Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Годунов С.К. Разностные схемы. Введение в теорию учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

14.18 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 413 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

20			ГЛ. 1. РАЗНОСТНЫЕ	УРАВНЕНИЯ 1-ГО И			2-ГО ПОРЯДКА
	Общее		решение однородного разностного уравнения
			аы„_, + Ьйп + сйп+1 = 0					(7)
может		быть представлено		в виде
			йп	= aYn + pZ„,
где	Yn	и Zn — частные решения			уравнения			(7), удовлетворяю
щие начальным условиям
			Y0=l,		У , = 0 ,
			Z0	= 0,	Z, =	l ,
а а	и р — произвольные постоянные.
	Общее		решение неоднородного уравнения					(5)
			аи„_, + bun +		cun+l	=	fn
может		быть представлено		в виде
			=	+ aYn +		PZ„,

где и*п — какое-нибудь частное решение этого неоднородного уравнения.

Все результаты и рассуждения этого параграфа могли бы быть дословно повторены и для разностных уравнений с пере менными коэффициентами, но мы на этом не останавливаемся, чтобы не усложнять изложение несущественными подробно стями.

ЗАДАЧИ

1. Доказать, что общее решение разностного однородного уравнения

аФп

bnun+i

= О

переменными

коэффициентами

ап

Ф 0,

Ьп

можно

записать

в виде

ип

— ауп,

где

уп — произвольное частное

решение,

не при

всех п

обращаю

щееся в нуль, а а — произвольная

постоянная.

2. Доказать, что общее решение разностного однородного уравнения вто

рого порядка

о-Фп- \ + Ьпип

+ спип+] = 0

переменными

коэффициентами,

ап

0, спф

можно записать в

виде

ип

ауп

где уп и

zn—любые

два частных

решения

этого

уравнения, для

которых

не равен нулю

определитель

Уа

У\

ZQ Z\

		§ 2. РАЗНОСТНОЕ УРАВНЕНИЕ ПЕРВОГО						ПОРЯДКА	21
3.	Пусть у , и г , — два каких-нибудь				частных		решения разностного		урав
нения	второго порядка из задачи			2. Доказать,		что определитель
		Уп	Уп+i
либо	равен	нулю при каждом я, либо отличен				от нуля при всех п.
4.	Во скольких последовательных точках надо задать значения решения
разностного		уравнения
		аип +	Ьип+\	+ сип+г	+ dun+3		=	fn,

а ф 0, d Ф 0, чтобы существовало одно и только одно решение {ип}, прини мающее заданные значения в этих точках? Каким следует считать порядок рассматриваемого разностного уравнения?

§2. Разностное уравнение первого порядка

Вэтом параграфе будет получена формула, выражающая общее решение разностного уравнения первого порядка с по стоянными коэффициентами

aun + bun+l=fn

при довольно слабых ограничениях на fn.

Как показано в § 1, общее решение может быть представ лено в виде

ип = и*п + aYn = и*п + а ( — jj ,

где Ып — какое-нибудь частное решение, а а — произвольная постоянная.

Таким образом, задача об отыскании общего решения све лась к задаче об отыскании какого-либо одного частного реше

ния	и„-
1. Фундаментальное			решение.				Сначала	построим	решение
при	некоторой специальным				образом заданной правой				части
				[	0,		пФЪ,
			— \		1,	rt	= o.
Для	обозначения	такой	функции				обычно	применяется	символ
Кронекера
		в * =		\	1,	n = k.
Тогда fn — bo.
Решение уравнения
			аип	+	bun+i=6o
будем обозначать		через	Gn:
		aGn		+ bGn+l=6n0.					(1)

22	ГЛ. 1. РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1-ГО II 2-ГО ПОРЯДКА
Решение Gn называется фундаментальным			решением урав
нения	аип +	bun+l=fn,
	аип +	bun+l=fn,
потому	что, как мы увидим на	стр.23, через	него выражаются

частные решения этого уравнения при различных, довольно про

извольных,

правых

частях

fn.

решение

следующих

Итак,

мы

хотим

найти

какое-нибудь

трех

групп

уравнений:

I .

aG„-f bGn+l

= 0

при

n < — 1 .

П.

aG0 + bGi =

I I I .

aG„ + bGn+l

= 0

при

Пусть

— 0 при п ^

0. Тогда все уравнения группы I бу

дут

выполнены. Из

уравнения

I I найдем

Gi =

l/b.

Уравнения

группы

I I I можно

переписать

виде

рекуррентной

формулы

Gn+i

— r G / г ,

из которой последовательно

находим

G2:

а\ =

_ _1_ / _ _о_\2

Ь)

а[

Ь\

Ь)

а \

Ь) '

п =

При

Выпишем теперь сводку формул, выражающих Gn:

				0		при
		Gn=	\	1 /	а\а	при n ^ 1.			(2)
			'	а 1	1	при n ^ 1.			w
									w
Это — одно из		решений		уравнения		(1). Прибавляя к нему об
щее	решение А ( — у )			соответствующего			однородного		уравне
ния	аип + bun+i	=	0, получим		общее решение			уравнения	(1):
			л (	— -J)		при	я <	0,

Фундаментальное решение (2) получается из общей формулы

(3)при А = 0.

2.Условие ограниченности фундаментального решения. Если | a / 6 | = I , то при любом значении постоянной А получаем фун-

§ 2. РАЗНОСТНОЕ УРАВНЕНИЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

даментальное решение Gn, ограниченное по абсолютной вели чине как при п -* + со, так и при п —• —оо. Выделим из общей формулы (3) ограниченное фундаментальное решение Gn в слу чае \а/Ъ\Ф I . Если \a/b\<il, то |— а/Ь\п неограниченно возрастает при п—*—со. Поэтому ограниченное решение получается только при Л = 0 (рис. 2, а). Оно задается фор мулой (2).

•

а)

Рис. 2.

Если

\a/b\>

1, то ограниченное

решение получается

толь

ко при А = 1/а

(рис. 2,6):

{

О,

п > 1.

(4)

3. Частное решение. Частное решение

уравнения

аип

+ 6и„+, 5= /„

(5)

с произвольной

правой

частью можно записать

в виде

ряда

; 2

Gn-kfk,

(6)

ft=_oo

где Gn — какое-нибудь

фундаментальное

решение, если

только

этот ряд сходится.

Покажем это, воспользовавшись

равенством

aGn_k -\-bGn-k+l

=6o~f t ( = 6ft),

которое получается

из равенства

(1), если

в нем всюду

заме

нить п на п — k. Подставляя

сходящийся

ряд

(6) в

левую

часть уравнения

(5), получим

си,п + Ьип+Х

= а

Gn-kfk

+ b

Gn-k+ifk

••

k=—oo

{aGn_k

bGn_k+x)fk=

— — ^

R—— oo

24 ГЛ. 1. РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1-ГО И 2-ГО ПОРЯДКА

Ряд (6) может оказаться расходящимся, если не делать ни

каких предположений о поведении правой			части		fh	разностного
уравнения. В самом	деле, если положить		fh	—	(—a/b)k, то
I	A ( — у )	при		п <	k,
	( А ~ Ш - т )	п р и	n	> k	+	l

и ряд (6) при фиксированном п содержит бесконечное число одинаковых членов, отличных от нуля.

Т е о р е м а .		Пусть		\а\Ь\ф		\,	Gn — ограниченное		фундамен
тальное	решение	и	fk	ограничены			по	модулю, т. е.		[f^l^F.
Тогда ряд						оо
						оо
заведомо	сходится.				k=	— oo
заведомо	сходится.
Д о к а з а т е л ь с т в о .					Проведем			его только	для	случая
\alb\'>	1. Читатель		после		этого		без	труда рассмотрит		проти
воположный случай.
При наших предположениях каждый член ряда
		ОО				ОО		£
		fe—— оо				k =	n

может быть по абсолютной величине оценен сверху членом схо

дящейся	геометрической			прэгрессии
		1 i		а\п~к		1		р ' а-
							^	1 а\	~Ь
Отсюда	следует сходимость				ряда		(6), а также оценка
		\<rJLXе		оо		ьb_к~п		_	F
		\<rJLXе				ьb_к~п		_	F
		" я 1 ^	\a\	Ь	Va				I a I — I 6 f '	( i )
				k—n
которая	показывает,		что		решение			(6)	получилось	ограни
ченным.
Других		ограниченных		решений			уравнение
			аип		+ bun+1		=	fn
не имеет,		так как любое		решение			получается из (6)			прибавле-
нием некоторого решения ип=						/		а \ п
нием некоторого решения ип=						a I — Н			соответствующего од
нородного		уравнения. Решение				{«} должно быть ограниченным,

как разность двух ограниченных решений, что возможно лишь при a = 0.

§ 3. РАЗНОСТНОЕ УРАВНЕНИЕ

ВТОРОГО

ПОРЯДКА

ЗАДАЧИ

1. Найти общее решение уравнения

2н„ — и п

+ 1 =

5".

Р е ш е н и е .

Общее

решение

соответствующего

однородного уравнения

2й„ — й„-и =

имеет

вид

йп =&(11г)п.

Частное

решение ип

будем искать

форме

«„ =

С5" с

неопределенным

коэффициентом.

Подставляя

и* =

СБ"

уравнение, получим

( 2 - 5 п - 5 п + |

) с

5я ;

С =

— '/з-

Таким

образом,

(Заметим, что записать частное решение ип

виде

ряда

(6)

нельзя,

так

как

его общий

член не стремится к нулю, и ряд расходится.)

\у2. Подобрать

частное

решение и*

уравнения

2«„ — « „ +

= ^ y j .

У к а з а н и е .

Ищите

решение

виде

к* = СЦ- (I/2)r t .

3. Подобрать

частные

решения

и* уравнения

2«,j —

Un +! =

случае,

если

правая

часть

имеет

специальный

вид:

а) / д = 1 , б) /д = пЛ;в) f„ = n2 ,.r) / „ = 1 + 2 я - я 2 .

4. Подобрать частные решения ц* уравнения

"я — = fn,

если правая часть fn имеет слгдующий специальный вид:

• а) /я = 1,.б) /„ = я, в) fn = п2.

§ 3. Разностное уравнение второго порядка

В этом параграфе будет получена формула, выражающая общее решение неоднородного разностного уравнения с постоян ными коэффициентами

аип-х + Ъил + cun+l — fn.		(1)
В § 1 выяснено, что общее решение имеет вид
ип = ип + йп,		(2)
где tin — какое-нибудь частное	решение заданного	неоднород
ного уравнения, а
йп = a,Yn	+ p\Z„

26ГЛ. 1. РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1-ГО И 2-ГО ПОРЯДКА

—общее решение соответствующего однородного уравнения

аы„_, + Ь ы „ + с м „ + 1

= 0.

(3)

Сначала найдем формулу для общего решения

однородного

уравнения (3),

а потом

фундаментальное решение

и частное

ре

шение неоднородного

уравнения.

1. Общее

решение

однородного

уравнения.

Вспоминая,

что

в случае разностного уравнения первого порядка

существовало

частное решение

вида

ип = qn,

попробуем и

здесь

искать

ча

стное решение

виде

геометрической

прогрессии.

Подставим

выражение

ип

разностное

уравнение

убедимся,

что

оно действительно будет решением, если q

является корнем

квадратного

уравнения

a + bq +

cq2

(4)

называемого характеристическим уравнением. Корни этого уравнения могут быть различными или кратными. Рассмотрим последовательно оба случая. Если корни q{ и q2 этого характе ристического уравнения различны, то мы можем найти в виде геометрической прогрессии даже два независимых частных ре шения:

Линейная	комбинация
	«„ = a«<'> + K 2 ) =		a <7?+P ?2		(5)
этих двух решений с произвольными постоянными					коэффициен
тами а и р	тоже будет	решением	однородного	уравнения. По
кажем, что это — общее		решение.			йп однород
Действительно, произвольное частное решение					йп однород
ного уравнения, принимающее при			п = О и п =	1 любые напе

ред заданные значения «0 и ы1 ( может быть записано в таком

виде. Достаточно		определить		о	и р из равенств
			a +		р =	щ,
т. е.	положить	a?i	+	Р<72 = « 1 ,
т. е.	положить
		Яг — Я	г	'		Яг	— Я\
В	частности,	Уп и Z„, определенные					в § 1 как решения од
нородного уравнения, удовлетворяющие							условиям
		К 0 = 1 ,			к, =	о,
		Z0 =	0,		Z, =	l ,

§ 3. РАЗНОСТНОЕ

УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

имеют

вид

„

( 6 )

Z "

!7=q~i

" +

0 2 -

Чх

Из формул (6)

видно, что они непригодны в случае

кратного

корня

q\ =

<7гРассмотрим

теперь

этот случай.

При

qi — q2 одно

частное решение снова может быть

запи

сано

в виде

и =q".

Чтобы найти

второе, сделаем

в уравнении

(3)

подстановку

ип =

ynq",

после

чего

получим

для

уп

урав

нение

Как известно, а/с равно произведению,

b/с — сумме

обрат

ным

знаком

корней

характеристического

уравнения

(4). Так

как

оба

эти

корня

равны

то

7 =

<7?-

7 = - 2 - 7 , ,

вследствие чего разностное уравнение для уп может быть пере писано так:

cq\yn.,-^cq\yn + cq\yn+l=0,

или несколько проще:

*/„_, —2г/„ + уп+\ = 0.

Переписав еще раз это уравнение в виде

Уп-1 —	Уп — Уп Уп+1 >
мы видим, что разность уп-\	— Уп не меняется при изменении п.

Таким образом, решением является произвольная арифметиче ская прогрессия. Нам достаточно найти какое-нибудь одно ре

шение,	и мы	возьмем		арифметическую	про.грессию		уп	=	п.
Вспоминая, что мы искали и„ в виде un =					ynqf,	получаем,			что
среди	решений	уравнения au n - i + bun +			cun+i	= 0	есть		ре
шение				«(2) = nqnt
				«(2) = nqnt
Итак, в случае кратных корней qi=q%					в дополнение			к	ча
стному	решению		= qn	мы нашли еще	одно	независимое			ча
стное решение		u(ni) =	nqn.
Линейная комбинация

28	ГЛ. 1. РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1-ГО И 2-ГО ПОРЯДКА

с произвольными постоянными коэффициентами тоже будет ре шением однородного уравнения, причем произвольное частное решение можно получить из этой формулы, соответствующим образом подбирая числа а и р. В частности, решения Yn и Zn в случае кратных корней имеют вид

											(7)
				Я\
Интересно		отметить,		что	формулы		(7)	могут	быть получены
из формул	(б)	для	У„	и Zn	в	случае	некратных		корней		харак
теристического		уравнения. Тогда мы					имели для		Yn	и Zn	равен
ства
		Ъ	„„		<7l	_„	_ _	<?2	~	?1
			I			1	<7о — <7i
7	=		ап	_\|		0 « -	- .If	1L
С п		42 -	Чх Ц х	^	«72 -	<?, ^		Чг-Цх

Заставим корень q% приближаться к корню qi. При этом вы ражения

чГ1~чГ1	й-чЧ
42 —Ч\	42 —Ч\

стремятся к некоторым пределам, а именно соответственно к

(n—\)q1~2	и nq1~{. Таким образом, мы			видим,	что в случае
кратных	корней решения У„ и Zn	примут вид (7).
Итак,	мы построили решения	Yn	и Zn	во всех	случаях, кото
рые могут представиться при а		я с,	отличных от		нуля.

Тем самым мы показали, что всегда можно выписать в яв ном виде любое решение интересующего нас однородного раз ностного уравнения второго порядка.

Интересно остановиться подробнее на случае, когда при ве

щественных коэффициентах а, Ь, с			уравнение а + bq +		cq2 = О
имеет комплексно-сопряженные корни qt и				q2. Покажем, что в
этом случае общее решение однородного				разностного	уравне
ния (3) может быть записано в следующем				виде:
«n = Y i	( У ^ у ) c o s	П Ф +	Y 2 ( " j / 7	) sin « Ф ,	(8)
где ф определено	равенством
			Ь
	cos ф =	— 2 Уас

a "Vi и y2 ~~ произвольные постоянные.

§ 3. РАЗНОСТНОЕ УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Найдем явные выражения для qx и q2'

В нашем	случае	комплексных			корней	— > О,	< 1.
Поэтому мы можем			обозначить			с	2 к;ас
Поэтому мы можем			обозначить
						: ЭШф,
после чего	q{ и <72	запишутся так:
	'q x =		1 ^ 7 ( c o s ф		+ ' s i n ф ) '
		q2	=	(cos ф — i sin ф).
Подставим	эти значения			для qx и q2 в формулу (5).
При а = р = 1/2			получим частное решение
			"П) =	( У _£ ^ c o s m p i
а при а =	1/(2г). Р =		—1/(20 — частное			решение
			un)=={Vj)		s i n r t ( P -

Линейная комбинация этих частных решений с произволь ными постоянными коэффициентами yi и Y2 и дает общее ре шение (8), выписанное выше. (Возможность записать в таком виде частное решение (8), принимающее при п = 0 и п = 1 лю бые наперед заданные значения, читатель легко проверит са мостоятельно.)

2. Общее решение неоднородного уравнения. Фундаменталь ное решение. Теперь займемся неоднородным разностным урав нением

сшп- х+ЬипАг сип+, = fn, (9)

причем ограничимся важным для дальнейшего случаем, когда среди корней характеристического уравнения (4) нет равных единице по модулю: |,<j[i 1=5^1, l ^ l ^ l . Сначала будем искать.

<<< < Предыдущая 1 23 / 413 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ