книги из ГПНТБ / Бекнев В.С. Газовая динамика газотурбинных и комбинированных установок учеб. пособие

Направление вращения жидкости принимаем против часовой стрелки, если смотреть на нить от а к Ь. Обозначим боковую поверхность нити через s, внутрен­ нюю нормаль к ней через п, единичный вектор нормали п, единичный вектор каса­ тельной к оси нити j .

Будем искать скорость_в начале координат 0, индуцированную элементарным отрезком вихревой нити dl.

Для несжимаемой жидкости при потенциальном установившемся течении компоненты скорости удовлетворяют уравнению Лапласа

Аѵх = At'y = kvz О,

s

позволяющая найти значение гармонической функции ѵ в произвольной точке объема по ее значениям на границе s этого объема.

На рис. 27 показано сечение нити и дана плоскость векторов г, j . Элемент поверхности

50

Очевидно, скорость ѵ. можно записать как

где (нХу) —• векторное произведение единичных векторов п и /. Пользуясь рис. 27, определим значения

•или

тѣ = Vr2 + е2 — 2ге sin Ѳ cos а

Ввиду малости s, пренебрегая s2 , имеем

r . s r ^ 1 - 2 - 1 sin Ѳ cos аяа г — Б sin Ѳ cos а.

Далее учитывая, что drs/dn = — drsldz, получим

Замечая, что., направление скорости ѵ не изменяется при перемещении по нормали, получим, что вектор дѵ/дп будет совпадать по направлению с вектором ѵ; следовательно,

(35)

Подставляя выражения (34) и (35) в выражение (33), имеем

Выразим единичный вектор п через орты і и g, тогда

Единичный вектор / в пределах длины dl можно считать постоянным. Подставляя значение п из выражения (37) в (36), разобьем интеграл на два

слагаемых, помня, что Ѳ и г в этом интеграле постоянны. Первое слагаемое дает вектор

В последнем выражении отброшено слагаемое

2я

J — (icos a + gsin a) da = 0.

но так как плоскости (i', /) и (г, j) совпадают и, кроме того, из рис. 27 следует, что

— (Г X J) г sin Ѳ = (г X 7)- окончательно получаем так называемую формулу Бно—Савара 1

1 Изложенный вывод формулы Био—Савара принадлежит проф. В. В. Уварову.

52

Классификация сил, действующих в жидкой среде, может быть произведена как по их физическим свойствам, так и по особенно­ стям, представляющим удобство для теоретического анализа.

По физической природе различают: силы тяжести (гравитацион­ ные); силы вязкости (силы трения), действующие как внутри жид­ кости, так и на окружающих ее твердых границах; пондеромоторные силы электромагнитного поля, существующие в движущейся электропроводной жидкости.

Различают также силы внутренние и внешние; поверхностные и объемные (массовые); нормальные и касательные.

Общей особенностью всех действующих в жидкой среде сил является их непрерывная распределенность, обусловленная боль­ шой подвижностью частиц, составляющих жидкость.

Для рассмотрения внешних и внутренних сил выделим внутри жидкости объем А У. Внешними силами по отношению к рассма­ триваемому объему ДУ являются силы воздействия на частицы, входящие в этот объем, от всех частиц жидкости, окружающих объем, или от внешних причин (например, от действия внешнего электромагнитного поля). Внутренними силами по отношению к рассматриваемому объему ДУ являются силы взаимодействия между частицами, входящими в объем.

Массовые (объемные) силы. На каждый объем ДУ, выделенный в жидкости и имеющий массу Am = р А У, действует внешняя сила AF той или иной физической природы. Если считать, что эта •сила действует на массу частиц, составляющих объем, то сила будет называться массовой. Если относить ее действие на геоме­ трическое пространство, образующее объем частиц, то сила будет называться объемной.

Рассматривая окрестность выделенной точки используют поня­ тие вектора плотности массовой силы

f — lim а г " '

Am->0 û m

в том, что рассматриваемый предел существует и не зависит от способа уменьшения объема àV, основана на свойстве жидкой среды заполнять этот объем равномерно и сплошным образом,. Вектором плотности объемной силы называют выражение

Векторы /,„ и /у являются в обшем случае однозначными функ­ циями координат х, у, z и времени t. Если плотности массовой и объемной сил просуммировать по всем точкам рассматриваемого' конечного объема V, имеющего массу т, то получим равные между собой главные векторы массовой и объемной сил:

\jmdm = \Ь dV.

m V

Сделав замену переменной dm = pdV в левой части равенства,, получим связь векторов плотностей массовой и объемной сил:

L p = }ѵ-

Поверхностные силы. Поверхностными силами называют силы, которые приложены к частицам поверхности s, ограничивающей рассматриваемый объем V. Фактически поверхностные силы яв­ ляются результатом попарного взаимодействия всех частиц, вхо­ дящих в объем V. Действительно, в силу равенства действия и про­ тиводействия неуравновешенными остаются только силы от частиц,, лежащих на наружной поверхности объема.

Рассматривая окрестность выделенной точки А на поверх­ ности s (рис. 30), используем понятие вектора плотности поверх­

верхности As. Индекс и указывает, что вектор рп приложен к пло­ щадке As, имеющей по отношению к объему V внешнюю нормаль п. Вектор рп не должен в общем случае совпадать с нормалью п.

Вектор рп является функцией координат" х, у, z и времени t, но.в отличие от вектора fm (или /у) не является однозначной функ­ цией координат. Для разных площадок, проходящих через одну и ту же точку, вектор рп может принимать различные значения, поэтому, кроме координат точки, надо дополнительно указать поло­ жение площадки As в пространстве, т. е. нормаль п.

55-

Величина рп имеет в гидрогазодинамике особое значение: это полное гидродинамическое давление в жидкости в данной точке. Если вектор рп просуммировать по всем точкам замкнутой по­ верхности s, ограничивающей объем V, то получится главный вектор поверхностных сил

ной силы. Если проектируется вектор плотности поверхностной силы рп (рис. 30), то касательную составляющую именуют каса­ тельным напряжением т, а, нормальную составляющую (обратную по знаку — нормальному давлению) напряжением а.

Общая формула для гидродинамического давления рп связывает значение рп, которое действует на произвольную площадку, имею­ щую нормаль п, с такими же гидродинамическими давлениями рх, Ру, рг, которые действуют в той же самой точке, но на площадки, перпендикулярные трем координатным осям х, у, г. Нисколько не ограничивая общности явления, возьмем площадку As в виде тре­

56

Рассмотрим условие динамического равновесия тетраэдра. Со­ гласно принципу Даламбера сумма всех сил, приложенных к телу, включая и силы инерции, должна равняться нулю. Сила инерции равна величине

кости, постоянная в пределах объема Д V. Действующие силы раз­ делим на две группы: массовые с плотностью fm и поверхностные рп, Рху Руг Рг> считая их в пределах тетраэдра постоянными. Главный вектор массовых сил тогда равен величине / т р Д V, главный вектор поверхностных сил по замкнутой поверхности тетраэдра:

рп A ABC + рхАОВС + ~ру АОAB - f ргАОСА.

Между гранями существует геометрическая связь:

АОВС = — ААВС cos (п, х);

АОАВ = — ААВС cos {п, у);

АОСА = — ААВС cos (/7, z).

57

Знак минус в правой части стоит потому, что углы между нор-

.малями тупые. Условие равновесия тетраэдра запишется следую­ щим образом:

Пусть объем тетраэдра стремится к нулю таким образом, чтобы точка О слилась с точкой К- При таком предельном переходе пер­ вый член в равенстве окажется бесконечно малым по сравнению с остальными и в результате получится формула, справедли­

вая для любой жидкости,

векторов (в данном случае рх,

Тру, Pz) прямоугольной прямо­

моугольный координатный трехгранник x', у', z' и трижды

Совокупность трех векторов поверхностных сил рх, ру, рг прямолинейной прямоугольной системы координат х,_у, z, которые могут быть преобразованы в три вектора рх>, р,у, рг> другой си­ стемы координат х', у', г', при использовании формулы (39) опре­ деляет тензор гидродинамического давления в данной точке. Если для каких-либо трех векторов нельзя получить правило преобра­ зования, аналогичное формуле (39), то это будет просто совокуп­ ность векторов, а не тензор.

Векторы рх, ру, р2 называются составляющими тензора в коор­ динатных осях x, у, г. Через проекции на оси координат эти век­ торы записываются так:

Рх = °л-.ѵ-і + ЪуІ + "^xzk;

(40)

38

В двойном подстрочном индексе первая буква обозначает коор­ динатную ось, к которой перпендикулярна рассматриваемая пло­ щадка, а вторая буква — ось, которой данное напряжение парал­ лельно, так как величина хху действует по площадке, перпендику­ лярной оси X, и направлена параллельно оси у. Далее будем обо­ значать сокращенно

Таблица из девяти величин, являющихся коэффициентами при единичных ортах

"^уг — ^zy

Следовательно, для вычисления полного гидродинамического давления рп в данной точке вязкой жидкости необходимо знать шесть величин: три касательных и три нормальных составляющих напряжения.

Назовем давлением р в данной точке вязкой жидкости среднее значение нормальных напряжений сжатия на поверхности сферы с центром в рассматриваемой точке при стремлении радиуса е сферы к нулю, т. е. (рис. 33)

4п

где da — элементарный телесный угол с вершиной в центре сферы; /г — внешняя нормаль к сфере (совпадает с направлением радиуса);

ds

ds = еа sin ф dq> dû и da = —^- — sin ф <іср dû.

59