книги из ГПНТБ / Годунов С.К. Разностные схемы. Введение в теорию учеб. пособие

60

Г Л . 3. О Б О С Н О В А Н И Е М Е Т О Д А П Р О Г О Н К И

З а м е ч а н и е . Важно подчеркнуть, что величина е в оцен­

ках

(4), в пределах которой можно возмущать коэффициенты

(6)

и (10) отклонения решения возмущенной задачи от реше­

ния

невозмущенной задачи — все эти числа зависят только от

эффициентов разностного

уравнения

и число

точек

q — р + 1

сами по себе роли не играют: их влияние сказывается

только

через

константы М}

и М2,

при которых

справедлива

оценка

(2).

2. Доказательство

критерия

хорошей

обусловленности.

В п. 5 § 4 сформулирован

критерий

хорошей

обусловленности

задачи

(1)

при

условиях

гладкости

коэффициентов

ak

—

at

|<

D

k-l

,

\bk-bt\KD

k - /

N

N

(14)

k-l

D > 0 ,

co>0,

N

и

условиях

d„ = max(|

a„|,

I bn

|,

| c j ) > f i > 0 ,

(HO

| a „ | < M b

| 6 J < M „

| c J < M , .

Для

хорошей

обусловленности

задачи

(1)

при

условиях

(14),

(140

необходимо и достаточно,

чтобы

корни

квадратного

урав­

нения

ап + bnq + cnq2 = 0

удовлетворяли

неравенствам

К |

< 1

-

{ .

| ? 2 - Ч < 1 - - | ,

(15)

где 6 >

0 не зависит

от N

и п.

Н е о б х о д и м о с т ь

доказывается

примерно таким

же

спо­

собом,

как

это

сделано

в

п. 4 § 4 при

рассмотрении

случая по­

При доказательстве

д о с т а т о ч н о с т и

мы

будем

пользо­

ваться указанным в п. 4 § 4 критерием

хорошей

обусловлен­

ности (15) разностной краевой задачи

аы„_, - f Ъип

+ cun+i

=

/„,

p<n<q,

" Р = Ф.

и9

=

1|5

с постоянными коэффициентами, где р и

q,

q ^

р

2, — произ­

вольные целые числа. В отличие

от

§

4

мы нумеруем

компо­

ненты решения {ип} не

номерами -п =

0,

1

N,

а номерами

§ 6. СВОЙСТВА ХОРОШО ОБУСЛОВЛЕННЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

61

п

=

р, р + 1 ,

q,

что

не

меняет

дела.

Задача

(16)

всегда

имеет решение, причем при всех п,

р

<: п

^

q,

справедлива

оценка (30)

§ 4:

| « J <

М, max|/,J +

M 2 max (|ср И

P<n<q,

(1?)

т

а

при

п,

р +

-Q- <

п<

q—g-,

оценка

(31)

§

4:

| « J < A f , m a * | f w l + A f 2 m a x ( | < p | ,

|it>|),

(18)

где

m

128

4

1

Выберем

е,

положив

е =

2Ш\

—

(

1

9

)

Будем считать N настолько большим, чтобы выполнялось нера­

венство

D

24 | ш

„ .

_ .

Л/ >

24 | D l1"*

( 2 0 )

NQ

< е,

т.

е.

-д-

Переходим к доказательству хорошей обусловленности за­

дачи

(1). Рассмотрим

краевую

задачу

вида

апчп-\

+

М п +

с„ы„+ 1 = /„,

p<n<q,

1

" Р =

Ф,

=

I

где р

vi q — произвольные

фиксированные

числа, 0

р,

q ^

А/,

< 7 ^ р + 2 .

В

частном случае

/0 =

0, q = N эта задача

совпадает

с

задачей

(1),

а

вообще

получается

из

задачи

(1)

некоторым

«урезанием» — отбрасыванием

уравнений

при

п ^

р

и

п ^

q

и

заданием ыр и wg. Мы

покажем,

что

при

произвольном

А/,

удовлетворяющем

условию

(20),

задача

(21)

однозначно

разре­

шима

при

произвольных

правых

частях,

причем

числа {ип},

р ^

п

^

q,

удовлетворяют

оценке вида

| « „ K A f m a x ( | q > | ,

m a x | f „ | ) ,

(22)

т

где

М — некоторая

постоянная,

зависящая от

В,

0,

но-не

от

N,

р,

q.

q—p^.2A/Q

q—р>

Рассмотрим

отдельно

случай

и

случай

>

24/0.

Если q — р ^

24/0,

то коэффициенты

задачи

(21)

при

любых

к

и

/, р <

к,

I <,q,

удовлетворяют

в

силу

условий

гладкости

I ак — аг К D N

ц — р

< D

24

< 8,

N

9JV

bk — h\ <&,

I ск — Ct | < 8.

Эти коэффициенты

«почти»

постоянны

и не более

чем на е от­

личаются от коэффициентов задачи

(16), где в качестве

а, Ь,

с

выбраны

й р + 1 , Ьр+и ср+\.

Решение

задачи

(16)

удовлетворяет

оценке (17). Число е выбрано

по формуле

(19) в

соответствии

с требованием (4). Поэтому для оценки решения задачи

(21)

можно воспользоваться

неравенством (5):

" п К - 5 т а х | / т

|

+ - | т а х ( | ф | ,

|гр|).

(23)

0 0

т

в

Рассмотрим

теперь

случай

q — р >

24/0, в частности р = 0,

q — N. Предположим,

что при некоторых

фиксированных

ф, г|э

и

{fm} существует решение

{ип},

р <1 п ^

q. Выберем

последо­

вательность

целых

чисел

р = No < N\ <

... <С Nr

= q

так,

чтобы выполнялись

неравенства

6

^ КГ

м

^ 1 2

(24)

j < N k + l

-Nk<-Q-.

Решение задачи

с постоянными

коэффициентами

ao„_i + bvn

+cvn+l=fn,

Л^_, < п <

Nk+i,

(25)

Ч - ,

где

с —С

ЛГЬ»

при п — Nk

в силу

неравенств

Nk-t

+

2r<Nk<Nk+l-%-

удовлетворяет

оценке (18):

o„

< A f , m a x l L

+ М!2 max (| ф |, | ар |),

где

128

Af1 =

М2

=

^ .

Задачу

В 8 3

а Л - i

+

М «

+

c„«„+i

Aff e _,

<

п <

J V f e + 1

(26)

§ 6. СВОЙСТВА ХОРОШО

ОБУСЛОВЛЕННЫХ

КРАЕВЫХ

ЗАДАЧ

63

можно рассматривать как возмущение задачи (25), причем коэф­

фициенты

задачи

(26)

в

силу

неравенства Nk+X

— Nk^x

^

24/9

не более

чем

на

е отличаются

от

коэффициентов

задачи

(25).

Можно

воспользоваться

оценкой

(12)

для решения

возмущен­

ной задачи. При

n = Nk

получим

| uN

h\

<

2Af, max | / „

| +

( м 2 +

-jj

max (| uNk_,

|,

| и„к+1

|)

<

<

2M, max | fm

| +

j

max (| uNk_i

|,

| uNk

+ i | ) .

Следовательно,

max

\uN

J < 2 A f ,

max

If

l - f - J - maxf ! ф |,

|t|>|f

max

|и„

J l <

< 2 M , max I/„

I +

-5-

max

|«

I - f \

max

(| ф |,

| op | ) .

Отсюда

max

I uN

I <

4M

max

I /

I +

max (| ф |, | -ф |) .

Теперь для произвольного n найдем Nk-\

и Л ^ + 1 ,

между

кото­

рыми

оно

заключено,

и

воспользуемся

оценкой (23):

| « „ | < 2 A l 1 m a x | / m | +

2 M 2 m a x ( | «

I , |и„

h

<

< 2 M 1 m a x | f m [ + 2 / W 2 [ 4 M I m a x [ f m [ + m a x ( | ? | , | ф | ) ] <

m

m

<(2Af,

+ 8 M , M 2 ) m a x | f m | - f

2 Л Г 2 т а х ( | Ф | ,

| i p | ) .

(27)

m

Оценка

(27),

полученная

при q — p>

24/0, в силу

(23)

остает­

ся справедливой

и для

9— р s=: 24/0.

Задача

(21)

разрешима

при произвольных

правых

частях, так как

из оценки

(27)

видно,

что при ф =

ф =

fm

=

0

существует

только

нулевое решение.

Мы завершили доказательство того, что при условиях глад­

кости

(14) и

при

условиях (14') условие (15) является крите­

рием хорошей

обусловленности

задачи

(1).

Следующий пример показывает, что условия гладкости

(14)

нельзя

игнорировать.

Легко проверить, что разностная краевая задача

anun-i

-f- bnun

- f

спип+]

=

О,

0<n<N,

Щ =

0,

uN

— 0,

64

Г Л . 3. О Б О С Н О В А Н И Е М Е Т О Д А П Р О Г О Н К И

где ап = 1, Ьп

= (—1)", сп =

\ и

N =

бЛ/i, имеет при любом

натуральном

нетривиальное

решение

J

s ' n ~ f ~ '

е с л и

n

четное,

ип

= {

— cos-^-,

если

п

нечетное.

\

I

6

\Ьп\-\ап+сп\

1

,

,

, Ь .

.

|

-

\Ьп\ + \ап\ + \сп\

3 '

| 0 » '

,

С Л |

знаков:

первый

признак:

\bn\>\an\

+

\cn\ + b,

6 > 0 ;

второй

признак:

\ЬЬа\+\аап\+\Ссп\

> Q > 0

> • dn

=

max(]an\,

I ba j , | cn |) > В

третий

признак:

I bn

I — I an

+ cn I

I bn

I + I an I + I cn • > 9 > 0, AT > d„ > fl > 0,

летворяют условиям гладкости

(14)

я* — «/ К - 9 £ — / ш

N

k — l

со

D > 0, со > 0.

N

66

ГЛ. 3. ОБОСНОВАНИЕ МЕТОДА

ПРОГОНКИ

Рассмотрим следующую

урезанную

систему:

a„«„_i + Впйп +

cnun+i

=fn,

0 < п <

I,

ы0

=

Ф>

«j = 1p.

Она

разрешима. Найдем

из нее

Из формул

Крамера для

решений систем линейных «алгебраических

уравнений

вытекает,

что щ-1 представимо в виде

i-i

й/_, — /д|э + 2 Л,-// + Л0 ф =

Lui + К,

(5)

111 =

15/-, | < 2 М ,

а при

йг

= -ф =

0 следует

| К | =

|й/-1 | < 2 М т а х ( | ф [ ,

т а х | / т | ) .

т

Величинам

L и

К удобно присвоить

индекс / — '/г и

полу­

ченные

соотношения

и неравенства

записывать

так:

| L , _ v , | < 2 M ,

| ^ _ . / 1 | < 2 М т а х ( | ф | , m a x | f m | ) .

(6 )

Соотношение такого же вида было получено при описании

прогонки в § 5. Из

формул

Крамера

(5)

видно, что L/-v2

одно­

значно определяется

через

коэффициенты

ап,

Ьп,

сп,

а /С/-</2

одно­

значно

определяется

по

ф,

/„, ап,

Ьп,

сп

(0 <

п <

/).

Отсюда

следует,

что коэффициенты

L/_y2 , Ki-ч,

совпадают

с

получен­

ными

в § 5 прогоночными коэффициентами, для которых там

были

выписаны

рекуррентные формулы

Ly2

= 0, /Су* = Ф»

68

ГЛ. 3. ОБОСНОВАНИЕ МЕТОДА ПРОГОНКИ

К% = Кч,',

+ vt =

Ki+ч,,

l>0.

Очевидно, что сводка формул

(10)

может быть переписана так:

Zn/s =

0,

= <р + иу„

сi ~

{alLl_,k

+ bt)

X[+%

Li+42 —

—,

XT"

•

/ =

1, A

. . . ,

W —• 1,

h

-

у

i - i )

__fi

+

a i v i - i +

(a^f - y ,

+

+

Vj) -

Q & , . / ,

(100

/ = 1 , 2, . . . . tf- 1

ui =

Li+41ui+\

+

Ki+<,2,

t = N — 1,

N — 2,

. . . , 1,

;

а„й„_, + Ьпйп + спйп+1

= f„, 0 < п < N,

"о = Ф.

"JV = 'Ф

ф =

ф

+

11 =

fi

+ ajv,_, +

(a/L/_v, + 6;) (и / + . А

+ v,),

(И)

a{ =

a»,

5Z = bb

ct = ci — {flili^ +

bt)

§ 7. ХОРОШО

ОБУСЛОВЛЕННЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ

69

Докажем,

что

\с1-с[\^М(2М+

1 ) в < б ] Г .

(12)

Доказательство

будем

вести

индукцией

по

/. При

/ = 1

I Ci -

сх

| =

| (а,*../, +

bx) hh

I =

I (a, • 0 +

*i)

| <

Afd

<

< M ( 2 M + l ) 6 < - i r .

Пусть

для

k =

\,

2

/ — 1

неравенство

(12) уже

дока­

зано. Для вычисления коэффициентов Ly2, L ^ ,

L/_y2 исполь­

зуются

только

a{

= ait bi = bt

и

с(-

при

i—l,

2,

I .

Поэтому

можно утверждать

в силу

(6),

что | L/_y2 | ^ 2 М

и что,

следовательно,

I ci -

ci

I = !

- (a,L,_y2

+

6г) Я,+ .А 1 < (М • 2M +

M) б <

.

Этим

индукция

завершается.

Таким образом, показано, что если

5 ^

6M2 (2Af + l) ' т

о в ы "

полнены

неравенства

\ a n - a n \ = 0 < g ^ .

\bn

— bn\ = 0 < ~ ,

\ с п - с п \ < ~ ,

а значит,

справедливы

оценки (6)

и

(8):

I

Ц-ъ

I <

Ш,

I a/^i-v, +

bl

I =

I аД,,_у2

+ 6г I > -тщ- •