Н И Е СП О С О Б О М П О Д С ТА Н О В К И

тогда

 

vT dxл =

dz,.

 

отсюда

 

dx. = -V~j=T

dz..

 

Следовательно,

 

V T

 

 

 

 

/ з

dz

 

 

_

 

/

dx

■”

VT J

 

 

 

у г =

 

пJ / . - t ë * .

\V T

1 Г

~r

^

 

 

1

 

 

. ~

—

J

 

 

= -'T = = -

7

= -a rcsin z4 -C =

V T

 

 

V I — z2

V5

 

 

 

. Yb

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y= -arcsin

 

dx

5лг2

=

1

 

 

.

 

/ 5

X ,

,,

Vз3 -

 

 

VT

arcsin —=

+

С.

JГ

, - —

 

 

Ѵб

t g x d x .

VF

 

 

П р и м е р

10.

Найти

|

 

 

 

 

 

 

 

Р е ш е н и е .

 

 

J

tg

X dx =

 

 

sin

X dx

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

Положим

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos*= z;

 

 

 

 

тогда

s n x d x = — dz

и

269

+, n

Jtg X dx — J — — — In [ z I+

C = — ln! cos X I+ C.

П р и м е р

11. Найти

J cos2*d*.

Р е ш е н и е .

Заменим

cos2* по

формуле

о

1 +

со:cos 2

JC

COS2 *

------------== — 5

T

•

 

 

 
Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности