книги из ГПНТБ / Голенко Д.И. Статистические модели в управлении производством

ных в структуре D(A, V), может быть произвольным. В связи с этим решения, принимаемые на основании ана­ лиза D(A, V) и не учитывающие скрытые возможные ис­ ходы, могут не отражать положения, имеющего место в действительности. Поэтому учет возможности появления скрытых исходов при анализе программы и определении наилучших вариантов ее развития является важным эле­ ментом принятия решений. Легко показать, что сумма вероятностей возможных исходов, образуемых по схеме

скрытых исходов дает полную группу событий. Ветвление любого исхода D(A, V) при определенных условиях не вносит существенных изменений в вероятностные харак­

во скрытых исходов; k — индекс ветвящегося исхода. Оче­

Независимость среднего значения параметра т при его одинаковых значениях для всех исходов от правила ветв­ ления позволяет надеяться на то, что неполнота структу­ ры D(A, V) может быть в значительной степени компен­ сирована путем введения априорной информации в ана­ лиз исследуемого процесса. В общем случае включение

скрытых ветвей в D(A, V) должно приводить к увеличе­ нию ожидаемых потерь, характеризующих программу, что следует из формулы (5.6.4). Средние значения параметра т для дерева исходов в каждой а-вершине без включения скрытых ветвей всегда меньше, чем при их включении. Исключение составляет случай (5.6.5). Принятие решений

структуре дерева исходов ситуации развития исследуемо­ го процесса, позволяет существенно улучшить качество функционирования системы управления созданием слож­ ного комплекса. Сочетание в смешанной альтернативной модели описанного метода статистических решений и ме­ тодов имитации возможных детерминированных альтер­ натив является, на наш взгляд, весьма перспективным направлением повышения эффективности процедур при­ нятия решений в сложных многовариантных программах с разнообразными логическими типами ветвлений — как детерминированными, так и стохастическими.

Г л а в а 6. СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

В ДИСКРЕТНО-НЕПРЕРЫВНОМ ПРОИЗВОДСТВЕ

§6. 1. Основные задачи управления

вдискретно-непрерывном производстве

ироль имитационного моделирования

Наиболее важные задачи управления производством дискретно-непрерывного типа в принципе аналогичны задачам управления дискретным производством и состо­ ят в следующем:

1. Определение последовательности обработки про­ дуктов в аппаратах (агрегированныхтруппах оборудова­ ния дискретно-непрерывного производства) с учетом структуры комплекса, режима работы аппаратов и пара­ метров продуктов с целью ускорения обработки продук­ тов, снижения затрат на обработку и увеличения загруз­ ки аппаратов.

2.Своевременное обеспечение аппаратов, производя­ щих обработку продуктов, вспомогательными механиз­ мами, транспортными средствами и т. д., в целях исклю­ чения их непроизводительных простоев.

3.Определение оптимального режима и регулирова­ ние работы аппаратов.

Сложность управляемых объектов в дискретно-непре­ рывном производстве вызывает необходимость использо­ вания абстрактных моделей для решения задач управле­ ния. Поскольку аналогичные задачи возникают на многих участках производства, эти модели должны быть доста­ точно универсальны.

Специфика дискретно-непрерывного производства поз­ воляет имитировать производственный процесс как про­ цесс массового обслуживания. Действительно, в отличие от непрерывного производства передача продуктов ап­ паратами дискретно-непрерывного производства произ­ водится отдельными порциями. В модели массового об-

служивания этим порциям соответствуют требования на обслуживание.

С другой стороны, в отличие от дискретного производ­ ства дисперсия длительности обработки продуктов в тех­ нологических аппаратах дискретно-непрерывного произ­ водства достигает значительной величины, зачастую срав­ нимой с математическим ожиданием длительности об­ работки. Разумеется, в технологическом аппарате дис­ кретного производства отклонения длительности обработ­ ки от нормативной также имеют место, что объясняется разбросом значений параметров входных продуктов, дей­ ствием субъективных факторов и т. д. Однако, поскольку обработка продуктов в дискретном аппарате представля­ ет собой определенную последовательность действий, ма­ ло зависящую от режима работы (состояния аппарата), указанные факторы не играют решающей роли. Поэтому длительность обработки в аппаратах дискретного произ­ водства колеблется, как правило, незначительно и во мно­ гих случаях даже принимается постоянной.

Длительность же обработки в аппарате дискретнонепрерывного производства определяется не только вы­ шеуказанными факторами, но и в первую очередь режи­ мом работы аппарата, который изменяется во времени, зависит от параметров входных продуктов и подвержен большому числу случайных возмущений. Поэтому дли­ тельность в общем случае нужно рассматривать как слу­ чайную величину, для которой характерны значительные коэффициенты ее вариации. Так, например, для многих аппаратов металлургического производства коэффициент вариации длительности обработки составляет 0,3—0,7.

Естественно, что случайный характер длительности обработки в аппаратах приводит к тому, что потоки пор­ ций продуктов между аппаратами являются случайными, даже если входной поток является детерминированным или же на входе имеется бесконечно большой запас про­ дуктов. Все вышесказанное в равной мере относится и к значениям параметров выходных продуктов. Коэффици­ ент вариации этих значений для некоторых аппаратов ме­ таллургического производства достигает еще больших величин.

В этих условиях применение модели массового обслу­ живания для имитации дискретно-непрерывного произ­ водства весьма эффективно, так как позволяет исполь-

зовать не только широко разработанные методы анали­ тического исследования, но, главное, моделирования слу­ чайных процессов обслуживания.

Однако применение модели массового обслуживания для исследования дискретно-непрерывного производства имеет свои пределы, которые определяются степенью де­ тализации рассмотрения работы оборудования. Если процесс работы аппаратов рассматривается укрупненно, как, например, при решении задач календарного плани­ рования, то считается, что длительность обработки в ап­ парате или значения параметров его выходных продуктов подчиняются некоторому заданному распределению ве­ роятностей. Тогда применение модели массового обслу­ живания дает большой эффект.

Если же процесс работы аппаратов рассматривается более детально, как, например, при решении задач опера­ тивного управления, то необходимо учитывать, что эти распределения вероятностей являются параметрически­ ми, причем в качестве параметров выступают текущие значения параметров входных продуктов и параметров, определяющих режим работы аппарата. В свою очередь, значения этих последних определяются параметрически­ ми законами распределения вероятностей, в которых па­ раметрами являются значения параметров входных и вы­ ходных продуктов.

Для исследования таких процессов, на наш взгляд, более приспособлена не модель массового обслуживания, а отличающаяся большой универсальностью агрегативная модель [6.13, 6.25], использование которой в подоб­ ных случаях чрезвычайно эффективно, поскольку позво­ ляет применить широко разработанные методы моделирования агрегативных моделей.

При исследовании управляющей части производст­ венного комплекса выбор модели определяется специ­ фикой дискретно-непрерывного производства, а также выбором задач управления. Если рассматриваются за­ дачи планирования и оперативного управления, то ре­ зультатом их решения является выбор последователь­ ности обработки порций продуктов в аппаратах и их передач между аппаратами. Тогда входной информацией управляющей части будет информация о начале и конце операций в аппаратах и переходах порций продуктов между аппаратами,

Учитывая дискретный характер этих событий и слу­ чайный характер интервалов между ними в дискретнонепрерывном производстве, можно сделать вывод, что входная информация управляющей части представляет собой дискретный поток случайных сообщений. Это оз­ начает, что для имитации функционирования управляю­ щей части может быть применена модель массового об­ служивания. В ней сообщениям соответствуют требова­ ния на обслуживание, а отдельным элементам управляю­ щей части (устройствам, лицам производственного персонала) — обслуживающие аппараты.

При анализе временного режима работы управляю­ щей части, например, с целью выбора ее характеристик по производительности, применение модели массового обслуживания, как это будет показано ниже, является весьма эффективным. При выборе надежностных харак­ теристик управляющей части следует рассматривать со­ стояние обслуживающих аппаратов (например, текущее значение показателя надежности устройства) и учиты­ вать его при определении длительности и результата об­ служивания (например, ошибки вследствие отказов, повторные расчеты ввиду случайных сбоев). В этом слу­ чае следует перейти от модели массового обслуживания

кболее общей агрегативной модели.

Взаключение параграфа дадим краткое описание основных понятий теории массового обслуживания. Сигтема массового обслуживания (СМО) считается задан­ ной, если известны: входящий поток требований; очеред­ ность (или дисциплина) обслуживания; обслуживающий механизм.

Говоря о входящем потоке, будем предполагать, что если последовательные требования (заявки на обслужи­ вание) поступают в моменты . . . , tT, tr+u .. ., и если иг оз­ начает промежуток времени tr+i—tr, то случайные вели­ чины . . . , иг, иг+и ... распределены по некоторому (произ­ вольному) закону F(u) (Os^u<oo).

Существуют различные типы входящих потоков:

— детерминированный, или регулярный, подчиняю­

— эрланговский при F(и) = A-i£2_ . е <* . и* - 1

и ряд других. Во всех случаях под символом а понима­ ется математическое ожидание М[н].

Очередность (или дисциплина) обслуживания пока­ зывает: в каком порядке требования поступают на об­ служивание; в каком порядке занимаются обслуживаю­ щие приборы; равноценные ли требования или часть из них обладает преимуществом перед остальными.

ний), будет вполне определен, если: 1) задан соответст­

Кроме того, для задания абстрактной СМО необходи­ мо описать ее структуру. Можно рассматривать систему с параллельно работающими приборами. Систему с по­ следовательным соединением приборов можно считать многофазной и рассматривать отдельно работу каждой фазы. Таким образом, каждую СМО может охарактери­ зовать набор характеристик: вид потока, дисциплина об­ служивания, закон распределения времени обслужива­ ния, количество приборов обслуживания, структура си­ стемы.

Необходимо далее отметить, что математическая тео­ рия массового обслуживания очень широко использует понятие марковской цепи (для дискретного времени) и марковского процесса (для непрерывного времени). Свойство марковости предполагает, что будущее поведе­ ние цепи (процесса) в следующий момент времени зави­ сит только от состояния цепи (процесса) в настоящий момент времени и не зависит от предыстории цепи (про­ цесса) .

Назовем характеристиками процесса величины вида a\(t), a2(t),... ,an(t), описывающие процесс функциони­ рования системы (последовательную смену состояний). Величины, характеризующие вышеописанные свойства системы и ее элементов, будем называть параметрами системы, а величины, определяющие начальное состояние

системы, — начальными условиями. Тогда под математи­ ческой моделью реального процесса будем понимать со­ вокупность соотношений (формул, логических условий, операторов и т. д.), которые связывают характеристики процесса с параметрами соответствующей системы и на­ чальными условиями.

Выше мы уже отмечали, что в процессе дискретнонепрерывного производства наиболее часто встречаются такие ситуации, когда начальные условия, параметры системы или все они вместе являются случайными. В та­ ких случаях применение теории массового обслуживания для построения формализованной схемы процесса явля­ ется весьма эффективным.

Необходимо отметить, что имеющийся аналитический аппарат теории массового обслуживания позволяет ре­ шать прикладные задачи лишь для наиболее простых случаев. Для исследования сложных реальных процессов приходится прибегать к существенным упрощениям, а это снижает достоверность получаемых в результате ре­ шения искомых величин (а часто даже искажает их). Поэтому имеющийся в настоящее время аналитический аппарат может лишь частично удовлетворить возросшие запросы практики. Применением метода статистического моделирования можно достигнуть существенного расши­ рения круга задач, получающих эффективное и верное решение.

§ 6. 2. Процесс функционирования системы массового обслуживания

Процесс функционирования системы массового обслу­ живания можно представить как изменение состояния системы (s) во времени:

s = s(t),

где состояние системы в текущий момент времени опи­ сывается вектором

Здесь Si — состояние отдельного элемента системы: об­ служивающего аппарата (А*) или накопителя (Н*).

Назовем элементами, следующими за r'-м, те элементы системы, в которые могут поступить требования из г'-го элемента. Элементы, из которых могут поступить требо-

вания в f-й элемент, назовем элементами, предшествую­ щими t'-му. Отношение следования элементов определя­ ется структурой системы.

Аппарат Aj в момент / может находиться в одном из

вание которого в АІ было закончено до мо­

ступления в А^ требования входящего потока либо в мо­ мент окончания обслуживания требования в аппарате, предшествующем А,, и поступления этого требования в Аг. Аппарат А* остается в Si = l в течение времени обслу­ живания. По истечении этого времени обслуженное тре­ бование должно в соответствии со структурой системы либо покинуть систему по выходящему потоку, либо по­ ступить в один из элементов, следующих за Аг-.

В первом случае Aj освобождается и может взять на обслуживание очередное требование, ожидающее в эле­ ментах, предшествующих А{. Это требование может быть взято либо из аппаратов АІ, предшествующих Аг и нахо­ дящихся в Sj — 2, либо из накопителей, предшествующих

из числа тех, которые хранятся в выбранном накопителе, осуществляется в соответствии с заданной дисциплиной обслуживания требований в аппарате (Добі).

При переходе выбранного требования в Аг- этот ап­ парат начинает его обслуживание, т. е. остается в S i = l . Если же такой переход в данный момент невозможен из-

шествующих АІ, не имеется требований, то Aj переходит

ИЗ Si= 1 В Si —0.

Во втором случае, когда обслуженное в Аг- требование должно поступить в один из элементов, следующих за А,-, возможность освобождения АІ зависит от состояния этих элементов. Обслуженное в АІ требование может посту­ пить либо в один из аппаратов Aj, следующих за АІ И на-