книги из ГПНТБ / Бекнев В.С. Газовая динамика газотурбинных и комбинированных установок учеб. пособие

Магнитное поле является силовым полем, возникающим от движения элек­ трических зарядов или порождаемым при изменении во времени электрического поля (от тока смещения). Для количественной его оценки используют вектор В магнитной индукции, который может быть определен с помощью электрического заряда q, движущегося в рассматриваемой материальной среде со скоростью и

относительно магнитного поля. В данном случае пондеромоторная сила F, дей­ ствующая на этот заряд,

F = q(vXB),

что примем как опытный факт.

Магнитное поле в материальной среде характеризуемое вектором В магнит­ ной индукции, в отсутствие тока смещения слагается из двух полей (причем, и в том и в другом случае в их основе лежат движения каких-либо электрических зарядов):

1. Магнитного поля, приложенного извне, а также магнитного поля, создан­ ного движущимися по объему, занятому веществом, свободными электрическими зарядами (электрическим током);

2. Магнитного поля намагничивания, возникшего в данной среде вследствие действия молекулярных токов. Мерой этого эффекта служит вектор / намагни­ чивания.

не существует линейной связи между векторами / и H (к ним принадлежат кон­ струкционные стали). В рабочих телах ГТ и КУ эффект намагничения чрезвычайно мал и воздействие на приложенное магнитное поле рабочие тела оказывают не в результате своих магнитных свойств, а благодаря текущим в них электрическим токам.

Следует отметить, что числовое значение векторов, характеризующих электри­ ческое и магнитное поле, является относительной, а не абсолютной величиной, так как оно различно для разных систем координат, движущихся с разными ско­ ростями.

Электрический ток является направленным движением (переносом) электри­ ческих зарядов. Если носители электрических зарядов qk движутся с индивидуаль-

20

Иначе говоря, вектор у плотности электрического тока — это количество электричества, переносимого через единицу поверхности за единицу времени в на­ правлении, перпендикулярном этой поверхности.

Если для простоты считать, что все скорости частиц <?/г одинаковы, то вели­

чину -Ok можно вынести за знак предела. Тогда оставшаяся величина

S 4k

pe = I im —^j— Д1'->0 д і '

называется объемной плотностью электрического заряда в данной точке, т. е. это электрический заряд, заключенный в единице объема, так что

/ = РеѴк*

Отметим, что для рабочих тел КУ носителями электрических зарядов обычно являются отрицательно заряженные электроны и однократно ионизованные поло­ жительные ионы.

Работа электромагнитного поля над движущимися электрическими зарядами, заключенными в рассматриваемом объеме, за единицу времени, т. е. на пути

Величина Ej является мощностью, которую электромагнитное поле подводит или получает из единицы объема электропроводящей жидкости, в зависимости от того, тормозит или ускоряет оно электрические заряды.

Уравнение Максвелла, т. е. система уравнений, характеризующих поведение электромагнитного поля, в электродинамике являются такими же аксиомами, как законы Ньютона в классической механике. Правильность уравнений подтвер­ ждается тем, что все следующие из них выводы согласуются с известными экспе­ риментальными данными. В дифференциальной форме записи система урав­ нений Максвелла имеет вид:

21

Г Л А В А II

ОСНОВЫ КИНЕМАТИКИ ЖИДКОЙ СРЕДЫ

§ 4. ДВИЖЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛОЙ ЧАСТИЦЫ ЖИДКОСТИ. ТЕОРЕМА ГЕЛЬМГОЛЬЦА

Движение жидкости отличается от движения твердого тела. Любое перемещение твердого тела в пространстве можно осуще­ ствить путем поступательного движения вместе с выбранным полю­ сом и вращения вокруг оси, проходящей через этот полюс. При дви­ жении частицы жидкости изменяется ее форма, т. е., кроме посту­ пательного и вращательного движения,появляется деформационное движение, искажающее геометрическую форму данной частицы.

23

Эти равенства в силу малости частицы (£, т], Z, — бесконечно

и к изменению углов между двумя «жидкими» отрезками. Искрив­ ление «жидкого» отрезка исключено в силу принятой линейной зависимости проекций скоростей от координат £, т), £. Поворот плоскости «жидкого» угла будет учитываться при оценке враща­ тельного движения частицы как твердого тела.

Рассмотрим отдельные составляющие деформационного движе­ ния жидкости, выразив их через характеристики поля скоростей.

Рис. 14. Деформация (dy я dz в данном случае равны нулю), «жидкого» отрезка Через бесконечно малый промежуток времени dt отрезок OA переместится в но­ вое положение Ох Л х , а его проекция на ось х в положение 0 2 Л 2 .

причем в соответствии с формулами (9) он останется прямоли­ нейным, изменившим лишь свою длину и положение в про­ странстве.

За время dt точка О в направлении оси х пройдет расстояние vx0 dt, точка А отрезка OA за то же время переместится на рас­ стояние ^ ѵх0 + - ^ г dx^j dt.

Вычитая из последнего выражения первое, получим линейную деформацию отрезка dx в направлении оси х в виде - ^ - dxdt.

Деля линейную деформацию на dx, получим относительную линейную деформацию, а деля ее на dt, получим скорость относи­ тельной линейной деформации отрезка в направлении оси х в виде гх = дѵхІдх (здесь и далее индекс О опущен).

24

Рассуждая аналогично для отрезков dy и dz, имеем скорости относительных линейных деформаций отрезков в направлении осей у и z:

Следовательно, частные производные от проекций скоро­ стей по одноименным координатам представляют собой скорости относительных линейных деформаций отрезков в направлениях, соответствующих осей.

25-

или, пренебрегая в знаменателях бесконечно малыми величинами второго порядка малости, будем иметь

Скорость изменения прямого угла в плоскости хОу выразится

.формулой

Следовательно, сумма частных производных от проекций ско­ ростей по разноименным координатам представляет собой удвоен­ ную скорость изменения прямого угла в соответствующей пло­ скости.

Вращательное движение частицы без изменения формы

Как уже было сказано, движение жидкой частицы отличается от движения твердого тела наличием деформаций.

Рассмотренные выше скорости деформационного движения можно ввести в выражения для проекций скорости произвольной точки частицы жидкости.

Тогда прибавляя и вычитая члены ^ " ( " ^ j " ) 1 ! и ~іг(~~^")£ из первой строчки выражений (9), получим

•26

Первое слагаемое ѵх0 представляет собой проекцию на ось к скорости поступательного движения частицы жидкости как твер­ дого тела.

Слагаемые типа ъх\ - f + Ѳгг| представляют собой проекции на оси координат скоростей деформационного движения, состоя­ щего из растяжения (сжатия) отрезка длиной \ и изменений пря­

могут выражать собой только скорость вращательного движения частицы жидкости как твердого тела, так как деформационное движение уже учтено.

Покажем, что выражение типа (12) представляет собой проек­ цию на ось X скорости произвольной точки частицы жидкости при вращении ее как твердого тела вокруг оси, проходящей череа

т. е. выражения типа (12) представляют собой проекции скорости вращательного движения «жидкой» частицы, что и требовалось показать.

27

Поступая аналогично для осей і/ и z, получим

2 V дх

Следовательно, скорость произвольной точки частицы жидко­ сти можно записать в виде

Ѵх — Ѵх о " h Ѵх д е ф + <-'л пр-

Пользуясь круговой подстановкой, получим для проекций скорости на оси у и z:

или в векторной форме

Полученный результат формулируется в виде теоремы Гельмгольца, т. е. произвольное движение бесконечно малой частицы жидкости можно разложить на три движения: поступательное движение вместе с выбранным полюсом; вращательное движение вокруг мгновенной оси, проходящей через полюс, и деформацион­ ное движение, состоящее из линейной деформации и деформации скошения прямого угла.

§ 5. КЛАССИФИКАЦИЯ ДВИЖЕНИЙ ЖИДКОСТИ

На основании доказанной выше теоремы Гельмгольца, рассма­ тривая внутреннюю структуру движения частицы, можно выде­ лить важный класс движений жидкости — безвихревое или потенциальное движение.

Потенциальным движением называется такое движение жид­ кости, при котором во всем потоке или за исключением отдельных •его областей отсутствует вращение частиц жидкости. Математи­

28

В тех областях потока, где со Ф 0, движение называется вихре­ вым или непотенциальным,

При потенциальном установившемся движении существует некоторая функ­ ция координат ф (х, у, г), называемая потенциалом скорости, производные от ^которой по координатам дают проекции скорости на оси координат, т. е.

Подчеркнем, что величины е и 0 в этих выражениях постоянны и относятся ж полюсу частицы. Координаты точки £, г), Ç заменены на А', (/, г.

Для построения функции ф проинтегрируем первую строку выражений (16)

Теперь продифференцируем полученное выражение для ф по у и z и, исполь­

зуя выражения (16) и (17), найдем

Откуда

jjjj = fi/O + Byy -f ѲЛг; -^- = ад + ег г -f Ѳ^.

или, интегрируя, получим

/ = ѴуОУ + \ - ЪуУ~ + Ѳд-zf/ + f1 (г) ;

f = адг + ~ sz z2 + Ѳ.ѵ(/г + ^ (у),

что дает

ѴуОУ + 4 ~ ey<r — /а (У) = "гог + -^- ег г2 — /х (г).

Таким образом, имеем равенство двух функций разных аргументов. Следо­ вательно, каждая из них равна постоянной, т. е.

Ѵуоу + -^- бу(/2 — /а (у) = — с,

29