книги из ГПНТБ / Годунов С.К. Разностные схемы. Введение в теорию учеб. пособие

90

ГЛ. 5.

СХОДИМОСТЬ,

АППРОКСИМАЦИЯ

Й УСТОЙЧИВОСТЬ

где

с >

0 и

k >

0 — некоторые

постоянные,

не зависящие

от

h, то будем говорить, что имеет

место

сходимость

порядка

hh

или

что

разностная

схема

имеет

k-й порядок

точности.

В §

8 были

рассмотрены две

разностные

схемы

для задачи

- ^ - -1 M u = 0, 0 < х < 1 , I

dx

^

I

и(0) = А..

J

Полученные

там

оценки разности

б (х) =

и (хк)

— w(feft)

между точ­

сходимость порядка /г2.

Обладание свойством

сходимости является фундаменталь­

ным требованием, которое

предъявляется к разностной схеме

дачи (1). Если оно имеет место, то с помощью

разностной

схемы (11) можно вычислить решение и с любой

наперед за­

ральному

вопросу о

том, как построить сходящуюся разност­

ную схему

(11)

для

вычисления

решения

дифференциальной

краевой задачи

(1).

Приведенные

ваше

примеры дополняют

рассмотренные

в гл.

1 и дают представление о простейшем спо­

§ 10. СХОДИМОСТЬ РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ

91

решения имело бы место равенство

[и]п —

u<-h\ идеальное

с точ­

ки зрения сходимости. Это означало бы, что решение

разно­

стной задачи LhuW = /W совпадает с искомой сеточной

функ­

цией [и]и, которую мы условились

считать

точным решением.

Однако,

как

правило,

систему

(11)

не

удается

выбрать

так,

чтобы [и]н

в

точности

ей

удовлетворяла.

При

подстановке

[u]h

в уравнении

(11) возникает

некоторая

невязка:

Lh[u]A

=

flh)

+

bfW.

(14)

Если эта невязка б/( , ! ) «стремится

к

нулю» при

h -* 0,

так

что

[и]п удовлетворяет уравнению (11)

все

точнее,

то

будем

гово­

рить, что разностная

схема

Lhu^

=

f(h> аппроксимирует

диффе­

ренциальную

краевую

задачу Lu — f

на

решении

и последней.

В случае аппроксимации можно считать, что уравнение

(14),

которому удовлетворяет [u]h, получается

из уравнения

(11)

пу­

тем прибавления некоторой

малой

(при

малом

К)

добавки

6/W

к правой части

/<Ч Следовательно,

если решение ы<Л) задачи

(11) устойчиво

относительно

возмущения

правой части /<Л>, т. е.

мало изменяется при малом изменении

правой

части, то

реше­

ние u(h) задачи (11) и решение [и]п

задачи

(14)

отличаются

мало, так что из аппроксимации

6/( / , ) ->0 при

Л - * 0

следует сходимость

ы( Л ) -> [и]п

при

h -> 0.

дачи

Lhii(h)

=

f(h}»-

Строгим

определениям понятий

аппроксимации

и

устойчи­

вости

мы посвятим отдельные параграфы.

ЗАДАЧИ

/ I. Разделить

отрезок [0, 1] на

N частей

точками х0 = 0, х{,

х2,

XN-I,

.t'jv =

1 так, чтобы

Хп + 1 — хп __

Хп

Хп—i

ц ' _ н

= 0,

)

•(0)

J

и(0)=-1

с помощью разностной схемы

и<»(Хп+1)-«,Н)(Хп)

_ и

Ш {

х п )

= 0

Хп + 1 ~хп

\

N

и т

(Хо) = 1.

Стремится ли к нулю при Nоо

максимальный

из шагов

xn+i — хп?

У к а з а н и е .

Проще всего

разобрать

случай

q ~> I и

убедиться, что

lim

uWN)

(х,Л

=

оо.

Lu =

f

(1)

на решении и разностной схемой

(11)

из § 10

Lhuw^fh\

(2)

Lh[u]n

=

f{h) + bfh),

(3)

возникающая

при подстановке

сеточной

функции [u]h — табли­

цы

искомого

решения и — в уравнение

(2), а также что такое

ее

величина.

Стремление величины невязки б/С1' к нулю при h -> 0 мы и

Примем затем

за определение

аппроксимации.

§11. АППРОКСИМАЦИЯ РАЗНОСТНОЙ

СХЕМОЙ

93

Начнем

с рассмотрения

примера разностной схемы для чис­

ленного

решения дифференциальной краевой задачи

+ а(х)

- ^ - - f

b(x)u =

cosx, 0

< х

<

1,

и ( 0 ) = 1,

(4)

и'

(0) = 2.

За

сетку

£>л по-прежнему примем

совокупность

точек хп

= nh,

п =

О, 1,

N; h=

1/Л7. В качестве

разностной

схемы

для

приближенного вычисления

[и]п воспользуемся

совокупностью

равенств

h2

+ а (хп)

2Л

+

Ь{хп)ип

=

=

cosхп ,

п=\,2,

. . . . Л/ — 1,

(5)

« о = 1 .

" 1 - "о _

9

и (х + h) — 2и (х) + и(х

— h)

^

d2u

(х)

h2

dx2 '

и (х + h) — и (х — h)

^

du

(х)

(6)

2h

^

dx

'

и {К)-и

(0)

du

(0)

dx

u n + i - 2 u n + u n - l + а { n h ) и п + 1 - и п - > + ь { n h ) ^ ^

« 1 — « 0

cos п/г,

1,

(7)

2.

и{х

h2

И?

g- и'" (|2),

— h) = u{x) — h и'(х) + — и" (х)

и (х + К) -

а (х) + Л и' (х) + 4 (*) +

и'" (х) + -g-йм> ( | з ) |

и (х - К) = и (х) - h и' (х) + Щ- и" (х) --£«'"

(х) + «<4> (g4),

Здесь

I , , g2> | 3 , | 4 >

£5 — некоторые

промежуточные точки отрезка

[х — h, х + /г].

Отсюда

„ ( х + * ) - « « ( * - Л ) = ц / { х ) +

^

[ и / / / ( £ | )

+

и „ ,

ш

u{x +

h)-2u(x)

+

u { x - h ) = ц

„ (

J C ) +

£

[ ц ( 4

)( |

з ) +

ц ( 4

) ( |

4 ) ] )

} ( 8 )

ttlx

+

h)-u(x)=u'{x)+±u"<&>.

2.

Вычисление

невязки.

Будем

считать,

что решение и (х)

задачи

(4) имеет

ограниченные

производные

до четвертого по­

рядка. В силу

формул

(8) можно

написать

и (х + h) — 2 и (х) + и (х — h) .

, . и (х + h) — и (х — h)

,

h2

+ а (

Х )

2h

h

dx2

'

dx

+

h2

» ( 4 ) ( Ы +

«( 4 » (g4)

, „ . v и"' (£,) + «' " (6,)

24

• +

а (ж)

12

1

v

'

Поэтому выражение

L„ [и]Л

=

u

+ Л) -

2 u (дгга) +

и (xn

— Л)

+

h2

+

a (*„)»{ X n

+A ) ~ "{Xn ~ h

) + b (xn) и (x,),

* = 1 , 2 , . . . ,

«(0),

и jh) — и (0)

Л

§11. АППРОКСИМАЦИЯ РАЗНОСТНОЙ СХЕМОЙ

95

можно переписать

так:

cos

хп

+ h2

«( 4 ) (1з) + Ц(4)(|4) ,

24

т"

L h [u]h =

{

1,2.

- I ,

i + o ,

2 +

/г

или

где

,,(4)

Й{ ?•> •

h2

(£з) + а ( 4 ) (£«)

в'" (£,) + И"Чб2)

24

5/(А> =

0,

(9)

/г

и" ( Ы

Удобно

считать,

что

/(

и 6f( \ заданные формулами

(7) и (9),

рое

состоит из элементов

вида

1,2,

Л Г -

1,

•(ft) :

(10)

где

ф1, фг,

. . . , фи-i, а также ф0

и

ipi — произвольная

упорядо­

ченная система чисел; можно считать, что

g(ft> — это

совокуп­

ность сеточной функции фи , n =

1, 2, . . . , iV— 1, и

упорядочен­

ной

пары

чисел фо и г|н. Сложение двух элементов

пространства

Fa

и умножение

элементов

на

числа

производятся поком­

понентно.

Ясно,

что в

рассматриваемом

примере

Fn

есть

(N + 1)-мерное линейное

пространство. Норма в Fh может

быть

введена многими способами. Если ввести в Fh

норму равенством

понент

вектора g^h\

то в силу (9) получим

б/'(ft)|

(П)

где С — некоторая

постоянная, зависящая от и(х),

но не зави­

сящая

от п.

96

ГЛ. 5.

СХОДИМОСТЬ,

АППРОКСИМАЦИЯ

и устойчивость

Из

этого

неравенства

следует стремление невязки б/( Л ) к

нулю

при h —> 0.

В

уравнении LhU^ =

f<h\ подробно

записанном равенствами

смотреть как на оператор. Этот

оператор каждой

сеточной

функции у</г) = {vn}, п = 0, 1,

N, из линейного

простран­

некоторый элемент

вида

(10)

из линейного

пространства

Fh по формуле

Р , + , - ^

+ Р я - , +

а { Х п )

° n + i - V n - t +

ь { Х п } ^ t

как

на

оператор, ставящий в соответствие

каждой

сеточной

функции

u(h> из Oh некоторый элемент /№ из Fh-

В

таком случае имеет смысл выражение

Lh[u]h,

возникаю­

невязки

следует

понимать ||6/( , 1 ) || Р п .

3. Аппроксимация

порядка

hh.

О п р е д е л е н и е .

Будем

говорить,

что

разностная

схема

Lhu^

=

fW

аппроксимирует

задачу Lu =

f

на решении и,

если

l°7l A > Lл —* 0

П Р И

h —* 0. Если,

сверх того, имеет место

неравен-

ство

! б / ( Л ) 1 < с л \

л

где

с > 0

и k >

0 —- некоторые постоянные,

то будем

говорить,

что

имеет

место

аппроксимация

порядка

hk

или порядка

k от­

носительно

величины

п.

То обстоятельство,

что и

является решением задачи

(1),

дает

что

схема

Lnu^ = /<Л> соответствует с порядком

hh функции и,

не

вникая

в происхождение этой функции. В

частности, если

функция

и является одновременно решением двух совсем раз­

личных

задач

L<% =

и

L<2>« = р ) вида (1),

то одна и та

же разностная

схема

Lnu^

= /<Л> одновременно

аппроксими­

рует или

не аппроксимирует каждую из этих задач на их общем

решении

и.

компоненты

вектора 6/( Ч кроме последней,

стремятся к нулю,

как h2 (предпоследняя даже в точности равна

нулю).

Только последняя компонента вектора 6/<Ч т. е. невязка от

подстановки

[и]п в последнее уравнение

= 2 системы

(5),

стремится к

нулю медленнее, а именно как

первая степень

h.

u{h)

— u (0)

„'(0) + А ы"(0) +

^

«'"(!)

=

h

= 2 +

4^(0)

+ ^ u ' " ( a ,

0<l<h.

Но из дифференциального уравнения (4) находим

и" (0) =

-

а (0) и' (0) -

Ь (0) и (0) +

cos 0 =

- 2а (0) -

Ъ (0) + 1.

Поэтому,

заменив

последнее равенство

(5)

равенством

«i

— u0

2 — A

[2а(0) +

&(0)-1],

(12)

h

получим для

вместо

(7) выражение

cosx,

J 2 - | [ 2 a ( 0 ) + 6 ( 0 ) - I ] .

4

С. К. Годунов, В. С. Рябенький

« О

(|,)

+

и ^

(|4 )

+

(u>"(W

+

u'"{l2))

12

6/<ft) ^

'

о,

А2

и

II 6/( f t )

||f

<

С]/г2,

где С4

— некоторая

постоянная,

не зависящая

от А. Порядок аппроксимации станет вторым относительно h.

Подчеркнем, что для построения разностного граничного ус­

ловия (12) мы использовали не только граничные

условия

за­

дачи

(4), но и самое дифференциальное

уравнение. Можно

счи­

тать, что мы использовали граничное условие

и" (х) +

а (х) и' (х) +

b(x)u

(х) \X=Q

=

cos х

\х^,

которое

является

следствием

дифференциального

уравнения.

П р и м е р

2.

Выясним,

каков

порядок

аппроксимации,

ко­

торым обладает разностная

схема

Un + l

2,

N—1,

2k

щ =

ь,

(13)

щ=Ь

на

решении

и

задачи

ы(0)

(И)

Подобную

схему

мы

рассматривали

в

§

8

еще

до того,

как

было

введено строгое понятие аппроксимации.

Роль

/ ( Л ) здесь

играет

[ 1 + * 2 ,

п=\,

2,

N-1,

f(h):

Далее,

/

u(Xn +

k ) - U { X n - h )

+ А и (

Х

п )

>

я

= 1

>

N-1,

L n

[и]ы=

и (0),

и (А)

§ 11. АППРОКСИМАЦИЯ

РАЗНОСТНОЙ

СХЕМОЙ

99

или

{ \ ^ T L + Au(xn)] +

^-u/"(ln),

л = 1 , . . . .

-£-«'"(£„), л = 1, •••>

1,

и п + 1 — Un—i + Aun=l+xl

п =

\,

2

N - \ ,

(15)

2h

при подстановке [ы]п удовлетворяется

с

невязкой

№

-д-«'"(£*)

порядка h2. Первое граничное условие

tio = b

(16)

при подстановке [и]н выполнено

точно, а

второе

щ — Ь

(17)

max

\и"'(х)\,

max

\и'{х)\.

В рассматриваемом примере точное

решение

и(х)=и(0)

е~Ах

+•

+

х2 -

e~Ax

2х

А

, Д 2

4*