книги из ГПНТБ / Годунов С.К. Разностные схемы. Введение в теорию учеб. пособие

40

ГЛ. 2. КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ 2-ГО ПОРЯДКА

решения

{ип}

к

ошибкам

(например,

ошибкам

измерения

или

округления), допущенным при задании правых

частей

ф,

г|з*и

{/„}, не

возрастает

с ростом

числа

N.

Действительно,

если

вместо

ф,

ip

и

{/„}

задать

соответственно ф +

Аф,

ф +

Дф>

{f„ + A/„}, то решение

{и„}

получит

приращение

{Аип}.

Это

приращение ввиду линейности задачи (1), (2)

является реше­

нием задачи

ап

Аы„_1 + Ьп

Аип

+

сп

Аип+1

=

А/„,

0 <

п < N, )

Ди0

=

Аф,

Аыд, =

Аг|з

)

и в силу

(5)

удовлетворяет

оценке

| Д и „ | < М т а х { |

Дф|,

| Дгр |, т а х | Д / т

| } .

т

Далеко не всякая однозначно разрешимая краевая задача

(1),

(2) является

хорошо

обусловленной.

Например,

если

правым

частям задачи

и„_, — 5н„ + 6ы„+ 1

=

/„,

0 <

п < N,

)

и0 =-•-- Ф.

uN = г|)

/

придать

приращения

А/„ =

0,

Дф =

0,

Аф =

е,

то решение {и„} получит

приращение

Аип

=

2" '

( / ; /

- Аф,

л = 0,

1, . . . .

N.

Отсюда

Амлг-1^2

' у 8 -

ростом N возмущение решения. Число М в

неравенстве (5) за­

ведомо нельзя

взять растущим медленнее экспоненты 4"'

2 Д - 1 .

О

3. Достаточный признак хорошей обусловленности.

Т е о р е м а .

Если коэффициенты

ап,

Ьп,

сп удовлетворяют

условию

f * ? l > | a j + | c „ | +

fi,

б > 0 ,

(6)

§ 4. ПРИЗНАКИ

ХОРОШЕЙ ОБУСЛОВЛЕННОСТИ

41

то задача

(1), (2)

хорошо

обусловлена,

причем

решение

{«„}

удовлетворяет

оценке

max

| | ф | ,

|г|з|,

- | m a x | / m | j .

(7)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Сначала

предположим,

что

при

за­

данных

фиксированных

ф, г|> и {/„} задача

(1),

(2)

имеет

реше­

ние

{«„},

и установим

для

него

оценку

(7). Пусть

наибольшее

среди

чисел

\ип\,

то

п — О, I,

N,

есть

число

\uh\.

Если

k =

О или k = N,

неравенство

(7)

очевидно,

так

как

щ =

ф.

UN =

if>. Остается

рассмотреть

случай

0 <

& < / V ,

\uh\^\un\.

В этом

случае, с учетом

(6), можно

написать

I Ьk \ • | uk

| = | - af e «f t _! — ckuk+i + /* |<

< | a*

I •

I

I +

I cft

I •

I

1 +

I ffe

I < (I ak

I

" • ' ^ " ^ i M - i ' - : ' - ! - , ! ^ '

и неравенство (6) также выполнено.

Осталось

доказать,

что

задача

(1),

(2)

имеет, и

притом

только

одно,

решение

{«„}

при

произвольных

правых

частях

Ф, Ф и

{/•„}.

Задачу (1), (2) можно рассматривать как

систему

(V +

1

линейных

уравнений

относительно такого же числа

неизвестных

Поэтому нужно установить, что определитель

этой системы отличен от нуля. Как известно из алгебры, опреде­

литель системы отличен от нуля в

том

и

только

том

случае,

если

соответствующая

однородная

система

имеет

лишь

нуле­

вое решение. Но для системы (1), (2) однородная система по­

лучается

при

ф =

i|) =

fm = 0. Из оценки (7), доказанной

для

каждого решения {ип},

видно, что в этом случае имеется

только

тривиальное

решение ип

=

0.

Достаточным

условием

хорошей

обусловленности

задачи

(1),

(2)

является также

следующее

условие:

1 м ; и : ' | Т 1 с с : ' > е > 0 ' m « { i « . u M . i * j > > B > o ,

( 8 )

где

0

и

б — некоторые

постоянные,

не

зависящие

от

N

и

п.

Действительно,

из

(8)

следует

(6)

с

постоянной

6 = 9 ( | М + | а я | + | с я | ) > е я > 0 .

Поэтому

(7)

примет

вид

| ип | <

max

| |

Ф I,.

I Ф I. Ж

max|

fm

|J.

(9),

42

ГЛ. 2. КРАЕВАЯ

ЗАДАЧА

ДЛЯ УРАВНЕНИЯ 2-ГО ПОРЯДКА

4. Критерий хорошей обусловленности краевой

задачи с по­

стоянными коэффициентами.

Т е о р е м а .

Для

хорошей

обусловленности

краевой

задачи

aun-i

+ Ьип

+ сип+1

=

/„,

0 < п <

N,

(10)

"о =• Ф.

UN

=

с

постоянными

коэффициентами

необходимо

и

достаточно,

чтобы корни qi и q2

характеристического

уравнения

a + bq + cq2

= 0

(11)

были

по

модулю

один больше,

а

другой

меньше единицы,

т. е.

чтобы удовлетворялись

неравенства

вида

N < i - 2 >

м ^ 1

- ! -

о 2 )

где

0 — некоторая

положительная

постоянная.

В случае, если коэффициенты а, Ь, с

вещественны,

критерию

хорошей обусловленности (12) в силу

доказанного в

п.

3 § 3

можно придать удобную

форму:

\Ь\

— \а

+

с\

^

Q

^

п

, .

I&I + M

+ M

> е >

0

-

о з )

Удобство

критерия

(13)

состоит в том, что его выполнение про­

веряется

непосредственно, без вычисления корней qi и q2.

Доказательство

критерия

(12)

будет

проведено

в п. 6

этого

параграфа.

5. Критерий хорошей обусловленности задачи с переменными

коэффициентами. Критерий (12) хорошей обусловленности

крае­

вой

задачи для

разностного

уравнения

с постоянными

коэффи­

anun-l + bnun +cnun+i

= fn, 0<n<N,

(1)

н0 = Ф,

uN = г|)

(2)

ние

точно, причем

относительно

уравнения (1)

будем предпо­

лагать,

что его

коэффициенты

ограничены в

совокупности,

| а п | < - М ,

| 6 „ | < М ,

| С „ | < М , и что все три коэффициента ап,

Ьп,

сп ни при каком

п одновременно

не

становятся малыми:

rf„ =

max{|a„|, |6„|,

| с „

| } > В > 0 .

§ 4. ПРИЗНАКИ ХОРОШЕЙ ОБУСЛОВЛЕННОСТИ

43

Т е о р е м а .

Пусть

коэффициенты

задачи

(1),

(2)

удовлет­

воряют

условиям

ak

—

at\^D

I

\bk-b,\^D\

1

N

N

(14)

\ck-Cl\KD

D>0,

и >

0

N

Тогда для

хорошей

обусловленности

задачи

(1),

(2)

необхо­

димо

и

достаточно,

чтобы корни

qi

и

q2

квадратного

уравне­

ния

an + bnq + cnq2 = 0,

О <

п < N,

(15)

удовлетворяли

условию

вида

к 1 < 1 - т

(16)

где

0 >

0 — некоторое

число,

не

зависящее

от N

и п.

Условия (14) выражают требование гладкости коэффициен­

тов. Они выполнены, например, если

ап

=

a (n/N), bn =

b (n/N),

сп = с (n/N),

где

а{х),

b(x),

с(х)

— некоторые

функции,

определенные на

отрезке

0 ^ х

^

1 и

удовлетворяющие

условию Гёльдера:

aus-x + bus + cus+i = О

с постоянными коэффициентами а, Ь, с, совпадающими со зна­

чениями

переменных

коэффициентов

ап,

Ьп, сп

при

зафиксиро­

ванном

п, т. е. а =

ап,

b = bn, с =

сп.

Если

ап, Ьп, сп

— вещественные

коэффициенты,

то в

силу

п. 3 §

3 условие

(16) можно заменить

легко

проверяемым

ус­

ловием

I bn

I + | ап

I + | сп

|

v

'

где Э не зависит от N и п.

Сформулированный

критерий

(14),

(16) или (14), (17)

бу­

дет доказан в § 6. Там же будет показано, что условия глад­

кости (14) игнорировать нельзя.

44

ГЛ. 2. КРАЕВАЯ

ЗАДАЧА

ДЛЯ УРАВНЕНИЯ

2-ГО ПОРЯДКА

Заметим, что если

\ап

+

сп \ = \ ап | +

Iсп \, то

условие (17)

совпадает

с условием

(8)

и обеспечивает

хорошую

обусловлен­

задачи с постоянными коэффициентами. Докажем

сформулиро­

ванный

в п. 4 критерий

хорошей

обусловленности

краевой

за­

дачи

aun_i

+

Ьип

+

си„+1 =

f„,

0<n<N,

1

ы-о =

ф,

uN

= гр,

/ •

а именно следующее утверждение. Для

хорошей

обусловлен­

ности задачи (10) необходимо и

достаточно,

чтобы корни

ха­

рактеристического

уравнения

a + bq+

cq2 = 0

(11)

удовлетворяли неравенствам

вида

qx

< 1

-

£

®

1—11

1

^

,

(12)

,

^

< 1

- |

где 9 — некоторая

положительная

постоянная.

в

Д о с т а т о ч н о с т ь .

Решение

задачи

(10) представим

виде суммы двух сеточных функций, положив

ип = йп + йп,

(18)

где {йп}

— решение

задачи

a«„_i +

Ьйп

+

сы„+ 1

=

0,

0 <

п <

N,

(19)

й 0 =

ф,

«лг —

"Ф»

а {"п} — решение

задачи

а й „ _ , + йй„ +

сй„ + 1

=

/„,

0<n<N,

(20)

й0 =

0,

йы

— 0.

Решение

задачи

(19) имеет

вид

ип

= AqfBq$,

где А и

В

" " - • - ( « г Г ^ + . - ^ - Г ' 5 -

( 2 1 )

Обозначив 1 — 0/2 = р,

из (21) получаем

I йя К 2 т а Х

1 ( р _ " ' р ^ " " ) max (| Ф |, | гр |) .

(22)

§ 4. ПРИЗНАКИ

ХОРОШЕЙ

ОБУСЛОВЛЕННОСТИ

45

Поэтому

при всех

N ^ 2

и п = 0,

1

N

| u j < - j 4 j m a x ( | q ) | ,

| ф | ) = 4 - т а х ( | ф | , | ф | ) .

"(23)

Если

п и N — п — достаточно

большие

числа,

то

коэффи­

циент

в

неравенстве

(22)

сколь

угодно

мал.

Например,

при

п > 6/0,

N — п >

6/6

э6/9 =

_ е \ гее-]

2 ,

3 < ( 4 Г -

Здесь

использовано

известное

неравенство

1 -

1

+

о ( 1 - 0 - ' ) + 6 ( 1 + 6-')

I 0 + 6

а + Ь

при

а =

2/6,

6 =

2.

Таким

образом,

max(p",

pN~n)

^ / 4

(V,)" <

так

что из (22) при п >

6/9, N — п > 6/0

получим

(24)

Оценим

решение

{«„} задачи

(20). Представим

йп

в

виде

суммы

й

=и'+и'

0 < n < y V ,

п

1 га

решении

двух задач — задачи

/„,

0 < п <

N,

(25)

О,

л ^ О

или

n^zN,

и задачи

шС-i

+

+ с « ; + 1 = 0, 0 < п < N,

(26)

U0

UN '

U 0 '

Ограниченное решение {«*} задачи (25) существует,

единственно

и удовлетворяет

оценке

(15) § 3:

< | < - e p - m a x | f m | ,

(27)

где

fi

=

max (| а |, | b |, | с | ) .

В

частности,

46

ГЛ. 2. КРАЕВАЯ ЗАДАЧА

ДЛЯ УРАВНЕНИЯ 2-ГО ПОРЯДКА

Для оценки решения {и'п}

задачи

(26),

совпадающей по

своему

виду с задачей

(19), воспользуемся формулой (21) и оценкой

(23),

заменив

только

ср и г|з на

— и0

и

— u*N:

K I < | m a x ( K I > K I ) -

Теперь примем

еще во внимание

(27'):

K I < w m m a x I U

(28)

Объединяя оценки

(27) и

(28)

с

учетом 6 <

2, получим

I «п К

128

|.

(29)

-5нг max \fm

m

Следовательно, для решения {ип} исходной задачи, объединяя

оценки (23)

и (29),

получим

I ип

| <

| йя

| +

| йп К

128

4

-gp-

max

I /«

I +

-g- max

(| <p |, |' i|>|).

(30)

Оценка

(30)

обеспечивает

хорошую

обусловленность

| ип

|

^

^ М т а х ( | ф |, 11|) |, т а х | fm

|),

причем

за

М можно

принять

т

т _

±

м =

=

+

т

в е 3

^

е '

В случае

п > 6/8, N — п>

6/В

можно уточнить

оценку

(30),

воспользовавшись

вместо

неравенства

(23)

неравенством

(24):

128

I

1 " я К - в в г т а х | / т |

+

- ^ т а х ( | ф | , | г | > | )

(31)

или

| и я | < М , т й х | / т |

+

1 т а х ( | ф и 1 | ) | ) ,

(ЗГ)

где М, зависит только

от 9 и

б, но не от

N. Оценкой

(31) мы

будем

пользоваться

в § 6.

Н е о б х о д и м о с т ь .

Заметим

сначала,

что если

условия

(12)

не выполнены

ни

при каком положительном 8, то корни

характеристического

уравнения

P(q)

= a +

bq+

cq2 = 0

ницы, либо хотя бы один из них равен

единице:

1)

l < 7 i l < P < l ,

| < 7 2 1 < Р < 1 ,

(32)

2)

| < 7 , | > р > 1 ,

| < 7 2 1

> Р > 1 ,

(33)

3)

1*7,

1 = 1 .

(34)

§ 4. ПРИЗНАКИ ХОРОШЕЙ ОБУСЛОВЛЕННОСТИ

49

Ы < 1 - | -

М < 1 - | .

| ц - Ч < 1 _ 1 , | v - > | < 1 —

где 8 >

0 не зависит от х.

2° Размерность г матриц ai

равна

числу

тех корней ц, модуль которых

меньше

единицы, а размерность

s матриц

\°ц равна числу тех корней v, мо­

дуль которых меньше единицы.

3 °

Среди решений {и„}, п ^

0, задачи

2 М (0) un+k

' 0,

kQ

оо, j

2fe.

2

a i U i

нет ограниченных, отличных от тождественного

нуля.

Последнему условию, 3°,

можно

придать

вид необращения в нуль неко­

торых определителей с элементами, не зависящими от N.

Проиллюстрируем сформулированный критерий, исследовав условия хо­

рошей обусловленности задачи

0 • « „ _ , — 2и„ + un+i = fn,

0<n<N,

I

и , - а м 0

= ф, uN - Р « д , _ , = •*. J

(5— некоторые числа;

in =

1, г = 1, s = 1, &o = 1. Корни уравне-

0 - 2ц + ц 2 = 0 и 0 - v 2 - 2 v + l = 0

ц, = 0,

ц 2 = 2,

v, = '/2

(v2 = оо).

Среди них нет равных единице по модулю, и условие

1° выполнено.

Условие 2° тоже выполнено, так как количество

скалярных

граничных

условий на левой и правой

границах равно

г — s =

1 и равно

числу тех

корней ц и v, которые меньше единицы по модулю.

Выясним, при каких значениях а задача

0- ип-1 — 2ип + «п-н = 0, я > 1 ,

а« 0

—• ttj= О