книги из ГПНТБ / Бекнев В.С. Газовая динамика газотурбинных и комбинированных установок учеб. пособие
.pdfДействительная часть полученного выражения представляет собой циркуляцию вектора скорости по контуру обтекаемого тела:
Г = |
(f> (vx dx -f vy dy), |
|
|
с |
|
.a мнимая часть — объемный расход |
жидкости через контур |
|
крыла |
|
|
Q=§ {'охdy |
— ѵу dx) = |
(j) dip = О, |
с |
с |
|
который равен нулю, так как внутри контура источников и стоков по условию нет.
Следовательно, рассмотренный интеграл равен циркуляции вектора скорости по контуру с крыла или по теореме Стокса по любому другому контуру, охватывающему крыло в потенциальном потоке
$>-3Td 2 = r -
с
На произвольный элемент контура крыла действует сила нормального давления pdl-ï, жидкость считается идеальной, несжимаемой, трение не учитывается.
Принимая положительным направление обхода контура про тив часовой стрелки, составим проекции этой силы давления на оси координат:
dPx = —p dy; dPy = p dx.
Давление/j из уравнения Бернулли для несжимаемой жидкости:
Тогда проекция полной силы, действующей на крыло по оси х, получит вид
с |
с |
с |
с |
поскольку интеграл по замкнутому контуру от постоянной вели чины р* = const всегда равен нулю.
Проекция этой силы на ось у
сс
Составим выражение для комплексной сопряженной силы по аналогии с выражением для комплексной сопряженной скорости:
Px-iPB |
= ±jj)v*(dy + idx) |
•220
или
Px-iPtt |
= |
-%-&v*(dx-idy). |
(218) |
Из формулы для производной комплексного потенциала dW
dz |
• IV „ |
|
получим
dz J
Выразив комплексное сопряженное число dx—idy через dz = die'a, получим
dx — idy |
= dlft-ia |
= dze--ia. |
||
Тогда выражение (218) |
примет вид |
|||
|
|
|
к) |
(219) |
|
|
|
|
|
Напомним, что обход контура |
принят против часовой стрелки. |
|||
Формула (219) |
называется |
первой формулой Чаплыгина — |
||
Блазиуса и служит |
для вычисления |
силы, действующей на тело |
||
в потоке с известным комплексным |
потенциалом. |
|||
Выведем формулу для момента этой силы относительно начала |
||||
координат. |
|
|
|
|
Представляя силу, действующую |
на элемент контура, в виде |
|||
|
dPx-idPy |
= |
|
f(ffdz, |
найдем элементарный момент этой силы, причем за положитель ное принимаем вращение против часовой стрелки.
Момент силы относительно начала координат равен вектор ному произведению радиуса-вектора точки приложения силы
ивектора самой силы.
Представляя комплексные числа как векторы, можем записать
_ |
ï |
І |
ь\ |
|
dM = {dM)z= |
x |
у |
О |
x dPy — у dPx. |
|
dPx |
dPy |
0 ! |
|
Запишем произведение
(dPx - |
idPy) (x + |
iy) = (xdPx |
+ ydP„) |
- |
_ i (x dPy |
- y dPx) |
= (x dPx + |
y dPy) - |
i dM. |
Следовательно,
dM + i (x dPx + y dPu) = |
-^(*fyzdz. |
221
Итак, dM равен действительной части (д. ч.) полученного' комплексного выражения, т. е.
а |
полный момент аэродинамических сил, действующих на тело^ |
в |
потоке, |
|
(220) |
причем интегрирование ведется по контуру обтекаемого тела. Формулу (220) называют второй формулой Чаплыгина—Бла- зиуса. Она служит для вычисления момента, действующего на помещенное в поток тело. Этот момент дает направление линии
действия силы, найденной по формуле (219).
Формула Hi Е. Жуковского 1
для подъемной силы крыла в равномерном потоке
Формула для подъемной силы крыла в равномерном потоке была получена Н. Е. Жуковским задолго до появления формул Чаплыгина—Блазиуса. Однако ее можно получить как частный случай формулы (219), применяя ее к обтеканию крыла равномер ным на бесконечности потоком со скоростью ѵ0.
Представим комплексный потенциал потока в виде суммы двух потенциалов:
W (z) = vaz + W0 (z),
где v0z — комплексный потенциал равномерного «невозмущен ного» потока; W0 (z) — комплексный потенциал дополнительного потока, который отражает «возмущение» потока внесенным в него крылом.
Производная dW/dz также складывается из^двух слагаемых:
причем второе слагаемое характерно тем, что может быть пред ставлено в виде ряда Лорана по отрицательным степеням z, так как оно по физическому смыслу задачи должно стремиться к нулю при удалении от крыла, расположенного в окрестности начала координат.
1 |
Изложенный вывод формулы H . Е. Жуковского принадлежит проф. |
В. |
В. Уварову. |
222
Итак, подставив в формулу (219) выражение (221), получим
Р , - и > , - Ц [ 4 + ъ . & + № ) г ] а , =
• • ф ^ + Ъ ф ^ л + ф Ч ^ ) ' * " -
с с с
Первый интеграл равен нулю, так как берется от постоянной величины, третий интеграл также равен нулю, так как в резуль тате возведения в квадрат разложения в ряд Лорана подынте гральное выражение будет содержать только степени ниже минус лервой, а второй интеграл можно представить в виде
ф ^ * = ф > + ^ - ) * - $ £ * - г .
с |
с |
с |
|
Следовательно, |
получаем |
|
|
|
Рх — ІРУ |
= ірѵ0Т, |
|
•откуда |
Рх = 0; |
Р„ = — р о 0 Г . |
(222) |
|
Формула (222) называется формулой H . Е. Жуковского. Сило вое воздействие равномерного установившегося потока идеальной несжимаемой жидкости на крыло сводится к силе, направленной перпендикулярно к скорости потока в бесконечности. Эта сила называется подъемной силой. Сила сопротивления Рх равна нулю, так как рассматривается идеальная жидкость.
По правилу Жуковского направление подъемной силы опреде ляется поворотом вектора скорости ѵ0 на прямой угол против направления циркуляции (на что указывает знак минус в формуле Жуковского).
В формуле Жуковского наибольший интерес представляет определение величины и направления циркуляции Г.
Подход к определению Г был разработан совместно С. А. Ча плыгиным и H . Е. Жуковским и носит название постулата Чаплыгина—Жуковского об обтекании задней острой кромки лрофиля.
Постулат Чаплыгина—Жуковского об обтекании задней кромки профиля
В § 27 были рассмотрены способы получения различных про филей путем отображения окружностей из плоскости с, в пло скость z при помощи функции
223
Эта функция отображает не только контур окружности в кон
тур профиля, |
но также переводит все линии тока из плоскости £ |
в плоскость |
z. |
При этом линии тока остаются линиями тока, а линии равного потенциала остаются линиями равного потенциала. Это следует из
того, что при |
отображении |
|
|
|
|
||
или |
|
W (z) = W [z (P ] = |
W (£) + с |
|
|||
(Ф + пр )г = (ф + п|,)£ + (С± + /С2 ). |
|
||||||
Тогда |
|
||||||
|
ф2 = ф; + Сг; % = Ф£ + С2 . |
|
|||||
|
|
|
|||||
Кроме того, |
эта функция |
показывает, что скорости |
потоков |
||||
в бесконечности |
в обеих |
плоскостях |
одинаковые. |
|
|||
В самом деле, пусть в плоскости |
£ в бесконечности имеем ско |
||||||
рость У 0 , а комплексный |
потенциал |
потока в плоскости |
£ пусть |
||||
будет W (£). Тогда комплексная сопряженная скорость в беско |
|||||||
нечности в плоскости £ |
|
|
|
|
|
||
|
|
dW |
_ |
|
|
|
|
|
|
~dT £ - > r a - y ° i - " V |
|
||||
В плоскости |
профиля |
получим |
|
|
|
||
|
|
|
dW |
dW/dt, |
|
|
|
|
|
|
dz |
dz/dl |
|
|
|
где - | - = 1 - |
R«-Il\ |
|
|
|
|
|
|
Для |
бесконечно удаленной |
точки |
плоскости £ |
|
|||
|
|
dz |
= 0 — £ - ) |
= 1 - |
|
||
|
|
dt |
|
||||
Но, |
очевидно, что при £ —> оо и 2 —> со. Следовательно, для |
||||||
плоскости z получим |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
_ dW |
|
^0= — l v o n |
|
|
d2 |
V0x |
— lV0y |
— |
|
|
ИЛИ
v0x = W0t И V0y = ü o t ) .
Итак, функция отображения z = £ -+- -^- сохраняет скорости
потока в бесконечно удаленных точках обеих плоскостей и пере водит поле линий тока из плоскости окружности в плоскость профиля.
Рассмотрим подробнее обтекание симметричного профиля Жу ковского потоком со скоростью ѵ0 под углом атаки а0. Пусть этому профилю соответствует окружность R3 в плоскости £ (рис. 117). Критические точки 1 и 2 располагаются на концах диаметра, проведенного под углом а0 к оси | . Поле линий тока
224
получается симметричным. Также симметрично распределяются скорости и давления по контуру окружности R3. Следовательно, сила воздействия потока на контур окружности равна нулю. Циркуляция скорости по контуру окружности также равна нулю вследствие симметрии обтекания. Это все находится в полном соответствии с формулой Жуковского
Р = - р и 0 Г .
Отображение из плоскости £ поля линии тока в плоскость z показано на рис. 117. Критические точки займут положения 1г
и2Ѵ
Рис. 117. Линии тока при бесциркуляционном обтекании симметричного профиля и исходной окружности
Обращает на себя внимание характер обтекания задней кромки профиля. Поток здесь поворачивается на 180°, огибая острие. Такой поворот потока в действительных условиях осуществить невозможно из-за инерционности жидкости. Только при очень малых скоростях течения (ѵ0 < 1 см/с) возможен крутой поворот потока.
Если проанализировать обтекание острия с математической точки зрения, то получим, что комплексная сопряженная скорость в точке Ах профиля
что дает
( |
d\V |
\ |
_ \ dt, JA _ |
( V % ~ I Ü ^ A |
|
\ |
dz |
)А>~ |
0 |
Ö |
- 0 0 |
В данном случае использован очевидный факт, что в точке окружности, которая не совпадает с критической точкой 2, ско рость потока не равна нулю.
15 |
В . С. Бекнев |
225 |
Обтеканию профиля будут отвечать такие линии тока, при
которых поток не огибает острие профиля, |
а сходит |
с него |
||||||
(рис. 118). В этом случае |
критическая точка 2 на контуре |
окруж |
||||||
ности перемещается в точку 2', совпадающую с точкой А. |
Такое |
|||||||
перемещение |
можно получить |
при помощи |
наложения на поток |
|||||
в плоскости |
£ дополнительной |
циркуляции |
(см. § 26) с |
интен |
||||
сивностью |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г = 4nR3v0 |
sin аК р, |
|
|
|
||
где а к р |
— угловое перемещение |
критической |
точки из положе |
|||||
ния 2 в положение А, соответствующее острию профиля. |
|
|||||||
Для |
симметричного |
профиля |
Жуковского |
а к р = а 0 . |
|
Эта дополнительная |
циркуляция при отображении переходит |
||||
в плоскость |
z с той же интенсивностью |
Г. |
|||
В самом деле, течение вектора скорости по произвольной |
|||||
линии MN |
выражается |
интегралом |
|
||
|
N |
N |
|
N |
|
I |
— j " v dl = |
j ~ vxdx |
-f- Vydy = |
J" dq — q>N — <pM. |
|
|
M |
M |
|
M |
|
Поскольку |
при отображении |
W (z) = W (£) + С, то |
|||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
(ФЛГ — Ф м ) г = (ФЛГ — |
Фм)с. |
Замыкая линию MN в контур, получим вместо течения век тора скорости по линии MN циркуляцию вектора скорости по контуру, т. е.
Г, = ГС .
Итак, мы можем найти циркуляцию Г при обтекании теорети ческого профиля, полученного отображением окружности из плоскости £ в плоскость z, при условии схода потока с острия
226
профиля. Это условие схода потока с острия профиля и назы вается постулатом Чаплыгина—Жуковского.
Постулат Чаплыгина—Жуковского позволяет найти величину и направление циркуляции Г скорости по контуру обтекаемого профиля, а следовательно, величину и направление подъемной силы. Условие схода потока с острия профиля соответствует усло вию получения конечной скорости в точке Аг профиля. В этом случае в точке А окружности поток будет" иметь нулевую скорость, тогда
п о = V* ( е + |
( с - ^ У + ^ m (g |
|
Раскрывая неопределенность, |
получим комплексную сопря |
|
женную |
скорость в точке Аг профиля. |
|
Для |
симметричного профиля |
(см. рис. ПО) такой расчет дает: |
V,
т. е. скорость потока при сходе с задней острой кромки имеет конечную величину и направлена по касательной к контуру профиля.
Если профиль имеет конечный угол заострения задней кромки, то поток сходит с острия, но скорость схода потока должна быть равна нулю, так как при подходе к точке Аг (острие профиля) сверху и снизу скорости имеют разные направления, а в точке Ах скорость может быть только одна, т. е. должна равняться нулю.
При наличии закругленной задней кромки точка схода потока неопределенна; принимают, что она расположена симметрично по отношению к касательным, проведенным к верхнему и нижнему обводам профиля. Скорость в точке Ах получается равной нулю по той же причине, что и для конечного утла заострения.
Подъемная сила профилей крыла Жуковского
При помощи постулата Чаплыгина—Жуковского можно найти величину и направление циркуляции при обтекании профилей крыла Жуковского.
Рассмотрим профиль крыла Жуковского (рис. 119) и соответ
ствующую ему окружность радиусом R5 в плоскости |
£. |
|||
Пусть поток в бесконечности имеет скорость ѵ0, |
направленную |
|||
под углом а 0 |
к оси \. Проведя через центр окружности |
диаметр |
||
под углом а о к оси \, получим критическую точку |
2 при |
бесцир |
||
куляционном |
обтекании. Угловое перемещение |
этой |
точки из |
|
15* |
|
|
|
227 |
положения 2 в положение А, соответствующее острию профиля, равно а к р , причем
а «р = а 0 + б,
где ô — конструктивный угол, зависящий от положения центра отображаемой окружности, т. е. от формы профиля крыла Жу ковского.
Если R — расстояние от начала координат до точки A {R входит в формулу отображения г = £ + R'2/Q, а /г— отрезок, отсекаемый на оси ц радиусом О'Л, то
Рис. 119. Линии тока при обтекании профиля крыла Жуковского
Радиус окружности, дающей профиль крыла Жуковского, можно подсчитать по формуле
R5 |
0 |
= А Ц - |
- f b, |
|
smô |
' ' |
где b — смещение центра окружности по радиусу (отрезок 0'0Х ). Следовательно, циркуляция скорости при сходе потока с острой
кромки может быть найдена по формуле Г = AnRBv0 sin (а0 + б).
Величина подъемной силы определится по формуле Жуков ского
Р = 4nR5pvl sin (ос0 4- ô)
или, вводя в расчет хорду крыла I я» 4^ 5 ,
|
|
Р = 2nl sin (а„ - f ô) ~ . |
|
(223) |
||
|
Как видно из формулы (223), подъемная |
сила |
Р увеличивается |
|||
с |
ростом: |
угла а0 атаки, |
скорости |
потока |
на |
бесконечности у 0 |
и |
хорды |
I профиля при |
заданном |
б. |
|
|
228