книги из ГПНТБ / Годунов С.К. Разностные схемы. Введение в теорию учеб. пособие
.pdf110 ГЛ. 5. СХОДИМОСТЬ, АППРОКСИМАЦИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ
в подробной записи имеет вид
*n+ i - * n _ G { X n i Z n ) = ( i ) { X n ) |
+ e n t |
я = 0, 1, . . . , Л/ — 1, I |
z0 = гр + |
е, |
j |
где |
п = 0, |
|
е„, |
1, .. ., iV— 1, |
Вычтем из уравнений (11) соответствующие уравнения (8) по членно. Обозначим
Zn — « л = |
Wn |
и. учтем, что |
|
G (хп, гл) - G (*„, и„) = |
ш д - Л Л „ , |
где | п — некоторое число, заключенное между числами гп и «„. Получим следующую систему уравнений для определения
Ш<л> = |
(ВУ0 , вг»!, |
. . . , ш„, . . . , |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
" " + ' ~ ^ - ^ W ^ 8 „ , |
я |
= 0, 1, |
N - \ , I |
|||||||
|
|
|
|
|
ш0 = |
е. |
|
|
|
|
J |
|
|
Учитывая, что Л4^>^М |
в силу (10) и что nh^Nh |
= |
1, получим |
||||||||
I |
, | = |
| (1 + |
/гЛОо)„ + |
Аея | < ( 1 + МА) |ш я | + |
|
А| е„ | < |
||||||
|
|
< |
(1 + |
Mhf\ |
а»я_! | + |
А (1 + |
МА)| 8„_, | + |
|
А | е„ |
К |
||
|
|
< |
(1 + |
МА)2 | |
|
| + |
2Л (1 + |
Л*А) || е" || |
< |
|
||
|
|
^ |
(1 + |
МА)3 | да„_21 + |
ЗА (1 + |
Л*А)2 || e<ft> ||^ |
< |
|
||||
|
|
< ( 1 + |
Mh)n+[ |
| o»ol+ ( я + |
1) A ( l + MA)n||e<A>|L |
< |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л |
|
|
< |
(1 + |
Mh)n+l |
|| е<« |
+ (1 + |
Mhf || e<ft> ||^ |
|
< |
|
||
|
|
< 2 ( 1 |
+ MA)w ||e<»|L |
<2e M || s (Л)! |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
'' h |
|
• n |
|
|
|
|
|
Из |
доказанного неравенства |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
| д а я + , | < 2 е л | | е < » | | , |
|
|
|
||||
|
следует оценка вида |
(6): |
|
|
h |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||ш<А» \\и^2ем\\ |
|
e ( « | | v |
|
|
|
||
§ 12. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ Ш
означающая устойчивость с константой С = 2ем. В силу тео ремы разностная схема (8) является сходящейся с первым относительно h порядком.
Исследуем теперь сходимость разностной схемы (7) § 10
Un+i — 2ип + ип-\ |
|
|
п=\, |
2, |
N-1, |
(13)
"о = 2, uN — 1
для дифференциальной краевой задачи (4) § 10. Аппроксима ция со вторым относительно h порядком задачи (4) § 10 зада чей (13) благодаря формуле
U(x + h)-2u{x) |
+ u{x-h) |
= и „ { х ) + h?_и ( 4 ) { 1 ) |
здесь очевидна*). Займемся проверкой устойчивости. Рассмат риваемая задача линейна. Поэтому проверка устойчивости со стоит в том, чтобы установить существование единственного решения задачи
un+1-2u„ + un-i _ ( 1 + 4 K = g ^ п = 1 , 2, . . . . '
|
« 0 = |
а, |
|
|
|
(14) |
|
|
|
|
|
|
|||
|
uN |
= Р |
|
|
|
|
|
при любых |
{gn}, а и р, и в том, чтобы |
получить оценку |
|
||||
|
r n a x | « J < C ( m a x | £ j , |
| а |, |
| р | ) . |
(15) |
|||
|
п |
п |
|
|
|
|
|
Задачу вида (14) мы рассматривали в |
§ 4 (см. стр. 40). Там |
||||||
для задачи |
вида |
|
|
|
|
|
|
|
anun-i + Ьпип |
+ cnun+l |
= |
gn, |
|
||
|
|
|
«о = а, |
|
|||
в предположении |
|
uN |
— р |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
|
\Ьп\>\ап\ |
+ \сп\ + Ь, |
б > 0 |
|
|||
*) Заметим, что если бы речь шла о решении |
уравнения |
|
|||||
|
u"-(l |
+x2)u = fx, |
|
|
|
||
только незначительно отличающегося от изучаемого |
здесь, то мы не могли бы |
||||||
сделать вывода об аппроксимации, так как |
|
был бы в данном |
случае |
||||
неограничен |
(докажите аккуратно |
неограниченность |
и"'(х)). |
|
|||
ГЛ. 5. СХОДИМОСТЬ, АППРОКСИМАЦИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ
была доказана ее однозначная разрешимость и оценка
|
ип |
| < |
max a I, I Р I, -j-maxl |
gm |
|
(16) |
В случае задачи |
(14) |
|
|
|
|
|
ап=-У, |
с„ = -р-, \Ьп\=~+\+х2п>\ап\ |
|
+ |
\сп\+\. |
||
Поэтому |
оценка |
(16) |
влечет за собой оценку (15) |
с |
постоянной |
|
С = 1. Устойчивость |
доказана. |
|
|
|
||
Отметим одно |
обстоятельство, которое |
может |
оказаться по |
|||
лезным при доказательстве сходимости путем проверки аппрок симации и устойчивости.
Пусть разностная схема (2) разбита на две подсистемы |
|
/<><«==/<» |
(17) |
= |
(170 |
так, что
£ * " ( Л ) — I «!)„(„(1)
л
Пусть, далее, |
разностная схема |
(2) аппроксимирует задачу |
||||
(1) с |
порядком |
hh, т. е. выполнено |
условие (3). Пусть, сверх |
|||
того, |
подсистема |
(170 |
соответствует |
задаче |
(1) на решении и |
|
точно, т. е. 6ДА ) = |
0 е |
f |
6f(h> |
|
||
|
|
|
|
|||
|
|
|
6/<"> = { |
О0 |
' |
(18) |
В таком случае для сходимости решения uf-V задачи (2) к искомой сеточной функции [и]и, т. е. для справедливости оценки (7), достаточно, чтобы оценка (5) выполнялась не при произ вольных е( Л ) е Fn, но лишь для всех e<ft) вида
|
|
|
„(Л) |
|
|
|
e(W |
ь о > |
(19) |
|
|
= i 0 " |
||
где |
0 e f |h4 |
|
|
|
|
Доказательство дословно совпадает с проведенным выше до |
|||
казательством |
теоремы о сходимости. |
|
||
Lh |
Читатель легко проверит, что в случае линейного |
оператора |
||
требование, |
чтобы оценка |
(5) имела место лишь |
для всех |
|
§ 12. ОПРЕДЕЛЕНИЕ |
УСТОЙЧИВОСТИ |
РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ |
И З |
|||
е<л> вида |
(19), выполнено одновременно с требованием, |
чтобы |
||||
оценка |
(6) выполнялась |
для всех /<л> того же |
специального |
вида |
||
|
|
№ = ( |
f(°h)' |
|
|
|
где 0 е |
fJ?. |
I |
О, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Например, при доказательстве сходимости разностной схемы |
||||||
(13) можно было воспользоваться тем, что оба граничных |
усло |
|||||
вия |
|
f «„ |
= 2 . |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
при подстановке в них таблицы решения [u]h |
задачи (4) из § 10 |
|||||
выполняются точно: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и ( 0 ) = 2 , |
|
|
|
|
|
|
|
1. |
|
|
Поэтому проверку неравенства (15), означающего устойчи вость разностной схемы (13), можно было провести не для про извольной правой части
ёп, п=1, |
2 |
N-1, |
/<« = |
а, |
Р.
а только для правых частей вида
gn, я = 1, 2, . . . , N — 1,
/ < « = • 0, I о,
когда а = 0 и р = 0.
Взадаче (13) мы справились с проверкой неравенства, оз начающего устойчивость, и без учета этого упрощающего об стоятельства. В более сложных задачах (для уравнений с ча стными производными) указанное соображение будет иногда полезно.
Взаключение параграфа подчеркнем, что схема доказатель
ства сходимости решения задачи Ьпи^ |
= /С1' к решению задачи |
Lu = f путем проверки аппроксимации |
и устойчивости носит |
общий характер. Под Lu — f можно понимать любое функцио нальное уравнение, а не только краевую задачу для обыкновен ного дифференциального уравнения. Само по себе неважно, ре шением какой задачи является функция и. Уравнение Lu = f используется только для конструирования разностного уравне ния LhuW = /<Ч Поясним эту мысль в п. 3,
114ГЛ. 5. СХОДИМОСТЬ, АППРОКСИМАЦИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ
3.Сходящаяся разностная схема для интегрального уравнения. По строим и исследуем разностную схему для вычисления решения интегрального уравнения
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Lu = и (х) — | |
К {х, у) и (у) dy = / (х). |
|
|
|||||
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
Будем предполагать, что | К(х, у) | < р < |
1. |
|
|
|
|
|||||
Зададим |
N, положим |
h = l/N |
и будем искать таблицу [u]h значений ре |
|||||||
шения на сетке х„ = nh, п — 0, 1, . . . , N. Для получения |
разностной схемы |
|||||||||
мы в равенстве |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и (хп) - J К(хп, y)u(y)dy |
= |
f(xn), |
я = 0, 1, |
N, |
|
||||
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
приближенно заменим интеграл суммой, пользуясь квадратурной |
формулой |
|||||||||
трапеций. Напомним эту формулу: для произвольной дважды |
дифференци |
|||||||||
руемой |
на отрезке 0 ^ у s^; 1 функции |
<р(у) справедливо |
приближенное ра |
|||||||
венство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
ф |
|
|
|
|
ф д. \ |
1 |
|
|
Ц> (у) dy ~ h [ |
+ Ф, + ф2 + |
••• + Фдг-1 "I—2 У' |
A = = ~ F ' |
|||||||
причем |
погрешность есть |
величина |
О (ft2). После |
указанной замены |
интеграла |
|||||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
••• +K(xn,yN_l)u^_l+ |
К ( Х £ ' 1 ) |
u™)=f(xn), |
n = 0, |
1,..., |
N. |
(20) |
||||
Выписанная система равенств записывается в форме L^«( h ) = |
/(Л>, если по |
|||||||||
ложить |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f го, |
|
( fro), |
|
|
|
||
|
|
LA«<A> = | ^ . |
|
? м = \ |
[ W \ |
|
|
|
||
где |
|
|
1 BN\ |
' |
|
\ /V) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
/ЛЛ „(W J . |
|
|
|
|
||
|
|
К { Х п ' 0 ) |
„№) -4- *Wv |
J - * ( |
* " ' 0 |
„ ( « |
|
|||
|
|
|
"О. + К |
|
) "Г + |
• • • + |
|
|
|
|
|
|
|
ге = 0, 1, . . . . JV. |
|
|
|
|
|||
Построенная |
разностная |
схема LhU^ = |
/<Л> аппроксимирует задачу Lu = f |
|||||||
на решении |
и со вторым |
порядком |
относительно |
шага h, |
поскольку |
квадра |
||||
турная формула трапеций имеет второй порядок точности. Проверим устой чивость. Пусть ц<Л> = (и0 , « 1 , .. . ,и№ ) — какое-нибудь решение системы (20),
и пусть us — одна из тех компонент решения, которые по модулю не меньше всех остальных:
\us \ = m a x | « m | .
т
§ |
13. О ВЫБОРЕ |
НОРМ |
115 |
Из уравнения с номером п = |
s системы (20) |
следует |
|
> | < N - A ( | + P + . . - + P + 2| ) | « i f c N - ( ' - ^ M | « i * ' | - ( l - p ) K W | .
Поэтому
II «№ Ml^f t — m - * | «**> | — | |
| < |
|
|
|
||
< T ^ r | |
/ ( * i ) |
l < |
T J i r l |
l / ( W |
| | i ' - |
( 2 1 ) |
В частности, при f(*n) = 0 |
отсюда |
следует, |
что |
система (20) |
не имеет |
|
нетривиальных решений, а следовательно, однозначно разрешима при любой
правой |
части |
/(,1>. Неравенство |
(21) означает |
устойчивость |
(6) с |
постоянной |
|||
С = 1/(1—р). |
Решение и<Л> задачи |
LhuW = |
/С>) в |
силу |
теоремы |
о сходи |
|||
мости |
удовлетворяет |
неравенству |
|
|
|
|
|
||
|
|
I [и\л |
- u w | |
= max |
I и (nth) - |
и%> | < |
Ah\ |
|
|
где Л — некоторая постоянная.
§ 13. О выборе норм Понятия сходимости, аппроксимации и устойчивости, введен
ные в §§ 10—12, имеют смысл, если тем или иным способом |
вве |
||||
дены нормы |
в пространствах Un и Fn, которым принадлежат |
со |
|||
ответственно |
решение |
и правая |
часть |
разностной схемы |
|
|
|
Lft«№> = |
fw |
|
|
для приближенного вычисления решения и дифференциальной краевой задачи Lu = f.
Обсудим вопрос о степени произвола, с какой можно выби рать нормы в пространствах Uh и Fh- Начнем с нормы || • \\ц ,
по величине которой оценивается уклонение приближенного ре шения и<Л) от сеточной функции [u]h, т. е. от таблицы значений решения и. Во всех рассмотренных примерах мы пользовались нормой, определенной равенством
||z<A % |
= . ma x|2 j« | . |
(1) |
u h |
ft 1 1 |
|
Максимум берется по всем точкам сетки Dh, на которой опре делена сеточная функция г№ <= Uh- Можно было бы, конечно, положить
||2<А)|| |
= Л т а х [ 4 * ' | , |
(2) |
h |
k |
|
или |
|
|
||г<«|| |
= | т а х | 2 № ) | , |
(3) |
116 |
гл. а С Х О Д И М О С Т Ь , А П П Р О К С И М А Ц И Я И У С Т О Й Ч И В О С Т Ь |
или даже
Последняя норма можег показаться удобной, так как в ней оказывается сходящейся разностная схема
4 |
и п + 1 - и п - х _ 3 |
и п + 1 - и я + |
A t i n = = 0 > ' |
||
|
п = |
0, |
1 |
N-1, |
|
|
|
и0 |
= |
а, |
|
|
|
«, = |
ае~Ак |
|
|
для решения |
задачи |
|
|
|
|
|
и'+Аи |
= |
0, |
0 < J C < |
1, |
|
«(0) == а, |
|
|
||
построенная в § 9 как пример непригодной схемы. Действи
тельно, |
в силу равенства |
|
|
|
|
|
|||
и (яА) - |
и„ = |
ае~Ах" |
- |
и„ = |
- |
[-| Л 2 а / Ж " + О (Л)] / г У " / Л + О (А), |
|||
вытекающего |
из соотношения |
(7) |
§ 9, |
величина |
|
||||
|
|
II [и]п - |
uw |
L |
= |
2"1 / Л |
max |
| u (тА) - |
| |
лm
стремится к нулю при измельчении сетки. Но ясно, что стрем ление этой величины к нулю ни в каком разумном смысле не
означает стремления к нулю погрешности |
2<ft) = |
[u]h — |
по |
скольку при этом разности u(nh)—ип |
могут |
стремительно |
|
(почти как 2ilh) возрастать, что и имеет место в рассматривае
мом |
примере. |
|
Нормы (2) и |
(3) также не стоит рекомендовать, так как |
|
они |
недостаточно |
характеризуют погрешности [u]h — и ( Ч |
Обычно принято выбирать норму в пространстве Uh так, чтобы при стремлении шага h к нулю она переходила в ту или иную норму функций, заданных на всем отрезке, т. е. чтобы
выполнялось |
равенство |
|
|
|
|
Нш||[и]д ||„ |
= | | и Ну, |
(4) |
|
где ||-\\и — норма в пространстве |
функций на отрезке, |
которому |
||
принадлежит |
решение и(х). |
Норма |
|
|
|
il 2<*>L |
= m a x | 2 < « | |
|
|
§ 13. О ВЫБОРЕ НОРМ |
117 |
этому условию удовлетворяет, если в качестве U рассматривать пространство непрерывных функций, в котором
|| и \\и = max |
| и (х) |, |
|
|
|
0 < х < |
I |
|
а сеточную функцию [и]п |
определять как совпадующую |
с и(х) |
|
в точках сетки. |
|
|
|
Норма |
|
|
|
|| zW|| |
= i / A S | 2 < « | » |
(5) |
|
«t m
также является разумной. Она удовлетворяет условию (4), если за U принять пространство непрерывных функций с нормой
l " l l t / = | / ju2(x)dx,
а сеточную функцию [и]п по-прежнему определить как совпа
дающую с и{х) |
в точках сетки. |
|
и(х), |
|
|
||||
В |
случае |
разрывного |
решения |
обладающего, однако, |
|||||
интегрируемым |
квадратом, за |
U можно |
принять |
пространство |
|||||
функций с интегрируемым |
квадратом |
и с нормой |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
(х) |
dx, |
|
|
но значение ип |
сеточной функции [и]/, определять |
не по формуле |
|||||||
ип = |
u(nh), |
которая может не иметь |
смысла, а |
по формуле |
|||||
|
|
|
= |
т |
\ |
" ^ |
d x - |
|
|
|
|
|
|
*n-hl2 |
|
|
|
|
|
Тогда |
и для |
|
разрывной |
функции и(х) |
будет |
|
|||
|
|
|
lim ||[u]A |L |
= |
1 / |
Г |
u2dx. |
|
|
Ясно, |
что сходимость |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
lim II |
|
|
II |
= 0 |
|
|
в смысле нормы (1), т. е. равномерная сходимость, влечет за собою сходимость в смысле нормы (5), т. е. сходимость в сред нем, но из сходимости в среднем не следует равномерная сходимость. Поэтому из числа разумных норм, удовлетворяю щих условию (4), выбирают ту, в которой удается доказать
118 ГЛ. 5. СХОДИМОСТЬ, АППРОКСИМАЦИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ
сходимость изучаемой конкретной разностной схемы. Для этого выбора нет общего рецепта.
В случае обыкновенных дифференциальных и соответствую щих разностных уравнений, которыми мы занимаемся в этой
главе, обычно |
достаточно удобны |
нормы |
(1), |
(5) или |
норма |
||
типа |
|
|
|
2 (Л) |
_ |
г (л) |
|
|
|
|
|
|
|||
||2<«|| |
|
= m a x maxIzWI, |
max |
т + |
\ |
т |
(6) |
|
h |
L т |
т |
|
|
|
|
в которой учтена скорость изменения сеточной функции при переходе от точки к точке. Равенство (4) при этой норме вы
полняется, если |
за U принять пространство непрерывно диф |
|
ференцируемых |
функций с нормой |
|
|
max Г max \и(х)\, |
max |и'(л:)|1. |
В случае уравнений с частными |
производными и соответ |
|
ствующих разностных схем иногда удобно пользоваться до вольно замысловатыми нормами, приспособленными для кон
кретных |
задач. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Перейдем к вопросу о выборе нормы в пространстве Fh, |
ко |
||||||||||||
торому |
принадлежит правая часть разностной схемы Lhi№ |
= |
|||||||||||
= / ( |
Ч |
Подчеркнем, |
что |
сходимость |
разностной |
схемы |
|||||||
|| \и\п |
— |
и(Н) |
\\и^ —> 0 |
при |
избранной |
норме |
|| • |
не |
зависит |
от |
|||
того, |
как |
выбрана |
норма |
|| • || |
и |
выбрана ли |
эта |
норма |
во- |
||||
обще. Считать Fh линейным нормированным пространством нам приходится только для того, чтобы разбить доказательство схо димости и проверку порядка точности разностной схемы на проверку аппроксимации с некоторым порядком и проверку устойчивости.
Обсуждение вопроса о выборе нормы в Fh проведем в пред положении линейности разностной схемы L/,«W = /№. Это де лается лишь для того чтобы избежать громоздкости, не вы
званной существом |
дела. |
|
|
|
|
|
||||
|
Пусть при каком-нибудь фиксированном выборе нормы |
|||||||||
разностная |
схема |
Lhu^ = |
аппроксимирует |
задачу |
Lu = f |
|||||
на |
решении |
и |
с |
некоторым |
порядком hh |
и |
устойчива. |
Тогда |
||
в |
силу |
теоремы |
о |
сходимости |
разностная |
схема |
Lhu^ = |
f(ft) яв |
||
ляется |
сходящейся |
и имеет порядок точности |
hk: |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
Н [ и ] я - и ( / % Л < С А * . |
|
|
|
(7) |
|
Аппроксимация, напомним, означает выполнение неравенства вида
И ^ М л - Р ' С ^ С . А * . |
(8) |
' я
|
§ 13. О ВЫБОРЕ |
НОРМ |
119 |
||
Устойчивость |
означает, что задача |
LhU^ — fw |
однозначно раз |
||
решима при любом fWeFh, |
причем |
|
|
||
|
\\и^\\и |
<С2 [[/№) ||^. |
(9) |
||
Если выбрать другую норму |
|| • | |
| F a положив |
|||
|
WfW\\f = |
h\\fW\(?, |
(Ю) |
||
|
|
Л |
|
ft |
|
то, очевидно, |
неравенства |
(8) |
и (9) заменятся |
соответственно |
|
неравенствами |
|
|
|
|
|
|
\\Lk[u\,-fX<Chk+i, |
| |
|
||
|
|
г |
|
\ |
(И) |
Таким образом, аппроксимация будет уже не порядка k отно сительно шага h, а на единицу более высокого порядка k-\-\. Судя по этому, можно было бы ошибочно заключить, что по рядок точности разностной схемы не hk, a hh+1. Дело в том, что неравенство (9) уже не означает устойчивости, которая при новом выборе нормы, вообще говоря, теряется.
Если бы мы вместо (10) ввели норму|| • | | F равенством
\\f{h)ti?=\\\fw\{{\ |
|
то вместо (8) и (9) получили бы соответственно |
|
1 1 Ы и ] А - Р 1 1 ^ < С 1 Я * - > , |
(12) |
1 | М < * > 1 1 ^ < с 2 п | | Р Ч 1 ^ - |
(13) |
Неравенство (13) гарантирует устойчивость, так как C2h |
можно |
заменить не зависящей от h постоянной С2, лишь усилив не
равенство. Неравенство |
(12) означает аппроксимацию порядка |
||||
k — 1 относительно шага h. |
|
|
|||
Таким |
образом, при |
сделанном |
выборе нормы || • ||<^ мы |
||
могли бы |
на |
основании |
теоремы о |
сходимости |
гарантировать |
лишь (k—1)-й |
порядок |
точности разностной схемы LhuSh^ = р>, |
|||
на единицу более низкий, чем гарантированный |
неравенством |
||||
(7). Утеря информации о порядке точности произошла из-за неудачного выбора нормы в пространстве Fh.