Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Годунов С.К. Разностные схемы. Введение в теорию учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

14.18 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 4113 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

120	ГЛ. 5. СХОДИМОСТЬ,		АППРОКСИМАЦИЯ		И УСТОЙЧИВОСТЬ
Чтобы правильно		выявить		порядок	точности			разностной
схемы,	надо так выбрать		норму	\|\| • \\F ,	чтобы	порядок			аппрок
симации оказался как можно более высоким,						но	устойчивость
при этом еще не утерялась. Для такого					выбора		нормы		\|\| • \\р
нет общего правила*). Более того, не					всегда	можно			выбрать
норму так, чтобы имела			место и аппроксимация			и устойчивость,
иначе, вопреки примеру			из § 9,	всякая разностная схема была
бы сходящейся.
Приведем, однако, одно соображение общего характера, спо
собствующее правильному выбору нормы в линейном								простран
стве Fh.	При выборе	нормы \|\| • \\р надо учитывать						характер

непрерывной зависимости решения дифференциальной краевой

задачи

Lu = / , на

основе

которой

построена

разностная схема

LnuW —

от правой

части /.

Например, в случае

задачи

^ + Л ы =

ф(л;),

и(0) =

а,

0 < х < 1

при внесении

изменений бф(х)

и 6а

правые

части

уравнения

и граничного

условия

соответственно

решение

и(х)

изменяется

на величину 6и(х)

того же

порядка.

Рассмотрим теперь

разностную

схему

| и п + г - и п

м >

= 0 >

_ u

LHuM =

так что

u0 =

—, q,(xn),

n = 0,

I ,

...,

N — I ,

•

Норму

в U/i,

как обычно,

зададим

равенством

||ц(«|| = m a x | u W | .

п m

Устойчивости	можно	ожидать только в том случае,		если	норма
		Ф (хп) II
		a	\\Pfi
существенно	зависит	и от у(хп) и от а. Например,		она	может
иметь вид	\|\|P>\|\|F A = m a x [ \| a \| ,		т а х \| Ф о т \| ] .		(14)
	\|\|P>\|\|F A = m a x [ \| a \| ,		т а х \| Ф о т \| ] .		(14)

*) Мы имеем в виду и случай разностных схем для уравнений с част ными производными.

§ 13. О В Ы Б О Р Е	Н О Р М	121
Устойчивость в этой норме доказана	в § 12, где рассмотрена бо
лее общая нелинейная задача.
Нельзя ожидать устойчивости, если норма выбрана, скажем,
по формуле
II /<А) \\р == max [h\a\,	max	I q>m \| ],
"	m

куда а входит по мере уменьшения h со все более малым весом. Устойчивость в смысле этой нормы означала бы более сла бую зависимость решения uSh) от а, чем зависимость от а ре шения и дифференциального уравнения. Между тем, при ма лом h в силу сходимости (сходимость имела бы место в случае устойчивости, поскольку аппроксимация тоже есть) решение разностного уравнения мало отличается от решения дифферен циального уравнения и при изменении начального значения а

должно меняться примерно так, как меняется решение и(х). Более четко: при сделанном выборе нормы задача

	И/г-И		+ Аип	= ц>п, я = 0, 1, . . . , N — 1,
			+ Аип	= ц>п, я = 0, 1, . . . , N — 1,
			«п = 0
аппроксимирует			задачу
			^du + Аи = <((х),			и(0) =	а
на решении и(х)			при любом а. Значит, в				случае	устойчивости
функция м( Л ) ,		не	зависящая		от а,	должна	была	бы	сходиться
к решению и(х),			каково бы ни было заданное					а.	Но «W не
может сходиться одновременно к разным							функциям		и(х).
В	случае	разностной		схемы
	Un+i	— 2«г а + Un—]		+	А Un+l	— Un-l + Bun — ф„,
			h2	n=l,		2h
				n=l,	.,	N,			(15)
					.,	N,		• a,
							« 0 :
							« 0 :
для	задачи
				dx		• Ф (x),
					u(0)	• a,

	du (0)	•• b
	dx	•• b
	dx

122 гЛ. 5- СХОДИМОСТЬ, АППРОКСИМАЦИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ

из

тех

же

соображений

норма

ф ( * т )

II Р >

Ц :

должна

существенно

зависеть

от ф, а и Ь. Она может иметь вид

I / < w I U A

max[I

а |,

т а х | ф т | ] ,

(16)

но

нельзя

ожидать

устойчивости

при

выборе в качестве нормы

l l / ( /

l )

I I F a .

скажем,

величины

||/W||F

m a x [ | a | ,

h\b\,

т а х | Ф т | ] .

Преобразуем схему

(15) к

несколько

иному

виду:

(

ип+\

— 2ип

ип. •+А

+ Bun

ф (*„),

IAu<»

(17)

щ =

a +

bh,

так

что

N - l ,

ft) :

Норму

теперь

следует

ввести, определив ее для произ-

•Фт.

вольного

элемента

g( A )

а,

по формуле типа

||g<f t >lk =

max

| а | ,

| Р

а |

, т а х | ф т | ] ,

(18)

куда

|(5 — а |

входит

с возрастающим

при

ft-*0

весом

1//г. Дей

ствительно, изменение а или р на величину /г равносильно из менению «о или «1 на величину /г, но при этом 1 ~ ы ° 1 изменится

на величину порядка 1. Последнее, если схема устойчива, по влечет за собой изменение решения уравнения

§ 14. ДОСТАТОЧНЫЙ ПРИЗНАК УСТОЙЧИВОСТИ

123

на величину			порядка	1, так как изменение				h	на	вели
чину	0(1)		аналогично		изменению		правой	части		условия
du(0)	,	,	,
d	—в	дифференциальной задачи					на величину		порядка 1.
Нельзя		ожидать устойчивости				определив норму по формуле
			\|\|g< h ) lk =		m a x [ \| a \| ,	\| р	\| , т а х \| г р т \| ] ,
			"				т
т. е. так, как она была определена						выше, когда		мы пользовались
пространством Fh для				оснастки разностной схемы					(15). Поря

док аппроксимации, которым обладают схемы (15) и (17) при нормах (16) и (18) соответственно, для обеих схем одинаков — первый относительно h. Устойчивость схем (15) и (17) при нор мах (16) и (18) будет доказана в § 14.

§ 14. Достаточный признак устойчивости разностных схем решения задачи Кош и

В этом параграфе мы покажем, как провести исследование устойчивости разностных схем LhuW = р ) решения дифферен циальной задачи с начальными условиями (задачи Коши). Мы сделаем это с помощью рассмотрения характерных примеров разностных схем, приближающих задачи

	J	-57 +	Ли =	ф(*),		0 < х <	1,	(1)
	Lu = {	и (0) =		а,				(1)
		и (0) =		а,
		dv	Av + Bw = p (x),				0 < * < 1,
		dx +	Av + Bw = p (x),				0 < * < 1,
L « s	L	I *°. +	Cv + Dw =			q(x),	0 < * < I ,	(2^
L « s	L	I *°. +	Cv + Dw =			q(x),		(2^
				o(0) = •a,
				w(0)-		-b,
	dx2
Lu	=		U(0) • a,					(3)
			du (0)		•b.
			dx		•b.

Чтобы понятие устойчивости разностной схемы Lhu^ = fe» имело смысл, должны быть определены линейные нормирован ные пространства Uh и Fh. Этим пространствам принадлежат со ответственно подлежащая приближенному вычислению таблица

124	ГЛ. 5. СХОДИМОСТЬ, АППРОКСИМАЦИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ
[u]h	искомого решения	и	дифференциальной		задачи,		[и]п е	Uh,
и правая часть P ' e F h		разностной схемы.
	Напомним, что разностная схема Ьп1№				= f(h)	с	линейным
оператором L h называется			устойчивой,	если	задача		Lnu^=f^
имеет единственное решение И И Е ( / / \|				при любом		fW^Fh,		при

чем выполнено условие

I I « № ) hn < С | | р ||.

При решении задачи Коши сеточную функцию «W обычно вычисляют последовательно, переходя от одной точки разност ной сетки к другой, с нею соседней. Если при каждом таком переходе, или, как принято говорить, шаге вычислительного

процесса,

получать

оценку

роста

решения uih)

{н« *},

то

по

лучим один из наиболее употребительных

способов исследова

ния устойчивости. Этот способ мы

здесь

изложим.

1. Вводный пример. Начнем с хорошо известной нам про

стейшей

разностной

схемы

п +

\ ~ и

+Аип

= <?п,

(4)

О,

1. .

N - l ,

(Л =

1/Л0,

ип = а

для решения

задачи

(1). Эта

схема

может

быть записана

ре

куррентной

форме:

и я + |

(1 — Ah)un

+ h<pn,

. . . ,

N — 1, \

(о)

щ =

а.

Отсюда

следует

щ = ( 1 —

Ah) ы0

Лф0,

Ah)

ф0 +

Ф1],

щ = (1 -

Ah)2u0

h[(l

Л/г)2 Ф0 +

(1 — Л/г)ф, +

ф2

и3 = (1 -

Ah)su0 + h[(l

}

(6)

un = ( l -

Ah)nu0

Л[(1 - Л Л ) " - ' ф о + ( 1

Л/г)"

2 ф , +

. . .

<р„_,].

Определим

нормы

пространствах

£Л, и F h соответственно

ра

венствами

||и<*1к =

max

|в<»|,

(7)

Ф т I

II Р

' к

I L

max

[ | а |,

max

| Ф т

| ].

(8)

m <N

§ 14. ДОСТАТОЧНЫЙ ПРИЗНАК УСТОЙЧИВОСТИ

[25

Воспользуемся

теперь

тем, что

выражение

( 1 — Ап)п

огра

ничено для п ^

N — \/п,

1 ( 1 - Ah)n\<Cu

(9)

С помощью неравенства

(9)

из

формулы

(6)

для

и„

заклю

чаем:

| ип

Сх | «о I + hNCx

max | <pm |

С, | а | +

С, max | Ф т

| <

2С, || /<">\\Р..

(10)

Ввиду произвольности /г =

отсюда

следует

иустойчивость доказана.

2.Каноническая запись разностной схемы. Введем новые обозначения, положив

"я = Уп,	Rn ~	(1 — Л/г),	р„ = фЛ .	(12)
Тогда равенства (5) запишутся в виде
Уп+1 =		ЯпУп + hpn,	\|
у 0	задано.		J

Пользуясь обозначениями (12), повторим все проделанные выше выкладки. Равенства (6) примут вид

У\ = ЯпУо + Лро,
#2 = ^		o + MflnPo +		Pi]>
Уз = # 3		^ о + h № о	+ /?„Р, + Р 2 ] .		}	(60
yn	= ^	+ h \ R T \ + K ~ \ + > • • + Р п - . ] -
Отсюда
	т а х \| г / п \| < т а х \| ^ \|			- [ \| у 0 \| +	АЛГmaxjpj].
	п	п			п
Нормы	\|\| • \\uh и \|\| • \\Ffi		теперь запишутся равенствами
		\| \| Ы ( « \| ^ =	т а х \| { / „ \| ,			(70
		\\fw\lP.=imx[\y0l,		т а х \| р я \| ] .		(8')

126	ГЛ. 5. СХОДИМОСТЬ, АППРОКСИМАЦИЯ и у с т о й ч и в о с т ь

Тогда, учитывая Nh = \, можно написать

| | « - 1 У й < т а х | / ? л | - 2 1 Г 1 , й .

Доказательство устойчивости будет завершено, если будет установлена равномерная относительно h ограниченность сово купности чисел | Rl |, т. е. оценка

\|/?J\|<C ,	п=1,	2,	N.			(90
Но				с,
/?2\|<(1 - Л Л ) Я < ( 1		-	АН)м^еЫ'	с,
что завершает доказательство.
Запись разностной схемы в форме			(13) позволила		свести	до
казательство устойчивости	к получению оценки			для	\ Rh\ •	Это

удобно. Мы и все другие разностные схемы решения задач с на

чальными условиями будем приводить к каноническому											виду
(13), понимая под уп,			р„ и Rh различные					выражения,		в каждом
примере свои.
Запишем,	например,			в	форме		(13)	разностную		схему
v n + 1 - v n		+	A v n +	B	w n =	p n >	п = = 0 >	j	— 1,
W n +	\ - W n	+	Cvn	+	Dwn	=	qn, л =	0,	1	N - l ,	(14)
					v0	=	a,
					w0	=	b,

приближающую задачу Коши (2) для системыдифференциаль ных уравнений. Здесь

		р„,	п =	0,	1,	. . ., N — 1,
fih)		qn,	п =	0,	I,	...,	N —	I ,
fih)	=	а,
		а,
		Ь.
Запишем разностную			схему	(14)		в	форме
-	М			Ч » 1			'Pn .
	[wn\		D)	Ч » 1			'Pn .	n = 0, 1	N-l,
			D)

a' b

	§ 14. ДОСТАТОЧНЫЙ ПРИЗНАК УСТОЙЧИВОСТИ	127
(А	В
где ( £	^ j —матрица второго порядка. Придадим этому	век

торному разностному уравнению вид рекуррентного соотношения:

	Jn+i	1 Ah	-ВН.		Pn
	п+\.	Ch	l—Dh
	п+\.
	'	a'
		Ь _
Если	положить
Уп =	V		1 - Ah	-Bh	P.
Уп =	Чп = '		— Ch	-Dh	Pn =
			— Ch	-Dh
то последняя запись приобретет требуемый вид					(13).
3. Устойчивость		как ограниченность норм			степеней опера

тора перехода. Сделаем замечание, которое одинаково приме

нимо к	уравнениям вида (13) независимо от размерности ли
нейного	пространства Y, которому принадлежат векторы уп					и
р и , и от	вида линейного оператора Rn:		из записи (13)		следует
запись	(6').	Y, которому				уп,
Если	в пространстве	Y, которому	принадлежат	р п	и	уп,
введена	какая-либо норма	\|\|-\|1У, Т О	И З равенств	(6')	вытекает
оценка

\Уп\	К	у	Уо + ЧИГ'1Н\|РО!К+				•••		+ K - . U -		0 5 )
Напомним,		что	нормой \\Т\\			линейного оператора			Т,	отображающего ка
кое-либо	линейное нормированное пространство У в							себя,		называется число
	I Т \|\| =			sup	Тх\	Т II =	sup			\|\| Тх \|
	I Т \|\| =			sup		Т II =	sup			\|\| Тх \|
			..	-Y	\\'х\\	л: 11=1,		xe=Y
Отсюда	и из свойств нормы векторов следует:
		II Тх		II <	II П - I I *	II,
		\|\| XT \|\| =			\| Я \| • \|\| Т \|\|, где X — любое			число,
		II Тт		\|\| <	\|\| Т И™.

Первые два из этих свойств использованы для получения оценки (15).

Из (15), очевидно, вытекает

max	\\ynh<	max \Rnh\y{\\yQ\\y	+Nh	max \|\|р„\|\|к ]. (16)
0 <га<	ЛГ	0 < гс < .V	0 <га<	N

Пусть разностная	схема	Lnu^	= /<л> приведена	к канониче
скому виду (13), и	пусть	нормы,	введенные в	пространствах


128	ГЛ. 5. СХОДИМОСТЬ,				АППРОКСИМАЦИЯ И		УСТОЙЧИВОСТЬ
Uh, Fh	и	У,	подобраны	так, что выполнены			неравенства
			l l " w l k < C 2			max \\yn\\Y,	)
			\\yol\y<C2\\f^\\Fh,					(17)
			\\Pn\\r<C2\\fW\ya.
Тогда	для	устойчивости
			.	Н и ( « 1 Ь й < С \| \| / < « \| \| ^				(18)
достаточно,			чтобы нормы		JRhly степеней		операторов Rh	были
равномерно			по h ограничены,			т. е. чтобы выполнялось		условие
			\| \| ^ \| К < С 3 )			л = 1 , 2, . . . .	N.

При этом в качестве числа С, входящего в определение устой чивости (18), можно взять число

С = 2С22С3.

Доказательство этого утверждения содержится в следующей цепочке очевидных неравенств, написанных с учетом Nh = 1, условий (17) и (18):

II «<ft) hn	< С2	max	\|\| уп \\у < С2	max \|\| Rnh \|\| [С2 + С2 ] \|\| fh) \ P h <
или				< C 2 C 3 [ C 2 + C 2 ] \| \| P \| \| V
или			\Wh)hh<C\\fM\\Ph.
			\Wh)hh<C\\fM\\Ph.
4.	Примеры исследования устойчивости.
П р и м е р		1.	Займемся	теперь анализом устойчивости раз

ностной схемы (14) для системы дифференциальных уравнений.

Нормы в Uh и Fh введем				равенствами
ll"w lb„	=		=	max [max \vn\,	max \| wn \| ] ,
		™п) \\UH
		Рп
Н Р М 1 ^	=	Qn	— m a x [ \| a \| , \ b\,		m a x \| p „ \| ,	т а х \| < ? „ \| ] .
Н Р М 1 ^	=	а	— m a x [ \| a \| , \ b\,		m a x \| p „ \| ,	т а х \| < ? „ \| ] .
		а
		Ъ )
Как мы видели, после введения обозначений
Г о Л			(l-Ah	-Bh\	\РЛ	Г а !

§ 14. ДОСТАТОЧНЫЙ ПРИЗНАК. УСТОЙЧИВОСТИ

129

рассматриваемая, система разностных уравнений принимает ка

нонический	вид (13).
Введем норму в двумерном пространстве Y, которому при
надлежат уп	и р п , положив
	У{1)	=тах [ К ' >
	у(2)	=тах [ К ' >	У{2)
	J п		У п

Нормы в Uh, Fh и У оказываются удовлетворяющими усло виям (17). Поэтому для проверки устойчивости достаточно по казать, что

	\\Rh\\y<M,			n=l,2,...,N,				М = const.
Заметим, что при выбранной нами в У норме векторов										норма
любого линейного			оператора
				Т =		^11	^12
					.^21		^22/
задается	формулой
	\|\| Л1 = max [\| tn \| +					\| f I	2 \| , \t2l	1 + 1/221],		(19)
поскольку	max \|\| Tx\\Y =			\\ T\\Y	достигается хотя бы при					одном
	и * ll=i			1
из двух векторов				1		х ~
из двух векторов			• * : = = ^ i j и л		и	х ~
В силу формулы (19) для \\Т\\,							получим
II/ I — ЛА			-	Bh\
« * ' H l -Ch			l - D h ) y <
	< m a x [ \|		1 — Л/г I + 1 б/г I , I 1 -					Dh \| + \| Ch \|] =	1 + Ch.
Следовательно,
\Rh\\Y<\\Rh\$y<{\+C'h)N^ec'=							M,	п = 1 , 2,	N,
и устойчивость		доказана.
П р и м е р 2.		Рассмотрим схему
U n + l ~ " n - >			+ Аип = срп, л = 1 , 2, . . . . N - l , }
				и0 — а,						(20)
				Щ — р,
которая при а =		а, Р =		(1 — Л/г) а + / г ф 0				аппроксимирует		со вто
рым порядком относительно /г задачу Коши (1).

5 С. К. Годунов, В. С. Рябенький

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 4113 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ