книги из ГПНТБ / Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций

самым

утверждениеАх,

1)

доказано. х

ЧтобыАх

доказать

2),

зафиксируем точку

х в

замкнутом

интервале

[А , В

] и

возьмем

такое

чтобы точка

+

принадлежала

{А, В ].

Мы установим,

что функция </(т), Ѳ(х, т) >

не­

прерывна на

А

^

X

^

В ,

если докажем соотношение

Ѳ (т,

X

-f-

Ах)

— Ѳ (т,

х)

О

кости, то при

Ах — 0 она стремится кWнулю

равномерно

на

—

Т

^ т

Т .

Таким

образом, разность

0 (т,

х +

+

Ах) — 0 (т,

х) стремится к нулю в

а,ь

при Ах — 0.

Утверждение 3) мы докажем используя суммы

Рима­

на

для

рассматриваемых

интегралов.

Положим

X

=

=

В

—

А .

F chh мы покажем, что при

m

— оо

( і

(*),

і

тп

Щ

Ѳ (

т

,

а

+

Щ у

-*

- > < \ / ( т )>

в

> m—> ос

5 ф ( * ) ѳ (т-х) dxy

(5)

Во

всех

дальнейших

рассуждениях

р

фиксировано и

X) ф

0.

(Если ф

(х)

=

0,

то доказательство

очевидно.)

Ф (

Положим

(т,

(г) -

(т, ш)].

II

т) А e**pa>bD l \І

J

Н

Мы должны

показать,

что

(т,

т)

стремится

к нулю

при

т

оо

2равномерно

па —

оо < ; т <

оо0.

В

силу со­

Т,

отношения ( ) для любого

заданного е ">

существует

такое

что при І т І ^ Т и Л ^ х ^ і ?

будем иметь

I е ^ р а, ь (X) D*Q (т, X) I <

I [ 51Ф (X) | dar]

\

Тогда при

I т I ^

Т

|т|<Т

■ Н (X, тп) I <

В

m

< К\ ^ф (X) DlQ (X, X) dx -

- А 2

Ф ( Л +

^ ) о Ц х ,

А + ^ ) .

А

Ѵ =1

(т,

х)

равномерно

непре­

Поскольку

функция ф (а:)D?0

рывна для

всех

(т,

х),

удовлетворяющих

условиям

тп > тп-х

то существует такое

тпг,

что

Т.

правая часть (7) ограничена величиной

для всехТ

т

е на —

Это

завершает доказательство.

Л е м м а

7.4.2.

Пустъ

ЗВ/ =

F

s

при

s

ЕЕ

~2/

=

и

0

( )

1

ах

a2}

пустъ t

и а являются

фиксиро­

ванными действительными числами,

t<C.

а

Для= (s

любого: < Re ,s-<

любого

компактного

подмножества

S

из

можно

выбрать

положительные<;

числа, < ;

ші

<и

б2.>2

— ü ) I

СО

для8 > 0

и

а

так ,

что

всех

і

е

З,

( $

+

\)k{a +

ix — іа, t)

</(т),

/с(а +

іа

— т,

1

)> dco| < е

—ОО

COj

и одновременно

(3)

— <л)«

СО

/\ / (т),

' ( j) +

к

(со +

іх — іа, t) к (а + іа — х, 1

)

d a \

< е.

СО*

— ОО

Д оa к а bз а тo2,е л ь с т в о .

Согласно

теореме 7.3.5

(9)

в,

для

принадлежащего

полосе

{s :

а

<

Res

=

а

b},

где

Gi <C

<C

<

имеем

іа) | <

e“* d-ь т в (I со

I),

I к (со +

ix -

ia,

t)F(a +

У 4nt

где В — полином.

Неравенство

(8)

( 10)

следует непосредст­

что мы—

можем

дифференцировать

CÜJ

+

ОО

^ (ю + іх — іо, t) к (а -|- іа — X, 1) da

(11)

(' ----SСО

(О5)*

4

^—со +

к {л +

іх —

іа,

t) к

(а

+

т

— т,

l)da> <

ет*' Ра,ь (*) Ö?

jj)

со3

„ ( Х - П ) І ’4(

ьМ 7?ѵ(I г I) X

<

еу — 2*

(12)

— С01

+

оо

J е“2<1-1/')/4^(|й)|)^о.

—оо

5

R v

Здесь 2*

означает

ü)a

и 5 Ѵ обозначают

2конечную сумму,от2

одночлены,

а

С\

— постоянные,

зависящие

от

а.

t При

а і < я < б < й < а

функция

е

ра ,ь

М Л

ѵ (| т |)

ограничена

на — оо <

т <

оо. Далее,Wесли

0 <

<

1,

то интеграл в правой части

12(12) конечен. Поэтому выраже­

ние (11) как функция т принадлежит

аЛ.

Кроме того,

интеграл02

в правой части (

)

может быть сделанх

произ­

вольно малым,

если

выбрать

достаточно

большие ші и

) - К силу свойства III п. 7.2

и ограничений на

это до­

казывает

формулу

(9)

и, следовательно, лемму 7.4.2.

со Л е м м а

7.4.3.

Пустъ

х ,

а,

t u

x

—

фиксированные

действительные

числа,

причем

<

t

<

1

.

Тогда

^ к (со -+

іх — іа, t) к (а + ісо — т,

1) do =

к (х — т, 1 — і).

(13)

Д о к а з а т есол ь с т в о . Начнем с хорошо известного

преобразования Фурье

(/4яе_І>,/4.

(14)

— ^СО

е—І/Ѵ4е—і-чм/аdy =

Земанян

(Относительно

вывода

этой

формулы см.

[1],

стр. 180—181.)

Положим

і4

і

( ^

+

б - t ) .

(15)

^ =

Л = ] /

После умножения получающегося соотношения на

4л V 1 — I

ехр { і

)2

(а -

т)2]}

■ (* — а

и некоторых упрощений получим равенство

(13).

Теперь

мы, наконец, готовы

доказатьПусть Fформулуs) =

1

обращенияпри s (Е Qf (=)

для—

преобразования ВенерштрассаПустъ а обобщенныхлюбое фиксированфункций­.

ное

Тдействительноее о р е м а 7.4.1.число, такое,

(что агЗВ/

Тогда

{s : Oi <1

Res <

ö2}.

—

формула

справедлива в смысле сходимости в 3)'] другими

словами,

для каждого

ср

ее

3)

<

о <

б2.

оо

( )

lim

\

к

(со +

іт

— іа, t) F (а

4- ico) dco, ср(т)/= </ (т), ср (т)>.

1-0

-со

х

(16)

'-*

ДЪо,

а

к а з а т е л ь с т в о , Формальноа а

доказательствоЬ

проводится

следующим

образом.

Для 0 <

t

<

1

и для

и

выбранных

так,

что сц <

<

<

<

б2,

имеем

00

(со -f-

—

-f- ico) dco,

=

(17)

к

ix

іа, t) F (а

x)y>

—oo oo

— ia,

cp (

=-•

----^СО к (со -f- ix

t) </ (т), к (а ф- i:о — т,

1)) dco, ср (х)^>=

оо

(18)

= <Ф

(x),

</ (t),

k(x — X,

1 — i) » =

(19)

(20)

=

</(т),

<ф(я),

k(x — X,

1 — 0 » -

(21)

Поскольку

/ ЕЕ

W'a.b,

то для завершения доказательства

достаточно

показать,

что

X ,

t)

в

ПРИ

<ср (ж),

к (х —

1 — >

ср (т)

W

—

0 .

а , Ь

t

1

1выкладок на каждом

Теперь мы докажем законностьt, 0

шаге этой формальной процедуры. Из формулы (10) видно,

что при фиксированном

<

і <

, интеграл

ОО

іх — іа,

t) F (а +

ico) d:о

(22)

----^OO к (со +

І ^ Р а . ь ф D*k(0 +

i:о - * ,

1)1 =

Р р

(о + і о - т, 1) |,

и0)2,

=

ь (т) е” /* I

так как а < а <

Ъ, то эта величина стремится к нулю

при |т I

оо равномерно на — соі

со ^

шг, где соі

и

— любые

конечные положительные числа. Таким об­

разом, из леммы 7.4.1 вытекает соотношение

W,

к

іх

іа, t)

к

Ы

х, 1

2

§

(со +

—

</(т),

(о +

—

)>с со =

—ш,

)2

=

<(/ (т),

Сі

к

(со +

іж — іа, і)

/с

(а +

ін — т,

1

)

•

—^

Далее, носитель

ф

(х) ЕЕ

25 содержится

в конечном

етѴзамкнутом4ра, ь( т ) D^kинтервале(х — X,, например1 — t) =

,

А

<1

х

В .

Кроме того,

е-х«/4(1-0

ь ’( г )

((-1) іж>

— т, 1 - і Г

-14F 4ft (1= - <)pa

е жт''2 Р - Р

B W'tnb

ПРИ любых

а

и

Ь.

Положим

х = % 2 y Y і

—

t

,

где т л

( фиксированы (0 <

t

< 1). Тогда

I 7, (т) I < eTt/)pQ,

ь

(т)

sup

I ( >(х) —

< >(т) | <

(у)

ф р

ф р

*—6<x<T-f5

Поскольку ф £= 25,

< бе^Ра,

ь

(т) т—6sup<у<т+5 I ф(Р+1)

I.

правая

часть

мажорируется

величи­

В ,

где

В

ox t,

т и

6

(0 <

f < 1, — оІог< т < ;

ной б

6не зависит

< оо и 0 <

<

1). Задавая е >

0, находим, что |

(т) | <

Так как носительф ограничен, то отсюда следует1 , что0

вто­

рой член вJ правой части равенства (25) равномерно стре­

мится

к

нулю

на — оо < ; т <

оо,

когдах

f —>-

— .

Пусть

x

(т)

обозначает первый

член

в

правой

части

(25); предположим,

что носитель ф (

)

содержится

в ко­

нечном

замкнутом

интервалет2'4

А

^

х

В .

Тогда

при

^ А

К

— оо <

т — б < И имеем

J x

(т) =

0. Пусть

— постоян­

ная, ограничивающая е

ра, ь (т) при

^

т — б ^

В.

Тогда

\ I9(р) (*) I dx ->

0,

f _>

1 -

0.

I J x (т) К

Следовательно,

прн г-э- 1 — 0 величина

J x

(т)

равномер­

но стремится к нулю на

А

т

ьт—'2б < ;

В .

Наконец,

рас­

смотрим

область

В

< т —t <б.

< ~оо. Существует

постоян­

ная

М ,

такая, что pQ)b (т) <

Ме

при

В

<

т — б <

оо.

1,

то

Следовательно,

если 0 <

I1Л (т) К

т = =(1= = =

ехр [?

Т

+

И

Г

=

%

]

W |^

/4л -< )

^

(26)

Величина

exp

Ьх

,

(

В

- т Г - 1

2

_1_

4(t —

1

(27)

) J

7.5. Задача Коши для одномерного

уравнения

теплопроводности

Обозначим

через

ѵ (х

,

у),

где —оо <уі <х.о о и 0 < у <С

< У, температуру в момент времени

в бесконечно длин­

ном стержне, расположенномх;

вдоль оси Таким образом,

предполагается, что температура изменяется только по

времени у и по длине

это означает идеальную изоляцию

поверхности стержня.

Предположим,

кроме того, что ма­

что

g (Ах)

GE

W (w, z

w

и некоторого

z.

) для некоторого

Здесь

g (Ах)

обозначает тот

единственный

элемент из

W '

(w, z

сужение которого на

3)

задается

соотношением

),

(см.

ig(Ax),

ф(х)> ^<(g(x) , -ijtp (^ Р > ,

Ф (*)е35 .

(2)

Земанян [1], стр. 27). В качестве начального условия

мы потребуем,

чтобы температура

ѵ (х, у),

рассматривае­

мая

как распределение на — о о < а ; < ; о о

и

зависящая

нахождения

ѵ х

у).

Более того,

ѵ (х, у),

как выяснится

( ,

х

далееА ., является гладкой функцией

для каждого

Афикси­

Y

рованного

у

при 0 <

у

<

Y ,

причем

зависит от величи­

ны

Y

Если условие 1) выполняется для каждого

)> 0,

то

можно положить равнымg (оох) .

го

Воспользуемся следующим результатом классическо­

анализа:

если функция

удовлетворяет подходя­

щим ограничениям,

то

ѵ (х, у)

задается интегральным пре­

образованием

( ?

„ - ( * - < 1 ) 7 4 X 1 /

(3)

ѵ ( х , у )

=

\ g (ц)

^—

dp.

J

У

4лхѵ