книги из ГПНТБ / Годунов С.К. Разностные схемы. Введение в теорию учеб. пособие

10 ПРЕДИСЛОВИЕ

параметров, где этот эксперимент возможен, и с помощью дру­

не строгости, но все же улавливающих те или иные интересую­ щие нас черты исходной задачи, недоступной для строгого изучения либо ввиду сложности, либо ввиду недостатка времени.

Делая ударение на математически строгий разбор модель­ ных задач, мы старались в то же время донести до читателя правильное представление о соотношении теории и эксперимен­

Появлению этой книги способствовала предшествующая ра­ бота авторов над книгой [8], а также работа одного из них над лекционными курсами, которые он читал в течение ряда послед­ них лет в Московском физико-техническом институте. На ста­ новление этих курсов большое влияние оказали многочислен­ ные плодотворные дискуссии с О. М. Белоцерковским (по ини­ циативе которого эти курсы начали читаться), В. Ф. Дьяченко, О. В. Локуциевским, Р. П. Федоренко, Э. Э. Шнолем и Л. А. Чудовым.

Ряд полезных замечаний сделали Н. С. Бахвалов и

Б.Л. Рождественский, прочитавшие книгу в рукописи. Всем им мы сердечно благодарны.

Авторы

ВВЕДЕНИЕ

Многие прикладные и теоретические задачи современного естествознания приводят к дифференциальным уравнениям. Ис­ следование задачи может считаться законченным только после того, как эти уравнения решены.

В некоторых случаях удается указать формулу, выражаю­ щую решение через хорошо изученные элементарные функции. Однако, как правило, это принципиально невозможно. Поэтому получение явных формул не может считаться регулярным про­ цессом, ведущим к решению дифференциальных уравнений. Нельзя сказать, что этот аналитический подход полностью ут­ ратил свое значение. Он остается необходимым и очень мощным инструментом изучения упрощенных, так называемых модель­ ных задач. Изучение хорошо подобранной модельной задачи позволяет делать некоторые заключения о характере поведения решения неупрощенной, исходной задачи.

Но наряду с этим аналитическим подходом все шире ис­ пользуются различные методы численного решения дифферен­ циальных уравнений. Их широкое использование стало воз­ можно с появлением быстродействующих вычислительных ма­ шин, которые могут запоминать большие таблицы чисел и про­ изводить над ними арифметические действия по заданной программе. В соответствии с указанными возможностями ма­ шин любой численный метод состоит в переходе от искомого решения к некоторой искомой таблице чисел и к указанию по­ следовательности арифметических действий для их вычисления. Можно, например, искать несколько первых коэффициентов раз­

мого обычно сеткой. Для вычисления искомой таблицы исполь­ зуются алгебраические уравнения, приближенно заменяющие дифференциальное.

Поясним это на простейшем примере разностной схемы для приближенного вычисления решения уравнения

ее приближающим. Шаг h таблицы должен быть выбран доста­ точно малым. После такой замены вместо дифференциального уравнения мы получаем приближающее его разностное уравне­ ние

Выбрав h = l/N, получим

«(»-('-4Г

вместо точного решения

u(l)*=e-A.

Однако, как это хорошо известно из курса математического анализа, при достаточно малом h или, что то же самое, при достаточно большом N величина (\ — A/N)N мало отличается от е~л. Тем самым показано, что приближенное решение, полу­ ченное по этой разностной схеме и зависящее от шага h, при из­ мельчении шага сходится к точному решению дифференциаль­ ного уравнения.

что составление разностной схемы и решение по ней дифферен­ циального уравнения не представляет трудностей. Это впечат­ ление обманчиво.

Уже в самых простых случаях, даже при решении линей­ ных уравнений с постоянными коэффициентами, часто бывает,

нельзя вычислить искомую функцию со сколь угодно высокой точностью.

Далее, после того как сходящаяся разностная схема по­ строена, необходимо вычислить решение возникающей системы алгебраических уравнений относительно большого числа неизве­ стных значений функции в узлах сетки. Это во многих важных случаях непросто. Иногда можно обойти указанное препятствие,

Каждый, кто занимается численным решением дифферен­ циальных уравнений, должен знать трудности, связанные с построением и использованием разностных схем, и способы их преодоления.

Приведенные здесь примеры разностных уравнений, прибли­ жающих простейшие дифференциальные, принадлежат к од­ ному из следующих двух видов:

эти уравнения разностными схемами для каких-либо диффе­ ренциальных уравнений.

В уравнениях (4) и (5) неизвестные ип образуют последо­ вательность {ип}:

Мы будем часто сопоставлять эту последовательность с после­

вовсе не обязательно считать, что расстояние между двумя со­ седними точками равно h. Можно выбрать его произвольным, например равным единице, а в качестве х0 взять точку нуль.

18 ГЛ. I. РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1-ГО И 2-ГО ПОРЯДКА

2. Порядок разностного уравнения. Повторим еще раз полу­ ченный результат и сформулируем понятие порядка для раз­

достаточно задать значение и в одной точке. Такое уравнение

нужно задать значения решения в двух последовательных точ­

наложения каких-либо предварительных ограничений на после­

имеет первый порядок, а соответствующее ему разностное урав­ нение — второй.

3. Общее решение разностного уравнения. Опишем теперь структуру решений изучаемых разностных уравнений. Сначала рассмотрим однородное уравнение

Обозначим через У„ решение уравнения (6), удовлетворяющее начальному условию Ко = 1. Очевидно, что ы« = aYn также будет решением однородного уравнения при произвольном вы­ боре постоянной а. Нетрудно показать, что любое решение од­

при подходящем выборе постоянной а. Легко проверить, с дру­

Итак, мы показали, что общее решение однородного уравне­ ния (6)

айп + Ьй„+1 = 0

имеет вид

йп = aYn,

где Уп — частное решение этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию Yo = 1, а a — произвольная постоянная. Общее решение неоднородного уравнения (4)

можно доказать и для разностного уравнения второго порядка. Мы не будем эти рассуждения приводить (читатель их без тру­ да восстановит), а только сформулируем окончательный ре­ зультат.