книги из ГПНТБ / Бекнев В.С. Газовая динамика газотурбинных и комбинированных установок учеб. пособие

свойству осреднения равны нулю, то второе слагаемое левой части уравнения будет иметь вид

- дѵѵ

0.Ѵ дх

Аналогично можно поступить с третьим и четвертым членами левой части уравнения, учитывая, что в каждом промежутке инте­ грирования ѵ' = р' = 0. Окончательно в направлении оси х

+ду •{-pvyvz) + 4- • - е - ( — р у ^ ) -

Эти уравнения называются уравнениями Рейнольдса для тур­

80

пульсации скорости. Наличие пульсационных скоростей в турбу­ лентном потоке приводит к образованию как бы дополнительных напряжений, которые имелись бы в ламинарном потоке, если бы распределение скоростей в нем совпадало с распределением осредненных скоростей в турбулентном потоке.

§ И. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ

Полученные выше уравнения движения являются дифферен­ циальными уравнениями в частных производных, связывающими параметры жидкости — скорость, плотность и давление с коорди­ натами и временем. В отдельных случаях движения жидкости уравнения движения можно проинтегрировать, получив алгебраи­ ческие соотношения для скорости, давления и плотности.

Уравнение Бернулли для неустановившегося движения

Рассмотрим неустановившееся движение невязкой жидкости. Геометрической характеристикой такого движения, как известно, служит поле векторных линий, которое зависит от времени.

Уравнения Эйлера для этого случая имеют вид:

Умножая каждое из этих уравнений соответственно на проек­ ции элемента векторной линии ôr {Вх, ôy, ôz\ и складывая по вертикальным столбцам, получим

преобразуем коэффициенты при производных от скоростей по коор­ динатам в левой части уравнения. Тогда

произведения и полного дифференциала,

•г

Это уравнение, записанное в дифференциальной форме, спра­ ведливо только для векторной линии в данный момент вре­ мени.

Проинтегрировав его вдоль векторной линии от точки / до точки 2, получим

Уравнение (67) называется уравнением Бернулли; оно связы­ вает параметры жидкости на векторной линии при неустановив­ шемся движении в конечном виде, т. е. является первым интегра­ лом системы дифференциальных уравнений Эйлера.

Уравнение Бернулли для установившегося движения

Если движение жидкости установившееся, то векторные линии переходят в линии тока и уравнение Бернулли принимает вид

2

1

Потенциал U массовых сил обычно связывают с силами тя­ жести. Если ось 2 направить вертикально, вверх, то

откуда

U = —gz -f- const.

2

Для вычисления интеграла | бр/р необходимо знать зависи-

1

мость между р и р в процессе течения по линии тока.

82

Рассмотрим два наиболее распространенных случая: 1. Несжимаемая жидкость, р = р 0 = const.

Интеграл J ôp/p в этом случае легко подсчитывается:

j ôp/p = - ^ - + const.

Следовательно, уравнение Бернулли для несжимаемой не­ вязкой жидкости

Таким образом, для двух точек на линии тока параметры жид­ кости связаны соотношением

2. Сжимаемая жидкость при изоэнтропической связи между ітностью и давлением, -^— = m — const.

р

Интеграл j - ^ - в данном случае принимает вид

— с dp = -г—;—~- 4- const.

Тогда уравнение Бернулли для сжимаемой невязкой жидкости или идеального газа запишется в форме

-t + ^ + ^rr - ^ - = c o n s t - (б9>

При движении газов, как показывают расчеты, можно прене­ бречь влиянием потенциальной энергии положения на распределе­ ние давления. В самом деле, скорость ѵ = 10 м/с дает 1 кг газа такую кинетическую энергию, которая соответствует потенциаль­ ной энергии этого килограмма, поднятого на 5 м. В практике же турбостроения такие вертикальные перемещения встречаются

получим следующую форму записи уравнения Бернулли:

Если рассмотреть истечение газа из сосуда неограниченной емкости, то в сосуде можно считать, что ѵ = 0; а = о*, где а* — скорость звука в неподвижном газе. В этом случае уравнение Бер­ нулли имеет вид:

где Т* — температура неподвижного газа.

При изменении параметров газа вдоль струйки уменьшению кинетической энергии соответствует увеличение теплосодержа­ ния, т. е. при уменьшении скорости газа растет местная скорость звука. Может наступить момент, когда скорость газа станет чис­ ленно равна местной скорости звука. Такая скорость газа назы­

84

Между ними существует определенное соотношение

откуда получим

Параметры изоэнтропически заторможенного потока* Газодинамические функции

При рассмотрении течения струйки газа удобно пользоваться параметрами изоэнтропически заторможенного потока или пара­ метрами торможения. Вообще говоря, для произвольного сечения струйки термодинамические параметры заторможенного потока является воображаемыми параметрами, которые были бы дей­ ствительными при полном изоэнтропическом торможении потока в данном сечении. Параметры движущегося потока (Г, р, р) свя­ заны с параметрами торможения (Г*, р*, р*) формулами адиабаты Пуассона

в данной точке потока можно измерить, помещая в поток прием­ ник полного давления в виде трубки Пито с расположенной в ней термопарой (см. гл. V I I I ) . В приемнике трубки Пито газ находится в неподвижном состоянии и, если не учитывать теплоотдачу газа через стенки трубки в поток, то термопара измерит температуру изоэнтропически заторможенного потока.

Расчет параметров потока в ряде случаев удобно вести с по­ мощью так называемых газодинамических функций, которые свя­ зывают термодинамические параметры с приведенной скоростью

85

Л

15

W

0,5

Рис. 40. Соотношение между числом M и приведенной

скоростью X потока

Газодинамическая функция температуры. Уравнение Бернуллн для газа имеет вид

Разделив левую часть выражения на правую в соответствую­ щих формах записи, получим

Отсюда находим

-f*~— 1 — I_|_ 1 = Х(Ь> k)<

где т (X, k) — газодинамическая функция температуры. Статическая температура газа Т определяется теперь по фор­

муле Т = Т*х (X, k).

86

Газодинамическая функция давления. Так как торможение газа предполагается изоэнтропическим, то

где л (X, k) — газодинамическая функция давления.

•О

=8 (Я, k),

жущегося потоков подсчитывают по уравнению Бернулли, дан­

Обозначим функцию Хг (X, k) = nq (X, k), причем множитель rt подберем так, чтобы при X = 1 значение q (X, k) = 1. Тогда

87

Требование q (1, k) = 1 связано с тем,, что под q (X, k) полагают безразмерную плотность тока, отнесенную к критической плот­ ности тока (ри)к р , т. е.

В отдельных случаях удобно в выражение расхода вместо дав­ ления торможения ввести статическое давление р. Тогда уравне­ ние расхода

«8

Уравнение Бернулли для относительного движения

В турбине и компрессоре газ проходит по вращающемуся меж­ лопаточному каналу, т. е. имеет место относительное движение газа. При расчетах турбомашин широко используется соотноше­ ние между параметрами газа при его относительном движении во вращающемся канале рабочего колеса.

Рассмотрим течение газа в канале колеса центробежного ком­ прессора (рис. 43).

Рис. 43. Схема течения газа в рабочем колесе центро­ бежного компрессора

Уравнение Эйлера для идеальной жидкости имеет вид

Абсолютное ускорение частицы - ^ - можно представить в виде суммы трех слагаемых:

1. Относительного ускорения-^-, где w — относительная ско­ рость в канале; ôau — дифференциал скорости по линии тока, знак ô будет обозначать дифференциал параметра для линии тока.

2. Переносного ускорения — ш 2 г . Знак минус говорит о том, что ускорение направлено к оси вращения, т. е. противоположно направлению г.

3. Ускорения Кориолиса 2 [ сох х ш]. Тогда у равнение движения

" 5 Г = / — - р - § г а с 1 Р + а " г — 2 fa* X w l

_Умножив члены этого уравнения на элемент линии тока ôï =

= wdt, получим работу сил при элементарном перемещении по линии тока.

8<*