книги из ГПНТБ / Бекнев В.С. Газовая динамика газотурбинных и комбинированных установок учеб. пособие
.pdfРабота в единицу времени Ej электромагнитного поля над электрическими зарядами, заключенными в единице объема, будет считаться положительной, если поле передает электрическим за рядам свою энергию, как например, при движении жидкости в ка нале МГД-насоса. Если же поле воспринимает кинетическую энергию движущихся электрических зарядов, то работа поля будет отрицательной. Такие условия соответствуют работе МГДгенератора, где электрические заряды движутся в результате движения всей массы жидкости, которая, в свою очередь, движется под действием срабатываемого теплового перепада.
Работа вектора объемной плотности пондеромопюрной силы fv
над единицей объема движущейся проводящей жидкости за время dt
~fv (v dt) = V (j X В) dt.
Если рассмотреть движение жидкости в канале МГД-насоса, то работы Ej и fvv будут положительными, а разница между ними будет равна диссипации, т. е. рассеянию энергии движущихся электрических зарядов в результате их столкновений с другими частицами. Эта диссипация является джоулевым (омическим) нагревом. Для определения его величины раскроем значение электрического тока / в выражении Ej через обобщенный закон Ома (без учета скольжения ионов). Тогда
Е] |
= |
-1(Ъ X В) + |
/ (7 xB)=JL |
+ v (j X В). |
Член j |
(/ |
X В) равен нулю, так как в смешанном произведении |
имеются одинаковые векторы. Физически это означает, |
что |
элек |
||||
трический ток Холла не создает омического |
нагрева. |
Разность |
||||
величин Ej |
и ѵ (/ X |
В) = fvv, |
являющаяся |
джоулевым |
тепло |
|
выделением в единице |
объема, равна /2 /а. |
|
|
|
||
Итак, для |
канала МГД-насоса |
справедливо |
равенство |
|
Ej = -Ç+~f ѵѵ.
Если рассматривать МГД-генератор в сравнении с МГД-насосом, то Ej и fvv будут отрицательными, а величина /2/сг по-прежнему будет положительной. По абсолютной величине fvv >> Ej, так как работа пондеромоторной силы тратится на создание энергии элек тромагнитного поля и на омический нагрев. В этом случае спра ведливо равенство
-fv-v = |
Ê~]+JL. |
100
Интегральная форма записи уравнения энергии представляет собой математическую запись формулировки, изложенной на стр. 97 применительно к выделенному объему V:
V
= { fvv dV4r\ |
p„vds + |
j dLv |
+ J Qnds + |
j Qv dV. |
(85) |
V |
s |
V |
s |
V |
|
В этой форме записи принято, что работа в единицу времени (мощность) внешних сил складывается из работы различных объем ных и поверхностных сил и механической работы. Мощность пондеромоторных сил магнитного поля входит в первый член выра жения, а работа сил трения — во второй член справа. Подведен ная к единице объема за единицу времени через окружающую поверхность теплота Q состоит из теплоты от теплопроводности QT,
конвекции QK и излучения С1 І Э Л : Q — QT + QK + С„3л- Теплота Qv выделившаяся в рассматриваемой единице объема за единицу времени, включает в себя теплоту джоулева нагрева С д ж , теплоту химических реакций Qx„„, теплоту реакции диссоциации С д н с с и ионизации Ql f 0 „:
Qv= Сдж ~\~ Схим ~г Qfliicc ~г" СионДифференциальная форма записи уравнения энергии применима
при изучении процесса в окрестности рассматриваемой точки. При этом необходимо, чтобы все функции, описывающие про цессы в окрестности этой точки, были бы непрерывны и диффе ренцируемы. В этом предположении дифференциальная форма записи получается из интегральной следующим образом: левая
часть уравнения (85) с учетом |
того, |
что pdV |
= dm = |
const, диф |
|
ференцируется |
как произведение |
|
|
|
|
^ J ( e |
+ 4 )(p^ ) = |
J i [ |
( e + |
4)(M1/)] |
= |
V
В правой части уравнения (85) все интегралы по поверхности s преобразуются в интегралы по объему V, который включает в себя рассматриваемую точку. Затем объем V стремится к нулю.
Приток теплоты преобразуется по формуле Остроградского — Гаусса:
\ Qnds= J dlvQdV.
Для преобразования работы поверхностных сил в единицу времени конкретизируем геометрическую форму объема V. (Общ ность полученных результатов при этом не нарушается, так как
101
фактически мы проделаем вывод обобщенной формулы Остро градского—Гаусса). Выберем объем V в виде параллелепипеда (рис. 49), имеющего ребра Ах, Ay, Az. Подсчитаем работу в еди ницу времени поверхностных сил, действующих на поверхности рассматриваемого объема:
J |
pnvds |
— j |
[рх cos (n, x) - j - py cos (n, y) -f- p2 cos (n, z)\ vds = |
|
s |
|
s |
|
|
= |
J pxv |
cos |
(n, x) ds -f- |
j " p^y cos (n, г/) ds -f- { Рг^ cos (я, z) ds. |
|
s |
|
s |
s |
Напомним, что в каждом из этих интегралов я является нор малью к элементу поверхности ds, по которой идет интегрирова-
РА Ѵ+ ^(в, ѵ)Лх
Рис. 49. Работа поверхностных сил на гранях выде ленного объема
ние. Вычислим эти интегралы применительно к рассматривае мому объему V путем суммирования подынтегральной функции по шести граням объема V и умножения на площади граней.
В первом интеграле комплекс рхѵ cos (я, х) будет отличен от нуля только на гранях, перпендикулярных оси х, так как на других гранях cos (я, х) = 0. Пусть в пределах левой грани поверхностная сила и скорость постоянны и равны рх и ѵ, а площадь грани As = Ay Az, причем cos (n, x) здесь равен — 1 . В результате интегрирования получаем величину интеграла, рав ную —(px v) Ay Az.
Для правой грани скалярное произведение (рхѵ) может быть получено путем разложения его в ряд Тейлора (до второго члена) вблизи левой грани [cos (я, х) здесь равен + 1 ] . В результате интегрирования по правой грани получаем интеграл, равный
РхѴ |
.dJPxv)Ax |
Ay Az. |
|
дх |
|
102
Итак, первый интеграл оказывается равным - ^ - (рхѵ) Ах Ay Az.
Аналогично вычисляют два других интеграла. В результате ис комый интеграл по поверхности рассматриваемого параллелепи педа может быть записан в виде
J рпѵ(к = |
д (Рхѵ) |
, |
д (руѵ) |
д (ргЪ) |
AxAyAz. |
s |
дх |
' |
ду |
dz |
|
|
|
|
|
|
Проведем и для остальных интегралов уравнения (85) интег рирование по объему Ах Ay Az выделенного параллелепипеда. В силу малости этого объема будем считать, что все подынтеграль ные функции постоянны. Вынесем их за знаки интегралов, в ре зультате под интегралом остается только объем
J dV = AxAyAz;
V
сокращая его в уравнении (85), получим дифференциальную форму записи скалярного уравнения энергии для единицы объема:
d |
|
|
д (рхѵ) |
дІРуѵ) |
д(ргѵ) |
Pit ( e + i r ) = |
^ |
+ |
дх |
ду |
dz |
+ |
L |
v + |
divQ |
•Oy. |
(86) |
Анализ уравнения энергии позволяет уяснить энергетическое взаимопревращение при движении жидкой среды. Запишем урав нение (86), раскрыв частные производные, которые являются ра ботой в единицу времени поверхностной силы, т. е. представив мощность сил трения (рпѵ) в вѵіде двух составляющих:
ÉL |
— дѵ |
— |
дѵ . - dv , j . -~ |
dt ' |
P x ~дх |
•Py |
dy- + P dzz + |
+ Р Itd |
|
|
|
+
0.(87)
Нетрудно заметить, что нижняя строка представляет собой уравнение движения единицы объема, умноженное на скорость ѵ, поэтому она равна нулю. Следовательно, верхняя строка также равна нулю. Таким образом, в уравнении (87) представляется возможность проанализировать отдельно обе строки.
Скалярное произведение |
дрх |
|
дру |
дРг |
V может быть |
||
|
|
|
дх |
1 |
ду ' 1+dz |
|
|
преобразовано подобно уравнению движения Навье—Стокса к виду |
|||||||
(dp» |
I |
д£у , |
д£г |
V = |
—V grad p |
|
|
дх |
' |
ду |
dz |
|
|
|
|
+ |
- T T Ц grad (div v) - f ц (Au) |
(88) |
103
Напомним, что |
|
|
|
|
|
|
•H |
V = |
Vj |
- f Vyj |
|
- f v~k. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P.V- = |
cr.vi + |
T |
w |
/ - f %Ji\ |
|
|
Pz = W |
+ Та д / + <X,Â> |
||||
где |
|
ï |
n |
dvx |
|
2 ,. - . |
°X = — P |
|
|||||
+ |
2(i ^ |
- |
-g" fi dlV 0, |
|||
= |
—P + |
2 |
^ |
- |
- g- ц divu, |
|
a2 = |
—p - f 2ц ^ |
- |
— ц div7; |
|||
|
т * * |
^ V ду ^ |
|
дх ) ' |
Таким образом, нижняя строка уравнения (87)
р It |
( " V ) = |
І ѵ + Ä'"— " § r a d р + |
|
-f- |
- i - |
grad (div v) -f- P-u (Ли), |
(89) |
a это означает, что полное изменение кинетической энергии еди ницы объема р - ^ " ( - т г ) происходит в результате:
1) механической (внешней) работы над объемом;
2) работы объемных сил [в случае пондеромоторных сил элек тромагнитного поля fvv = v (/ X В)];
3) перемещения объема под действием сил р неуравновешен
ного |
давления v grad p; |
|
|
|
4) |
перемещения |
объема в результате |
его увлечения |
(тор |
можения) касательными составляющими |
поверхностных |
сил, |
||
т. е. составляющими |
сил вязкого трения или силами трения |
[два |
последних члена в уравнении (89)1. Часть мощности, затрачивае мая на преодоление сил трения, не переходит в теплоту (не днссипируется).
Итак, нижняя строка уравнения (87) может быть истолкована как уравнение движения для единицы объема без учета внутренних энергетических процессов в объеме.
104
Изменение энергии единицы объема вследствие внутренних энергетических процессов описывается верхней строкой уравне ния (87). Раскрывая в ней скалярное произведение, получим
— дѵ |
- |
|
дѵ . - |
дѵ |
|
|
, dv - |
дѵ -. , |
да , |
|||||||||
|
|
|
ду |
|
1 |
r z |
dz |
' |
|
|
|
|
|
- s - |
7 + |
— |
« |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ÔZ |
|
|||
|
|
|
|
|
|
+ |
дД = —pdivü-f-дД, |
|
|
|
(90) |
|||||||
где рД — скалярное |
|
выражение; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
рД |
= |
2р. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
+ W |
|
+ |
|
( 2 ^ ^ |
- |
|
\ |
V- d ' v о) / + |
V * ~dy"du |
|
||||||||
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jxdiv о |
£ |
dvdz_ |
|
||
-*{*[№'+{%)'+{%)']~т«*-#+ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
V 5y |
|
1 |
dx) |
' |
\ |
dx |
dz |
) |
\ |
ôt/ |
|
dz / |
J " |
||||
Таким образом, |
верхняя |
строка |
уравнения |
(87): |
|
|||||||||||||
|
|
р |
ds |
+ |
pd\vv |
- |
= |
|хД + |
— |
|
Qy,, |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
div Q + |
|
|
а это означает, что полное изменение внутренней тепловой энер гии р —ду— единицы объема и работа р divu деформации единичного
объема под действием сил давления р происходит в результате:
1) деформации объема касательными составляющими поверх ностных сил, т. е. вязкими силами или силами трения, работа которых в единицу времени равна цД. Эта величина целиком переходит в теплоту и диссипируется в жидкости. Функция Д называется в связи с этим диссипативной функцией;
2) |
подвода теплоты Q в объем |
через его поверхность; |
|
3) |
выделения теплоты Qv |
внутри объема. |
|
Форма записи уравнения энергии через энтальпию і единицы |
|||
массы удобна при инженерных расчетах. Имея в виду, что |
|||
|
de = cv dT; di |
— ср |
dT; ср — сѵ = R |
и используя уравнение состояния |
RT = ~ р ~ . получим |
||
|
de = cpdT — RdT |
= di — d ( - | - ) . |
105
Подстановка de в уравнение (86) дает:
+ l(P£)+Lv |
+ d-lvQ + Qv_ |
Дифференцируем первый член правой части выражения:
р Л \ р / |
Й |
Р dt |
dt |
|
6Г"Ч " |
p |
d < • |
||
Величину dp/d^ |
находим |
из |
уравнения неразрывности |
||||||
|
$ |
+ |
p divü |
= 0 . |
|
|
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p~d7 ("£") = |
W +~vëraàp |
- f p d i v ü . |
|
|
|||||
В случае стационарности |
процесса |
= |
0 и |
с |
учетом соот |
||||
ношений (88) и (90) |
уравнение для энтальпии |
принимает вид |
|||||||
р Чі (' + "Т") = ^ |
+ [ 4 " g r |
a d ( d i v ^ + ц Л "] " + |
|||||||
|
+ |
+ |
^ |
+ divQ + |
Qy. |
|
|
(9.1) |
В соответствии с физическим смыслом уравнений (87) и (89) можно сказать, что мощность трения, равная
31 p,grad (div V) - j - Ц Av V,
идет на увеличение кинетической энергии •—- единицы объема,
а мощность трения, равная \хД— на увеличение его теплосодер жания рі.
Уравнение энергии, выраженное через изменение энтропии s, может быть получено из уравнения (87) с использованием соотно шения
Tds = dB + pd (-J-j и уравнения неразрывности
dp dt
Преобразование приводит pк divрезультатуи = 0.
pT^- = d\vQ±iiM + Qv, |
(92) |
показывающему, что рост энтропии обусловлен подводом теплоты, работой сил трения и тепловыделением.
106
При изоэнтропийности движения указанные факторы отсут ствуют и ds = 0. Из термодинамики известно, что энтропия
s = cv |
In |
i^irj + const, |
отсюда |
|
|
ds = |
^jd |
( 4 ) = 0. |
Проинтегрировав выражение в пределах изменения состояния |
||
системы, имеем: |
|
|
4 |
= |
const. |
Pft |
|
|
Полученные различные |
формы дифференциального уравнения |
энергии можно проинтегрировать вдоль линии, выбранной в жидко сти. Наиболее интересным является случай, когда за линию ин тегрирования выбирается струйка тока.
Уравнение энергии для струйки тока в предположении, что все факторы, описываемые членами в правой части равенства (91), 'отсутствуют, получается из условия
Интегрирование дает i + - T J - = const. Остается показать, что
величина const во всех точках вдоль линии тока одна и та же. Положим, что движение стационарно, тогда от полной произ
водной остается только составляющая конвективная, отражающая изменение от координат
ygrad ( t + 4 ) = |
°- |
|
Это условие означает, что вектор |
grad |
+nFr ) в каждой |
точке направлен перпендикулярно скорости у, т. е. он везде пер- •пендикулярен линии тока. Поэтому величина i -f- -^- будет вдоль
всей линии тока сохранять одно и то же значение.
Обратим внимание на то, что такой же результат был получен при интегрировании уравнения движения вдоль струйки тока.
§ 13. УРАВНЕНИЯ МАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ ~в И ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ВИХРЯ со
Совместное рассмотрение уравнений, описывающих электро магнитное поле, и уравнения обобщенного закона Ома дает воз можность получить зависимость, связывающую вектор магнитной индукции ß только с координатами х, у, г, временем t и скоростью и.
107
В это уравнение не будут входить действующие силы (возникаю щие от наличия электропроводности) и это позволяет анализи ровать дополнительные кинематические особенности электро проводящей жидкости, движущейся в магнитном поле.
Уравнение индукции выведем, используя уравнения (1)—(3)
Максвелла и обобщенный закон Ома (8) (можно использовать |
урав |
||
нение закона Ома с учетом эффекта |
Холла |
и скольжения |
ионов, |
но это усложнит рассмотрение вопроса). |
|
|
|
Исключив электрический ток |
из этих |
уравнений, имеем |
r o t # = o-£-j-o-(â X В).
Найдем Е и подставим в уравнение (2), в результате получим искомое уравнение для магнитной индукции:
Ц- = |
rot (ѵ X Ъ) — rot |
rot H j |
|
или |
|
|
|
^ - = |
rot(üXß) — r o t ( v m r o t ß ) , |
(93) |
|
Отметим, что электрическое поле |
Е, существующее в |
среде, |
|
не входит в уравнение (93) индукции, |
вследствие принятых огра |
||
ничений. |
|
|
|
Если рассматривать случай, когда |
ѵ,„ = const, то ѵ,„ |
можно |
вынести за знак операции rot. Дважды примененная к вектору В операция rot может быть представлена в виде
rot (rot В) = grad (div ß) — Aß.
С учетом уравнения (4) уравнение для магнитной индукции принимает вид]
^ = r o t ( ö x ß ) + vm Aß. |
(94) |
Точно такую же структуру имеет обобщенное уравнение Гельмгольца
^ = rot(uxcû) + vAcû |
(95) |
для гидродинамического вихря скорости со = - у rot ѵ при дви жении жидкости, имеющей кинематическую вязкость ѵ, когда: 1) массовые силы fm имеют потенциал; 2) процесс в жидкости баротропный, т. е. когда плотность является функцией давления
Р = / (Р).
108
Таким образом, результаты, следующие из рассмотрения урав
нения (94), будут описывать свойство не только |
вектора |
индук |
||||
ции В магнитного |
поля, |
но вектора со гидродинамического |
вихря |
|||
скорости. |
|
|
|
|
|
|
Величина \ т — |
1/оцт а |
является своеобразным |
аналогом коэф |
|||
фициента кинематической |
вязкости ѵ и поэтому ее часто называют |
|||||
«магнитной» вязкостью. |
|
|
|
|
||
Уравнения (93) и (94) выявляют причины, вызывающие изме |
||||||
нение вектора В магнитного поля |
и вектора со вихря в |
рассма |
||||
триваемой |
точке пространства, а |
именно: |
|
|
||
1) первый член правой части этих уравнений отражает изме |
||||||
нение поля |
В и вихря со в результате движения |
жидкости, т. е. |
||||
вследствие |
конвекции; |
|
|
|
|
|
2) второй член |
характеризует |
изменение поля |
В и вихря со |
в результате рассеивания их в пространстве, т. е. вследствие процесса диффузии.
Эти утверждения рассмотрены будут более подробно, а сейчас придадим уравнению индукции вектора В (вихря со) еще одну
форму, используя |
векторное |
тождество |
|
|
rot (vxB) |
= vdivB— |
ß d i v V + ( ß V ) v — (oV) B. |
||
С учетом того, что div В = |
0 и div со = |
0, получим: |
||
^ L + |
( 0 V ) ß = d-§F = (Bv)v-Bdivv |
+ vmAB; |
||
|
|
|
|
(96) |
= |
(соѴ) v — со — со d іѵ v - j - vÀco . |
|
Из такой формы записи уравнений следует, что полное изме нение вектора магнитной индукции и вихря также определяется
движением жидкости |
[два первых |
члена правой |
части выраже |
|
ний (96)] и диффузией |
(третий |
член). |
|
|
Запись уравнений индукции |
(93) |
и вихря (96) |
в безразмерном |
виде облегчает отдельный анализ процессов диффузии и кон векции. Представим каждую величину, входящую в уравнение (93),
например вектор |
В, |
в виде произведения масштаба |
В0 на |
безраз |
||||
мерное значение |
В, |
т. е. В = В0В; |
ѵ — ѵ0ѵ; |
x = |
l0x; y |
= l0y\ |
||
z = /0 z; t = t0t; vm |
= v m 0 v m . |
|
|
|
|
|||
Подставим эти выражения в уравнение (96) и учтем, что: |
||||||||
Л,.2 |
|
Л„22 |
~ |
Л,'2 |
дВ0В |
+ |
|
|
~ |
Lö(V) |
|
|
|||||
дх |
|
ду |
|
dz |
|
|
||
|
|
В0 |
|
д2Ъ~ . |
|
|
|
|
|
|
/„ |
|
дх2 |
L |
|
|
|
109