книги из ГПНТБ / Бекнев В.С. Газовая динамика газотурбинных и комбинированных установок учеб. пособие

Первая и вторая теоремы предполагают, что факт существова­ ния подобия уже установлен. На вопрос будет ли этот факт подо­ бия явлений существовать и каковы условия подобия отвечает

известного уравнения, описывающего физический процесс. Пер­ вый способ более универсален, так как им можно пользоваться и тогда, когда уравнения, описывающие процесс, еще не известны, а известны только параметры, характеризующие явление. Этот способ сразу дает возможность получить m — п — 1 независимых критериев.

Второй способ позволяет выявить ряд критериев подобия, но не отвечает на вопрос, какие из них надо считать независимыми. Тем не менее воспользуемся вторым способом, так как распола­ гаем уравнениями, описывающими процесс движения жидкой среды. Кроме того, этот способ позволяет познакомиться с основ­ ными критериями подобия, используемыми в гидро-, газодина­ мике и магнитогидродинамике.

Безразмерная форма уравнения движения, которая понадо­ бится для этого, получается преобразованием размерного урав­ нения (64) движения, которое запишем для единицы массы жид­ кости:

— + (оѴ) v = l - grad р + } т + -J- grad (divö) + v До.

Заменим размерные значения всех входящих в него величин (например, проекцию скорости ѵх) на произведения выбранного размерного масштаба ѵ0 и безразмерной величины ѵх, которая является функцией координат и времени и ответственна только за закон изменения ѵх в пространстве и во времени, в то время как масштаб ѵ0 определяет абсолютное значение величины ѵх. Если по всем осям масштабы одинаковы, то вектор скорости ѵ преобразуется так:

U = ѴХІ + Vyj + Vzk = Ѵ0 (ѴХІ + Vy] - f vzk) = v0v.

Аналогично введем масштабы для других переменных:

140

Подстановка величин в размерное уравнение движения преоб­ разует его к виду

При преобразовании следует иметь в виду, что постоянные значения масштабов выносятся за символы операций, например:

d

'S ' d~x ей

Vp"o ~ grad (div и).

В полученной записи уравнения движения каждый член имеет одинаковую размерность, которая определяется масштабным мно­ жителем. Для приведения членов уравнения к безразмерному значению, надо разделить их на какой-либо выбранный масштаб­ ный множитель. Соразмерим все члены уравнения движения с членом, характеризующим силы инерции от конвективной составляющей, получим

141

Полученная безразмерная форма уравнения движения позво­ ляет утверждать следующее. Пусть имеется два различных дви­ жения жидкой среды, и в обоих случаях преобразование размер­ ных уравнений движения привело их к одинаковому безразмер­ ному уравнению (136). Следовательно, рассматриваемые движе­ ния будут подобны, а условием их подобия является равенство для обоих случаев безразмерных масштабных комплексов. Если равными окажутся только некоторые из безразмерных масштаб­ ных комплексов, то подобие будет частичным.

Критерии гидродинамического подобия, согласно уравнению (136) движения, представляют собой, таким образом, следующие величины:

Критерий Струхаля St = ll(vt) является отношением ло­ кальных и конвективных сил инерции и представляет собой без­ размерную частоту явлений. Эта характеристика важна в неста­ ционарных процессах. При стационарном процессе характерное время / между повторяющимися событиями стремится к беско­ нечности, а критерий St = 0.

превосходит единицу, численное значение критерия Eu для сжи­ маемых сред можно оценить как величину, приблизительно обрат­ ную числу М2 . При движении жидких металлов в магистралях рассматриваемых КУ критерий Эйлера равен 1—10.

Критерий Фруда Fr = gl/v* является отношением силы тя­ жести к силам инерции, если в качестве массовых сил рассматри­ вать силу тяжести с масштабом, равным / 0 = g ускорению силы тяжести. Величина этого отношения даже для жидких металлов, двигающихся по коммуникациям КУ, мала (редко более 0,01).

лах 105—107 для ядра движущегося потока. Однако его значение

С учетом обозначений критериев в безразмерном виде уравне­

142

Удобство такой записи заключается в том, что можно произво­ дить сравнение отдельных членов уравнения между собой и упро­ щать уравнение путем отбрасывания заведомо малых членов, не производя решения. Для этого надо только оценить ожидаемые значения критериев подобия.

В случае, если в газодинамических явлениях тепловые потоки столь велики, что их неучет вносит искажения в конечные резуль­ таты, необходимо моделирование с учетом тепловых критериев подобия.

Критерии теплового подобия могут быть получены из рассмотре­ ния уравнения (91) энергии, записанного для единицы объема.

Напомним, что при преобразовании уравнения энергии к этой форме были использованы такие уравнения, как уравнения дви­

теплового подобия путем сопоставления необходимых членов. Критерий Прандтля Рг является отношением теплового по­ тока, возникающего вследствие работы сил трения, к потоку теплоты, обусловленному теплопроводностью. Отношение этих величин можно найти, рассмотрев отношение члена цД к члену

сііѵ Q = div (—К grad Т). Величина |.іД структурно имеет такое строение:

С учетом масштабов и безразмерных величин отношениеэтих членов

Представление критерия Прандтля как отношения коэффи­ циента кинематической вязкости ѵ (иначе коэффициента диффу­ зии v вихря со в уравнении для распространения вихря) к коэф­ фициенту температуропроводности а (иначе коэффициента диффу­ зии температуры в уравнении для распространения температуры: dTIdt = a AT) позволяет толковать число Рг как критерий, сравнивающий скорость диффузии (рассеяния) вихря скорости со скоростью диффузии температуры.

143

Для газов критерий Рг равен единице или менее, в неметал­ лических жидкостях он всегда больше единицы (иногда суще­ ственно), а в жидких металлах часто много меньше единицы.

Критерий Пекле Ре является отношением теплоты вследствие конвекции к потоку теплоты теплопроводности. Отношение этих величин можно найти, рассмотрев вектор плотности потока теп­ лоты (количество теплоты, переносимой через единицу поверх­ ности в единицу времени):

температуры на поверхности нагрева со стороны потока омываю­ щей ее жидкости. Для его получения рассмотрим поток теплоты

температуры жидкости и стенки. С учетом масштабов и безраз­ мерных величин получаем уравнение для - ^ - :

Откуда следует, что величину Nu = allX можно называть

безразмерным коэффициентом теплоотдачи.

Комплекс используемых критериев магнитогидродинамического подобия включает в себя как рассмотренные выше критерии гидро­ газодинамического и теплового подобия, так и специфические кри­ терии, отражающие особенности магнитной гидрогазодинамики.

144

Рассмотрение последних удобнее начать с приведения обобщен­ ного закона (8) Ома к безразмерной форме при использовании

соотношения j = —-— rot В. Введем дополнительно следующие масштабы и безразмерные величины:

В = В0В, Е = Е0Е, а = о0 а, \хта = p.0 f.im a .

Сделав подстановки, получим

Его аналогия с обычным числом Рейнольдса Re = и//ѵ заклю­ чается в трактовке величины ѵ,„ = 1/схц.ша как «магнитной» вяз­ кости. Однако физический смысл магнитного числа Рейнольдса выясняется из сравнения в законе Ома членов / и о(ѵХВ). Пер­

вый из них, равный —-— rot В, является полным током, теку-

l-'/na

щим в среде, второй — током наведенным (индуцированным) от движения среды. Стало быть, магнитное число Рейнольдса это

гнитное поле, поэтому магнитное число Рейнольдса можно трак­ товать и как отношение наведенного магнитного поля к полному магнитному полю. Малость величины Re,n означает, что вслед­ ствие наведенного магнитного поля искажение внешнего нало­

С помощью этих критериев обобщенный закон Ома в безраз­ мерной форме (без учета эффекта Холла и скольжения ионов) примет вид

Отсюда следует, что в случае больших чисел Re,„ порядок критерия Re будет равен единице.

Вернемся теперь к уравнению движения (136), у которого

является отношением плотности пондеромоторной силы магнит­ ного поля к силе инерции. Следует отметить, что это отношение можно трактовать как отношение магнитного давления ß 2 / u „ I a к динамическому напору pu2 (отсюда и аналогия с критерием Эйлера). Численное значение величины Eu,,, для КУ лежит в диа­ пазоне 1—10.

Подобно числу Маха M = и/оз в в магнитогидродинамике вво­ дится число Альвена

Очевидно, что Eu,„ = 1/Al2 .

Если величину массовой плотности пондеромоторной силы / т = -jjp {jXB) записать с использованием обобщенного закона Ома (без учета эффектов Холла и скольжения ионов), то получим

7 т = 1а ( 1 х 5) + |а ( о х В) X В.

Здесь первый член определяет составляющую массовой плот­ ности пондеромоторной магнитной силы от тока проводимости оЕ, второй член — от индуцированного тока. Если эти члены отдельно сопоставить с силами инерции, то возникнут два критерия:

146

Г Л А В А IV

ОДНОМЕРНЫЕ И ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ ДВИЖЕНИЯ

§ 17. ОСОБЕННОСТИ ОДНОМЕРНОГО И КВАЗИОДНОМЕРНОГО СТАЦИОНАРНОГО ТЕЧЕНИЯ ГАЗА

Стационарное полностью одномерное движение представляет собой тот частный случай движения жидкой среды, когда все ее параметры могут зависеть только от одной переменной. Примем за эту переменную координату х вдоль направления движения.

Реальным осуществлением такой модели одномерного движе­ ния является движение в струйке тока бесконечно малого сечения.

В силу стационарности и одномерности движения частные про­ изводные d/dt, діду и dldz равны нулю, поэтому частную произ­ водную - ^ - можно заменить на полную dldx.

Уравнения движения (64) и энергии (91) в проекции на ось примут вид

dx '

(138)

где fmx — массовая сила тяжести или массовая пондеромоторная сила электромагнитного поля -р-(/Х/3)А ..

Уравнение неразрывности используем в форме уравнения рас­ хода pus = m, поскольку величины ѵ и р в каждом поперечном сечении потока постоянны, а уравнение состояния в виде р =

=pIRT.

Вряде случаев полученная система уравнений в одномерном приближении может описывать реальные движения в каналах, турбомащинах и т. п.

Для использования одномерного представления при описании реальных потоков необходимо реальному потоку поставить в соот­ ветствие некоторый одномерный поток с постоянными параме­ трами по поперечному сечению. Для этого необходимо иадлежа-

148

щим образом провести в каждом поперечном сечении х = const реального потока осреднение параметров, чтобы затем эти осредненные параметры принять за характеристики одномерного по­ тока, заменяющего реальный поток.

Такой подход носит название гидравлического или квазиодно­ мерного приближения. Он широко используется при инженерных расчетах турбомашин и КУ, хотя, конечно, не позволяет анали­ зировать внутреннюю структуру потока.

При квазиодномерном подходе использование в уравнениях (137) и (138) членов, учитывающих вязкость, в виде производных по координате х, приводит к учету эффекта вязкости только вследствие изменения скорости потока вдоль оси х. Однако в реаль­ ных условиях движения, например при

где \ — опытный коэффициент сопротивления, являющийся функ­ цией режима течения (числа Re) и шероховатости стенок канала;

149-