книги из ГПНТБ / Хайков А.З. Клистронные усилители

д о л ж н ы

соответствовать з а р я д ы

на плоскости w,

расположенные в

точках,

определяемых преобразованием (8.9).

П р и этом следует

считать,

что расположение з а р я д о в на плоскости

р

повторяется на

к а ж д о м

листе этой плоскости.

Пусть, например,

на плоскости р

Рис.

8.7

Рис.

8.8

,

единичный

отрицательный

з а р я д

расположен

в

точке —Si + iO

(рис. 8.8 а).

Согласно

ф-ле (8.5) комплексный потенциал поля, соз­

даваемого этим

з а р я д а м ,

определяется в ы р а ж е н и е м

На

плоскости w соответствующие

з а р я д ы расположены в точках

— «i +

i2A:Jt

и

u1

+

i(2k+l)n,

где'£ = 0 , 4 - 1 ,

+2,...,

«i = аг sh ——

(рис. 8.8 6) .

Экспоненциально - потенциальная

функция

поля,

создаваемого

таким

расположением

з а р я д о в

СО

00

[-J [w — ux

—

[(2k+\)n]

•e w(») =

K i

j

- |

^

+

U i _ i

2 A l t

)

fc= 00

k=

CO

него в ы р а ж е н и я на плоскости w.

П р е о б р а з у я

последнее равенство, получим

е «мш) =

2K3{shw+shu1).

Следовательно, при соответствующем выборе

постоянных Ki и

Кз в ы р а ж е н и я дл я экспоненциально-потенциальных

функций на пло-

скостях р и w могут быть получены одно из другого заменой р на

w

согласно

соотношению

(8.9),

что

и

с л е д о в а л о

о ж и д а т ь .

В

то

ж е

в р е м я определение комплексного

п о т е н ц и а л а

на

плоскости

w

в

ин­

тересующих нас случаях проще, чем на плоскости

р.

Р а с с м о т р и м

случай, когда

на отрезке оси Q плоскости р в

преде­

л а х от —Qo до Qo имеется проводник

с

положительным

з а р я д о м

в

две

единицы,

а единичные

отрицательные

з а р я д ы р а с п о л о ж е н ы

один — в точке

—6i + i0, а д р у г о й —

в

точке

fii

+ Ю

(рис.

8.9а).

S)

в)

Ф

-4М\

а,

"1

—2Я

Рис.

8.9

41

На

плоскости

ш положительные з а р я д ы

будут распределены по

оси

о, а

отрицательные

з а р я д ы

будут л е ж а т ь

в

точках

— U i ± \ k n

и

ui±ikn,

где / г = 0 , 1,

2,

3,.. (рис. 8.96). Так как

левая и

п р а в а я

по­

луплоскости

w имеют

симметричное

расположение отрицательных

з а р я д о в ,

а м н и м у ю ось

з а н и м а е т

проводник,

потенциал

которого

принимается

р а в н ы м

нулю,

то достаточно найти

.выражение

для

комплексного потенциала в одной из полуплоскостей. Картина

поля

в п р а в о й

полуплоскости не изменится, если,

воспользовавшись

ме­

смотрение

положительные

з а р я д ы , р а с п о л о ж е н н ы е

:в левой полу­

плоскости

симметрично относительно мнимой оси к

отрицательным

з а р я д а м

в

правой полуплоскости (рис. 8.9 е ) . Д л я

такого располо ­

ж е н и я з а р я д о в

легко найти

комплексный потенциал:

e w _ д-

sh (w —

и{)

sh (w +

ux)

Если теперь считать, что отрицательные з а р я д ы расположены в

бесконечности,

то

lim еW

Ке

• 2ш

функция будет определяться .выражением

e w = K e - 2 N W .

(8.10)

На плоскости w линии равного потенциала

будут представлять

линии равного потока — гиперболы с фокусами

в точках Qo и —Q0 -

Постоянная К в в ы р а ж е н и и (8.10)

может

быть определена из

условия, что при w—0

комплексный

потенциал

W=0.

Этому

соот­

ветствует т а к ж е условие, что потенциал

проводника на -плоскости р

принимается

р а в н ы м нулю и, к р о м е

того, что значение

функции по­

тока на оси б при б > 0 р а в н о нулю .

В этом случае К= 1 и

e w =

e - 2 M »

w = —2Nw.

(8.11)

Выбрав произвольную

постоянную,

мы полностью

определили

комплексный

потенциал

прототипного поля . Теперь м о ж н о присту­

пить к определению поля, создаваемого

к в а н т о в а н н ы м и з а р я д а м и .

Как

было у к а з а н о выше, к в а н т о в а н н ы е

з а р я д ы

м ы будем

распола ­

гать

на эквипотенциальной

линии прототипного

поля.

Расстояние

м е ж д у з а р я д а м и может

быть определено из того

условия,

что если

на каком - либо участке

проводника

распределен

единичный

з а р я д ,

то значения функции потока в начале и конце этого участка

отли­

чаются на 2л. Поэтому

квантованные з а р я д ы д о л ж н ы

располагать ­

ся на линиях, которым соответствуют

значения

функции

потока

прототипного

поля, отличающиеся

м е ж д у собой

на 2л.

Н а и б о л е е

Пусть

эти з а р я д ы д о л ж н ы

л е ж а т ь

на

эквипотенциальной

линии,

для

которой V= — Vo. Согласно (8.11) этой эквипотенциальной ли ­

нии

в

правой

полуплоскости

будет

соответствовать абсцисса

и0=

= Vo/2N, а в

левой

полуплоскости — абсцисса —«о- Так как на

к а ж д о м отрезке оси сг шириной 2 я с правой и с левой

стороны в си­

туации прототипного поля распределено 2N единиц

з а р я д а ,

орди­

наты

квантованных

з а р я д о в

д о л ж н ы

отличаться на n/N.

Ч т о б ы

удовлетворить

условию

симметрии

зарядов,

условия

квантования

п р и

четном и нечетном

'N будут р а з л и ч н ы м и .

Если

N четное,

то

квантованные

з а р я д ы д о л ж н ы располагаться на плоскости

w в точ-

(1 + 2 k) п

ках

± u o ± i

— , k = 0,

1, 2, 3,

при нечетном N — в

точках

±щ±\—,

2 Л ,

У

k = 0, 1, 2, 3,....

yV

На

плоскости р

согласно

(8.9) координаты

квантованных

з а р я ­

дов в левой полуплоскости

определяются

выражением

b'k — —sh и0 cos ak +

i ch uQ s\nak,

(8.12)

где для N четного

o-f e =

п > / — , k = 0,

1,2, ... , —— ,

(8.13а)

2N

2

д л я

N нечетного

k п

k = 0,

1, 2,.

/V —

(8.136)

N

2

З а р я д ы

в правой

плоскости

располагаются симметрично к за-

р я д а м в

левой

полуплоскости .

Очевидно,

что

полюсы

функ­

ции

усиления

х¥(р)

многокас ­

кадного

усилителя

определя ­

ются

з а р я д а м и

в

левой

полу­

плоскости.

Н а

рис.

8.10

пока­

зано

р а с п о л о ж е н и е

квантован ­

ных

з а р я д о в

на плоскостях

р

и

w

для

частотного

с л у ч а я

N = 3.

П о к а ж е м ,

'что

при

приня ­

том

'Опосо'бе

к в а н т о в а н и я

ап­

проксимация имеет -чебьгшев'С-

кий характер . Обозначим ком­

плексный потенциал поля, соз ­

д а в а е м ы й 'квантованными

за­

Рис.

8.10

рядами,

через

Wq.

Учитывая

размещение п о л о ж и т е л ь н ы х

з а р я д о в на плоскости w

(все

отрица­

тельные

з а р я д ы

в

бесконечности),

получим, что при четном

N.

2Кх

(8.14а)

ch N (w~\-

и0) ch N (ш — ы0)

ch 2 N w + ch 2 /V и„

при

нечетном N

К,

2/Со

(8.146)

sh N (w -J- и0) sh

N (w — и0)

ch 2 N w — ch 2 Л' u0

Эти в ы р а ж е н и я

легко п р е о б р а з о в а т ь к следующему

виду:

Кз

(N — четное),

(8.15а)

ch2

N w

1

+

sh2

N и0

е 4

=

К,

(N — нечетное),

(8.156)

N w —

1 —• ch2

1

sh2 /V и0

где Кз и Ki — новые произвольные

постоянные. В пределах

полосы

аппроксимации p=iQ, причем —Q0 ^Qs^Qo. Тогда

В ы р а ж е н и я

(8.16) могут быть представлены в следующем виде:

№л

к

.

(8.17)

е" =

-

1 +hTff(Q')

Здесь

7 V ( Q ' ) — п о л и н о м

Ч е б ы ш е в а АЛ го п о р я д к а . Ка к известно,

в пределах

± 1 и Г 2 , ( ± 1) = 1, на к р а я х

полосы

и в точках, где

9

w

w

Tf/=\,

е 4

—К/1+h, а в точках, где 7V =

0, е q =К.

Следователь ­

точном

соответствии с ср-лой (7.23).

Из ф-л (8.16) следует, что

h=

Х- .

(8.18)

sh2 N иа

Тогда

преобразуем в ы р а ж е н и е ( 8 Л 2 ) :

b; = — Y cosa A + i ] / ' 1 + Y 2 sino-f t .

(8.19а)

где

Y = sh( — arsh—\=Л.

(8.196)

h = —^— ,

е = - — .

(8.20)

1 — е

2 + Л

Таким образом, если полюсы функции W(p)

р а з м е щ е н ы

на пло­

скости

р

в

точках, определяемых

в ы р а ж е н и е м

(8.19),

то

к в а д р а т

w

модуля

этой функции F(p) = e q

будет

иметь

зависимость от Q,

имеющую ви д характеристики Ч е б ы ш е в а .

Воспользовавшись равенством

(8.11),

преобразуем

в ы р а ж е н и я

(8.14):

=

L

(8.21)

ch W +( — l ) w c h V 0

И з этого

в ы р а ж е н и я ясно

видно,

что полюсы

е

расположены

в точках,

где с о с т а в л я ю щ и е

комплексного

потенциала

прототипно-

го поля будут иметь следующие значения:

V = -

Vo

Ф =

±я,

+ 3 я , + 5 п , . . . для четного

N

(8 22)

ф =

0,

+

2л;, + 4 п , . . . для нечетного

N

О п р е д е л ив

постоянную

К в

(8.2:1)

из

условия, что м а к с и м у м ы

минимумы

е

1

,п пг\ пг\пп П|

ппт/Л111\т OIH.1T.I

т л о п т г т л

COOTBGTCTiB &Н Н О

''

в полосе

аппроксимаци и

равны

(1-Ье) и (1 — е), получим, что

№„

1 — F 2

(8.23)

е 4 •=

(— 1) е ch W

1 +

При

этом

е = sen Уо = sch 2NUQ,

ЧТО, естественно,

соответствует

ф-ле (8.18).

нули функции хУ(р)

В ы ш е

был рассмотрен

случай,

когда

рас­

положены

в бесконечности.

Последние

соотношения

позволяют

сформулировать

общие

принципы

получения

характеристики

Чебы -

шева методом

потенциальной

аналогии,

независимо от п о л о ж е н и я

нулей х¥(р).

С н а ч а л а необходимо

поместить

в полосу

аппроксима ­

ции проводник, несущий столько единичных

положительных з а р я ­

дов, сколько полюсов имеется у аппроксимирующей

функции, и

определить комплексный потенциал W прототипного поля. Если за­

тем поместить положительные з а р я д ы не на

проводнике,

а на ка­

кой - либо

эквипотенциальной

линии прототипного

поля

в точках*

определяемых

в ы р а ж е н и я м и

(8.22),

комплексный

п о т е н ц и а л - о т

квантованных з а р я д о в будет подчиняться равенству

(8.23),

что и

будет соответствовать характеристике

Ч е б ы ш е в а при p = iQ.

Т А Б Л И Ц А

8.1

Л'

Значения

полюсов bкпри

В = 0 ,5 дБ

B = l дБ

В = 3 дБ

п = 0 , 1 2 2

ft=0 ,25 9

n=l .00

1

—2,8630

—1,9651

—1,0000

2

—0,7128+П,0041

—0,5488+i0,8951

—0,3220+Ю, 7770

3

—0,6265

—0,4942

—0,2982

—0,3132+П, 0220

—0,247 l+i0,9659

—0,1491 ±10,9037

4

—0,4233+Ю, 4210

—0,3368+i0,4073

—0.2049+Ю.3920

—0,1754+il,0163

—0,1395+iO, 9834

—0,0849+i0,9463

5

0 3623

—0,2897

—0,1769

—0^2931+10,6252

—0,2344+i0,6119

—0,1431+Ю, 5969

—0,1120+il,0116

—0,0895+Ю, 9901

—0,0547+i0,9658

В табл . 8.1 приведены значения полюсов

Ъи функции

усиления

многокаскадного

усилителя, определяемые

по ф-лам

(8.13)

и

(8.19)

для разного числа к а с к а д о в

N и при разной

неравномерности ха ­

рактеристики Ч е б ы ш е в а

B=\0\g(\

+fo).

Характеристике Баттерворса

соответствует условие, что при оп­

П о л ю с ы функции

F(p')

могут быть определены как корни поли­

нома:

1 + ( — 1)ыЦр')ш

= 0.

(8.25)

Полюсы в левой

полуплоскости р

определяются по

ф о р м у л е

_i

2N

±

i sin

ak).

(8.26)

b'k = h " (— cos ak

ой по-прежнему

определяется по ф-лам

(8.13). Д и а г р а м м а

полюсов

-я0

о

я0

я

Рис.

8.11

" М е т о д потенциальной аналогии

может

быть

использован

т а к ж е

д л я получения характеристики

Баттерворса, которую м о ж н о

рас­

сматривать

как предельный

случай

характеристики Ч е б ы ш е в а ,

ког­

да полоса

аппроксимации

Q0 и амплитуда

пульсаций е последней

одновременно стремятся

к

нулю. Положительно

з а р я ж е н н ы й

про­

водник,

расположенный

в

полосе

аппроксимации, в этом

случае

стягивается в точку, и эквипотенциальные линии

прототипного

поля

при условии, что отрицательные

з а р я д ы находятся в бесконечности,

превращаются в окружности с центром в начале

координат на пло­

скости р.

Т А Б Л И Ц А

8.2

N

Значения полюсов Ькпри

В = 0 ,5 дБ

В=\ дБ

J3=3 дБ

/г=0 .

1 22

/1=0 ,259

/1=1 ,000

1

—2,8630

—1,9561

—1,0000

2

— 1 ,2074±il ,2074

—0,9914±i0,9914

—0,7071+i0,7071

3

— 1,4200

— 1,2530

—1,0000

—0,7100±il ,2296

—0,6265+i 1,0851

—0,5000+i0,8660

4

—1,2016+i0,4977 '

— l,0938+i0,4531

—0,9239+i0,3827

—0,4977±il ,2016

—0,4531+11,0938

—0,3827+i0,9239

5

1 2342

—1,1451

— 1,0000

—o!9985±iO,7255

—0,9264±i0,6731

—0,8090+Ю, 5878

—0,3814±il,1738

—0,3538+ i 1,0891

—0,3090±i0,9511

частотная

характеристика

имеет

вид характеристики Б а т т е р в о р с а .

8.3. Характеристика

Чебышева

При синтезе цепи

клистронного

усилителя

следует

учитывать

следующие упоминавшиеся

ранее

особенности

функции

усиления

или тока

xY(p). Во-первых,

нули

функции х¥(р)

располагаются на

плоскости

р несимметрично относительно вещественной оси. По ­

этому мы используем

следующие

в ы р а ж е н и я для к в а д р а т а модуля

функции

\ F ( Q ) :

Во-вторых, нули функции ^¥(р)

зависят от п а р а м е т р о в полюсов,

соответствующих

цепям 'Промежуточных резонаторов . В то ж е

вре­

мя расположение

полюсов F(p)

при получении заданной

частотной

характеристики будет зависеть

от

расположения нулей

этой

функ­

вательных приближений .

П о л о ж и м сначала, что величины нулей

не

зависят

от величин

полюсов

и их расположение

известно. Тогда

необходимо

найти про-

тотипный

потенциал W для

поля, образованного

проводником, рас­

щим з а р я д + 2N единиц, и 2М единичными отрицательными

з а р я ­

д а м и , расположенными в произвольных

точках плоскости

р

сим­

метричными п а р а м и относительно оси Q, ка к это показано

на

рис.

8.12а. Очевидно,

что 2(N—М)

отрицательных з а р я д о в следует

счи­

тать л е ж а щ и м и

в бесконечности.

Будем характеризовать

положение

отрицательного з а р я д а на

сечения с мнимой

осью Й07-1 и Q0i2

эллипса и гиперболы, проходя­

щих через

Ci и имеющих

фокус в точке

Qo при Qr£ .,>0 -или в точке

—Qo при Q C i < 0 (рис. 8.12а). Тогда м о ж н о показать, что

й . а = | /

—

f

Y\'

f

y - Q ^ S i g n Q c . ( 8 . 2 9 a )

, /

6|

+Q e 2

+"Qg

. / / б 2 +

Q2

+Q20V

£

—V

[^—^

° J - ^ £ ^ S i g n O e | . ( 8 . 2 9 6 )

247

от плоскости

/; к плоскости да.

П а р е отрицательных зарядов , рас­

положенных

в точках с,- и — С

; , соответствуют на .плоскости да че-

ч

зж

плоскости р, показано «а рис. 8.126.

К а к и в предыдущем

параграфе , найдем комплексный потенциал

в правой полуплоскости да с помощью метода

зеркальных

изобра­

жений . Пр и этом т а к ж е

д о л ж н ы учитываться

з а р я д ы , находящиеся

в бесконечности. Д л я

отрицательных зарядов ,

расположенных в

точках

Ui + \(ai + 2kn)

и

щ + Цп—Oi

+ 2kn),

и

зеркально

располо­

ж е н н ы х положительных

зарядов

экспоненциально - потенциальная

функция

будет

равна

w — u; — i at

-'

w — ui — ' (я

— °i)

sh —

sh

e l = Ki

—

-

,

(8.32)

w +

u-t • i

оi

,,w + ui • • i (JI - •a,-

sh

sh

где Ki

— постоянный множитель . П р е о б р а з о в а в это в ы р а ж е н и е , по­

лучим

е ^ ( - _ д- — rnL

i ch w + sh w — i lc i

mci

ch w -\- sh w — \ lc i

tnc

t

=

tbUi

=

y

1 — ° — ,

(8.33a)

l c

i

=

i i £ ^ L

=

J k L i s i g n Q , .

(8.336)

ch

Q0 i

x

l"

Экспоненциально - потенциальные функции, подобные (8.32), мы

получим и для других рядов

з а р я д о в

на плоскости w, соответствую­

щих

другим л а р а м

отрицательных з а р я д о в на

плоскости

р.

Отри­

цательным

2(N—М)

з а р я д а м ,

расположенным

в

бесконечности

на

плоскости р,

будет соответствовать множитель

е v°° =

% е - 2 (W - м) ш

Этот множитель подобен в ы р а ж е н и ю

(8.10).

В ы р а ж е н и е

д л я

экспоненциально-потенциальной

функции

с уче­

том всех з а р я д о в

будет иметь

следующий

вид:

м

i ch w - f sh w — i lc

&\V _ ^ £— 2 (N — М) ю Г ~ | — гпс

t

mc i ch w + sh w — i lc i

i = l

Чтобы

выразить e w

через p,

используем

соотношения

s h ^

=

p',

chw

=

}/{p'f+

1,

e™ =

V(P'T

+

1 +

P',

e— =

] / ( p ' ) 2 +

1 -

P',

где выбраны положительно - реальные

ветви функций. Тогда

ew=K[VWT+i~P']2lN-M)n

М

- m c i V ( p ' ) 2 + l

+ p ' - i l c i

mciV(P')2+

1 +P'

—

Het

Произвольную постоянную К можно определить из с л е д у ю щ и х

соображений . П р и замене

распределенного з а р я д а

на

проводнике

квантованными

з а р я д а м и последние

д о л ж н ы раопола.гаться

в

точ­

ках, определяемых

соотношениями (8.22). П р и

этом в

соответствии

с

ф-лой

(8.28)

положительные з а р я д ы

д о л ж н ы

составлять

.пары, в

к а ж д о й

из

которых

з а р я д ы

расположены

симметрично

относитель­

но

оси

Q. Функция

потока

при

обходе

проводника,

несущего + 2N

з а р я д о в , изменяется

на 4Nn.

Поэтому

естественно

считать,

что

по­

ложительной полуоси Q соответствует значение

(£>=Nn,

т а к

как

ось

О, является

осью

симметрии

д л я

прототипного

поля. П о т е н ц и а л

на

проводнике принимается

равным

нулю. Тогда при

p —

iQo(p'=i)