книги из ГПНТБ / Бекнев В.С. Газовая динамика газотурбинных и комбинированных установок учеб. пособие
.pdfнз уравнения (108) индукции
|
|
|
дВх |
|
0; |
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
дВу |
= |
В0х |
дѵ |
у |
•В„ |
dvx |
(112) |
|
dt |
|
|
|
dx |
""'J 'дх |
|
||
|
dB'z |
= |
В, |
|
dvz |
|
|
|
|
dt |
|
|
дх |
|
|
||
из уравнения (109) Максвелла |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
дВх |
= |
0. |
|
(113) |
|
|
|
|
dx |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
ар'
Произведем в первом из уравнений (ПО) замену в члене -~—, используя соотношение (105), в результате чего это уравнение примет вид
dv'x = |
а" . |
dp' |
1 |
дВ'у |
dt |
Po |
дх |
р0(Мѵла)о о у |
дх |
Дальнейшее рассмотрение полученной системы проведем прежде всего для
того частного случая, когда магнитное поле отсутствует (В = 0). Возмущение параметров среды при отсутствии магнитного поля (обычная
гидрогазодинамика) будет описываться только такими уравнениями:
дѵх |
а* |
дѵу |
= 0; |
dvz |
= 0 |
(114) |
dt |
~Р7 дх |
dt |
|
dt |
|
|
|
|
dv |
|
|
|
(115) |
|
dt |
— Po' dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Интегрирование второго и третьего уравнении (114) показывает, что в приня той схеме распространения малого возмущения (плоской волной) возмущения скорости ѵ' и ѵ'г постоянны. Если первое из уравнений (114) продифференциро-
вать по X, а уравнение (115) по і, |
то, исключив производную ^ ^ > имеем |
|
|||||
|
д-р' |
dV |
|
|
(116) |
||
|
dt" |
dx2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||
При |
перемене порядка дифференцирования |
получается уравнение для опре |
|||||
деления |
возмущенной скорости |
ѵ': |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx°- |
|
|
|
117) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнения, аналогичные выражению (117), |
носят название волновых. Их ре |
||||||
шением |
является любая функция f, |
имеющая |
в качестве аргумента |
выраже |
|||
ние (л: + |
at). |
|
|
|
|
|
|
Покажем, что величина а является скоростью распространения малого воз |
|||||||
мущения |
вдоль оси ж. Возьмем для определенности в качестве решения |
уравне |
|||||
ния (116) выражение p' = f (х — at). |
Введем новую переменную X = |
х |
—at, |
||||
тогда получим, что р' = / (X), и постоянное возмущение в координатах |
|
(p', |
X) |
||||
не будет |
зависеть от времени. Обратимся к рис. 54, где в координатах |
(х, |
р') |
120
изображено графически возмущение р' как в момент времени t |
= |
0, так и через |
|||||||||||||||||
некоторый |
промежуток |
времени |
At в момент времени t= |
tu |
Проведем |
также |
|||||||||||||
ось X, которая совпадает по направлению с осью х, |
но для удобства изображена |
||||||||||||||||||
ниже этой оси. В момент времени t = |
0 фиксированной точке х0 |
оси х, в которой |
|||||||||||||||||
находится |
возмущение р', соответствует по формуле X = |
х — at точка оси X, |
|||||||||||||||||
также численно равная значеншоХ0 = ,ѵ0. В момент времени tx |
точке ,ѵ0 оси х |
||||||||||||||||||
будет по формуле X = х—at |
соответствовать |
точка |
на осп X, |
численно |
рав |
||||||||||||||
ная значению (А-0—atx). |
На рис. 54 это положение |
изображено |
со |
смещением |
|||||||||||||||
в точку t\ оси времени t. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Координатная |
ось |
х — неподвижна, |
следовательно, |
рассмотренное |
соот |
||||||||||||||
ветствие точек |
|
на |
осях |
х и X возможно только в случае |
движения |
оси X |
|||||||||||||
вдоль |
положительного |
направления |
оси |
х со |
скоростью |
а. |
Поскольку |
||||||||||||
в движущейся системе координат |
(p', X) |
постоянное возмущение |
не зависит от |
||||||||||||||||
времени t, то скорость а |
|
, |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
||||||||
будет |
являться |
|
скоростью |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
распространения |
малого воз |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
мущения |
вдоль |
|
положитель |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ного направления оси х. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
След |
волны |
возмущения ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
оставляет |
на плоскости (х, t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
линию, |
уравнение |
которой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х^ |
||||||
имеет |
вид |
х — at = |
const. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Вдоль |
|
этой |
линии |
зна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
чение |
возмущения |
сохраня |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ется постоянным; |
на |
этой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
линии |
интеграл |
волнового |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
уравнения |
|
принимает |
по |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
стоянное |
значение. |
Линия |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
X—at = const называется ха |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
рактеристикой |
волнового |
ура |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
внения. |
Часто |
говорят, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
малые |
возмущения |
распро |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
страняются |
вдоль |
своих ха |
|
Рис. |
54. |
Распределение малого |
возмущения |
||||||||||||
рактеристик. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Скорость распространения малых возмущений а называется |
|||||||||||||||||||
скоростью |
распространения |
звука, |
а |
рассмотренный тип возму |
|||||||||||||||
щений — звуковой |
волной. |
Согласно |
принятому |
ранее |
обозначе |
||||||||||||||
нию (104): а = |
У dpi dp. |
Опытные данные показывают, что в сжи |
маемом газе процесс распространения звуковой волны является
адиабатическим, т. е. plpk |
= const. Если газ подчиняется уравне |
|
нию состояния p = |
pIRT, |
то plpk = const и тогда |
т. е. скорость звука |
зависит от свойств газа и его температуры |
в рассматриваемой точке.
Если газ не подчиняется уравнению pip = RT, то в техниче ских задачах уравнение состояния часто записывают в виде p/p = zRT и скорость звука в реальном газе определяют по формуле
а = УЩДТ,
где k0 |
( діпр |
\ = |
объемный |
показатель адиа |
|
\д\пѵ |
Л |
||||
|
|
|
|||
баты; пт |
= — (di n pld In ѵ)т — показатель |
изотермы; z — коэф |
|||
фициент |
сжимаемости (см. гл. I). |
|
|
121
В несжимаемой жидкости, для которой величина |
dpidp —* оо, |
|||||||||||||||||||
значение скорости звука бесконечно велико. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Различная скорость распространения бесконечно малых воз |
||||||||||||||||||||
мущений |
в жидкости |
и |
газе |
(а —> оо или |
а = |
У dp/dp) |
влечет |
|||||||||||||
|
|
|
|
за собой существенные |
изменения |
|
поля |
|||||||||||||
|
|
|
|
обтекания тела потоком газа по сравне |
||||||||||||||||
|
|
|
|
нию |
с |
потоком |
жидкости. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
В несжимаемой жидкости поле ско |
||||||||||||||||
|
|
|
|
ростей |
и давлений |
вокруг |
|
тела |
уста |
|||||||||||
|
|
|
|
навливается |
|
мгновенно, |
в |
|
сжимаемой |
|||||||||||
|
|
|
|
жидкости |
|
постепенно |
|
(со |
|
скоростью |
||||||||||
|
|
|
|
звука), по мере того, как упругие воз |
||||||||||||||||
|
|
|
|
мущения от поверхности тела дости |
||||||||||||||||
|
|
|
|
гают все более удаленных областей по |
||||||||||||||||
|
|
|
|
тока. Однако в дозвуковом и |
сверх |
|||||||||||||||
|
|
|
|
звуковом |
потоках |
поле |
распростране |
|||||||||||||
|
|
|
|
ния малых |
возмущений |
различно. По |
||||||||||||||
|
|
|
|
ясним это на примере движения в газе |
||||||||||||||||
|
|
|
|
с различной |
скоростью |
материальной |
||||||||||||||
|
|
|
|
точки (рис. 55). Малое изменение давле |
||||||||||||||||
|
|
|
|
ний, возникшее в покоящейся точке, |
||||||||||||||||
|
|
|
|
распространяется |
во все стороны равно |
|||||||||||||||
|
|
|
|
мерно со скоростью а и через |
время |
t |
||||||||||||||
В м |
|
|
будет находиться на сферической по- |
|||||||||||||||||
\ |
|
верхности радиуса at. Пусть точка нач- |
||||||||||||||||||
— |
j |
J— |
|
нет двигаться |
со скоростью ѵ, меньшей |
|||||||||||||||
|
|
|
|
скорости |
звука |
а. За |
время t возмуще |
|||||||||||||
|
|
|
|
ние, |
исходящее |
из |
точки, |
|
достигнет |
|||||||||||
|
|
|
|
сферы |
радиуса |
г — at, а |
источник |
воз |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
мущений |
сместится |
за |
это |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
время |
на |
отрезок |
vt и, |
сле |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
довательно, |
|
при |
скорости |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
V |
< |
а останется |
внутри |
воз |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
мущенной |
области. |
|
Таким |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
образом, |
возмущения |
опере |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
жают источник. Это означает, |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
что |
|
линии |
тока |
|
начинают |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
перестраиваться |
уже |
перед |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
источником |
возмущений |
и |
|||||||||||
Рис. 55. Движение точечного |
источника |
движущимся |
телом. |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
При |
скорости |
|
V = |
а |
ис |
|||||||||||||
. возмущений в |
газе |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
точник |
возмущений |
|
будет |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
все время находиться |
на сфе |
||||||||||||
рической поверхности постоянного возмущения радиуса |
|
r=vt=at. |
||||||||||||||||||
Возмущенная |
область |
будет |
отделена |
от |
невозмущенной |
|
пло |
|||||||||||||
скостью, |
перпендикулярной скорости |
движения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Рассмотрим |
случай |
движения |
|
|
точки |
со |
|
скоростью |
||||||||||||
122V > а. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как источник возмущения движется с постоянной ско ростью, то пройденный им путь пропорционален времени и ра вен vt, радиус сферы возмущений тоже пропорционален времени и равен at. Сферические поверхности возмущений, соответствую щие положениям источника в разные моменты времени, имеют поэтому огибающую поверхность в виде конуса возмущений (гра ничной волны, звуковой волны, характеристики). За пределы конуса возмущения не проникают.
Если точка неподвижна, а поток движется со скоростью ѵ >• а, то наблюдатель, находящийся вне конуса, не услышит звук от движущегося источника.
Угол при вершине конуса
at |
1 |
vt |
M |
Возмущение параметров электропроводящей среды при нали чии магнитного поля описывается системой уравнений (110)—(113). Прежде всего из первого уравнения (112) и уравнения (113) сле дует, что проекция вектора возмущения магнитного поля наось х постоянна как вдоль направления распространения возмущения, т. е. по оси x, так и во все время движения:
В'х = const.
Совместить эти два условия можно только тогда, когда const =
= 0. Поэтому во время |
распространения возмущения вдоль всей |
||
оси х величина Вх будет |
постоянна. |
|
|
Оставшиеся уравнения |
разобьем |
на две группы: |
|
дѵ, |
|
Box |
|
|
|
дх |
|
dt |
|
Р о ( Ц / п а ) о |
|
|
|
|
(П8) |
|
dt |
дх |
|
dt |
а- |
ар' |
|
|
Вру |
, ЛИ* |
||
"Р7 |
дх |
Ро |
(Мліа)о |
дх |
||||
|
|
|
дВ'„ |
|
||||
|
dl |
|
Вп |
|
|
|
|
|
|
Po ( И т а ) о |
|
|
дх |
|
(П9) |
||
|
др' |
|
|
|
дѵ'ѵ |
|
||
|
= |
~ Ро- |
|
|
||||
|
dt |
|
X |
|
|
|||
|
dB, |
|
|
|
дх~ |
|
|
|
|
|
дѵ± |
|
|
На*. |
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
dt |
В Ох' дх |
|
|
В °У |
дх |
|
|
В группу уравнений (118) входят переменные ѵ'г, B'z, а в группу |
||||||||
уравнений (119) — переменные ѵ'х, ѵ'у, В'и, |
р'. Для каждой группы |
уравнений будут получены свои независимые волновые уравнения-
123
Это означает, что возмущения ѵ'г, B'z и ѵх, ѵу, ßy, p распростра няются независимо одно от другого. Скорости их распространения получили названия альвеновских (магиптогидродинамических) и
магншпозвуковых соответственно.
Альвеновская волна является специфическим явлением магнит ной гпдрогазодинамнки и не имеет аналога в обычной гидрогазо динамике. Путем дифференцирования первого уравнения (118) пол', а второго по t, а затем наоборот, может быть получено два волно
|
вых |
уравнения: |
|
|||
|
|
д% |
= |
иАх |
д'в, |
|
|
|
|
||||
|
|
дГ- |
дх- |
|||
|
|
dt- |
— |
UАх |
дх- |
|
|
где иДх=В0хіу |
Po((xma)o— |
||||
|
скорость |
|
распростране |
|||
|
ния |
м а гн итог идроди и а- |
||||
|
мической |
волны |
вдоль |
|||
|
оси |
X. |
|
|
|
|
|
Как |
видно |
в |
альве- |
||
Плоскость волны |
новской |
волне |
|
изменя |
||
|
ются только скорость и |
|||||
Рис. 56. Волна Альвена |
магнитное |
поле. Термо |
||||
|
динамические |
парамет |
ры—плотность и давление при таких возмущениях неизменны, сле довательно, волна Альвена возможна и в несжимаемой жидкости.
Напомним, что в принятой нами схеме распространения воз
мущения (рис. 56) вектор В0 |
в начальный момент времени лежит |
в плоскости ху, а жидкость |
неподвижна. Возникшие возмущения |
v'z и B'Z перпендикулярны в рассматриваемый момент как к направ лению вектора В0 магнитного поля, так и к направлению движения самого возмущения. В этом смысле альвеновская волна — волна поперечная. Скорость ее движения вдоль оси х равна проекции век
тора UA = |
BJYPQ |
(і1тв)о> являющегося |
«групповой» скоростью |
волны, на |
эту ось. |
Если вектор В0 поля |
перпендикулярен оси х, |
то передвижение альвеновского возмущения вдоль оси х отсут
ствует. |
|
|
Решение уравнений |
(118) |
приводит к зависимости |
|
|
в' |
v = |
|
-j- const, |
2 |
У |
Ро ( И т а ) о |
так что возмущение скорости вызывает возмущение магнитного поля и наоборот.
Возникновение волны Альвена может быть пояснено простым рассуждением. Предположим, что вектор В0 совпадает с осью х {рис. 57) и пусть в точке А в неподвижной жидкости возникла
124
пульсация скорости ѵ'г. В результате взаимодействия пульсации v'z с вектором В0 магнитного поля вблизи точки А возникнет местный электрический ток / м = a (ѵг X ß 0 ) , который замыкается двумя петлями, лежащими в плоскости ху.
Взаимодействие тока / м с полем ß n вызовет в окрестности
точки А пондеромоторную силу fv = / M ß 0 . тормозящую рассма триваемый объем и гасящую пульсацию ѵ'г в этой точке. В окре стностях же точек D и С возникшая пондеромоторная сила вы зовет пульсации скорости в направлении оси z и т. д.
Таким образом, возмущение скорости v'z, возникшее в точке А, начнет распространяться в обе стороны от этой точки параллельно силовым линиям поля В0.
Пульсация скорости приве дет также и к пульсации
поля B'z. |
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
Магнитозвуковые |
волны |
|
|
J |
r i |
|
||||
(быстрая |
и медленная |
волна) |
|
|
|
|
|
|||
являются еще двумя возмож |
|
|
|
|
|
|
||||
ными |
типами |
возмущений, |
|
|
|
|
|
|
||
существующих в проводящей |
|
|
|
|
|
|
||||
жидкости. Обратимся к урав |
Рис. |
57. |
Возникновение |
магнитогидроди- |
||||||
нениям |
(119), |
продифферен |
|
|
намической |
волны |
|
|||
цируем первое и второе из |
|
|
|
|
|
|
||||
них по времени t и подставим |
в |
них значения дВ'у/dt |
||||||||
dp'ldt |
из |
третьего и |
четвертого |
уравнений: |
|
|
||||
|
|
dt2 |
|
|
У + |
|
0! |
Bby |
dx- |
|
|
|
Ро |
(И'"а)о |
|
( N a ) o |
|
||||
|
|
dx2 |
|
Po |
(120) |
|||||
|
|
|
ид VУ |
в 1 |
d-vУ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
dt2 |
Po (tlma)o |
dx2 |
|
Po (Pma)o |
dx2 |
|
|
Аналогично продифференцируем третье и четвертое уравнения по времени и подставим в них значения dv'Jdt и dv'yldt из первого и второго уравнений:
d-p' |
= a" |
d2P' |
В |
d'By |
|
ât- |
dx2 |
|
dx2 |
(121) |
|
|
B0ya2 |
|
4 |
d2B |
|
|
|
|
|||
dt2 |
Po |
dx2 |
Po ( № ) o |
dx2 y |
|
Таким образом, для двух пар переменных получаются две пары связанных волновых уравнений. Представляет интерес скорость плоской волны, с которой распространяются рассматриваемые возмущения. Найти эту скорость можно следующим образом. Рассмотрим систему уравнений (121). Будем считать, что пере менные р' и By описываются комплексными выражениями вида:
р'е''<**-<•»>; By Ву& |
(122) |
Эта запись соответствует закону изменения переменной ве личины, распространяющейся плоской волной. Здесь р' и ~В'У —
комплексные амплитуды; со — круговая частота, |
характеризую |
||||
щая волну, так что соТ = 2л (Т — период); k — |
волновое число, |
||||
которое равно скорости изменения |
фазы волны |
с расстоянием, |
|||
т. е. число волн, укладывающихся |
на отрезке длины, |
численна |
|||
равном 2я, так что кХ — 2я, где К — длина волны. |
|
||||
Напомним, что непосредственный физический смысл |
комплекс |
||||
ного |
представления переменных имеет лишь вещественная часть |
||||
этих |
выражений. |
|
|
|
|
Ранее мы убедились, |
что для рассматриваемого типа уравне |
||||
ний любая функция от аргумента |
(х — ut) представляет собой |
||||
волну, движущуюся в положительном направлении |
оси х со |
||||
скоростью и. Аргумент |
наших переменных |
|
|
||
|
/г•x. |
— со/ = k (^Х |
f" > |
|
|
следовательно, и = со//г представляет собой скорость (фазовую) движения плоской волны вдоль оси x, которую нам надо вычис лить на основе анализа волновых уравнений (121).
Для этого подставим выражения (122) в уравнения (121). Выполнив дифференцирование, получим систему двух уравне
ний относительно амплитуд р' и В'у:
со2 р' = |
a2k2ç>' |
B0yk- |
|
||
(Иша)о |
|
||||
|
|
|
|
||
co2 ß,, |
|
•Ви |
BoUa-k" |
|
|
|
Po |
|
|||
Ро (Ил |
|
|
|||
При дифференцировании |
следует |
учесть, |
что величина а = |
||
= У kRT и постоянна. После |
преобразований получим: |
||||
(и2 — а2) р' • |
В0у |
В'у = 0; |
|||
(Мл |
|||||
|
|
|
|
||
Вру0? р' |
|
|
/ Л , ß ' = 0. |
||
Ро |
|
|
|||
|
Ро |
( И т а ) о / |
и |
Найдем фазовую скорость и. Для этого воспользуемся условием существования нетривиального решения данной системы уравне ний. Оно состоит в том, что определитель, составленный из коэф
фициентов при неизвестных |
р' и Ву, |
должен быть равен нулю; |
|
(и2 — а2) |
Вou |
|
|
(И/ла)о |
|
|
|
|
|
= 0, |
|
ВруО2 |
|
ВІ |
|
|
|
||
Ро |
Ро |
( М т а ) о |
|
126
где
« A = ВаіУ Po ( [ i m a ) 0 ; = ^ О . / / Po (И - та)о -
Аналогичный результат получается и из рассмотрения урав нений (120).
Таким образом, получено уравнение, из которого можно опре делить величину фазовой скорости и. Напомним, что корни биквад ратного уравнения
X4 +рх* + q = 0
Uy |
- |
|
|
"Б 1 fM |
|
аих
|
|
а>иА |
|
|
а<иА |
|
|
|
|
||
Рис. |
58. |
|
Годограф скоростей |
распространения малых |
воз |
||||||
|
|
|
|
|
|
мущений и |
|
|
|
|
|
могут быть записаны в виде выражения |
|
|
|
|
|||||||
|
|
х= ± |
т ( ^ _ р + 2 Ѵ ^ ± ] / " - р - 2 Ѵ ^ ) І |
|
|
||||||
что применительно к нашему случаю дает: |
|
|
|
|
|||||||
ив |
= |
± |
J |
( ] А 2 |
- f 2аиАх + |
и\ + ]/~ о? — 2аиАх |
+ |
ы2 |
) ; |
||
" м |
= |
± |
у |
( ] / " а2 + |
2аиД д . + |
м2 — ] / " а2 |
— 2а«Л ѵ |
- f и\ . |
|||
Фазовая |
скорость |
« Б |
распространения |
возмущения |
соответ |
||||||
ствует быстрой магнитозвуковой |
волне, а фазовая скорость им — |
медленной магнитозвуковой волне. Существование этих волн
возможно, если одновременно могут изменяться |
переменные ѵ'х, |
|||
v'y, By, |
p'. |
|
|
|
При |
исчезновении |
магнитного |
поля быстрая |
магнитозвуковая |
волна |
превращается |
в обычную |
звуковую волну: |
|
|
|
иБ—> а при |
5—> 0, |
|
127
а медленная магнитозвуковая волна исчезает с исчезновением магнитного поля:
иы— > 0 при В —> 0.
Сравнительное представление о соотношении трех типов ско ростей дает диаграмма на рис. 58. Магнитное поле В0 на ней на
правлено по оси х\ в зависимости от направления движения волны |
|
будут получаться различные соотношения между |
величинами |
трех типов волн. Следует напомнить, что диаграмма |
построена |
для случая отсутствия днсснпативных эффектов. |
|
В ионизированном газе существует явно выраженная ани зотропия в распространении малых возмущений. Это отчетливо иллюстрируется диаграммой (в частности, из диаграммы видно, что когда возмущение распространяется перпендикулярно ма гнитному полю, альвеновская и медленная волны исчезают и остается только быстрая магнитозвуковая волна). Когда распро странение возмущения идет параллельно магнитному полю, су ществуют все три типа волн.
§ 15. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СКАЧКА УПЛОТНЕНИЯ
Основные уравнения
В различных технических задачах приходится иметь дело с так называемыми скачками уплотнения или ударными волнами. Скачки уплотнения возникают в сверхзвуковых потоках при на ложении малых (звуковых) возмущений как при внешнем обте
% а) |
б) |
Рис. 59. Образование скачков уплотнения:
а — при внешнем обтекании; б — при течении D к а н а л е
кании тел (рис. 59, а), так и при течении в каналах (рис. 59, б). При детальном анализе структуры скачка уплотнения было най дено, что параметры газа при переходе через скачок изменяются чрезвычайно резко (рис. 60). Толщина скачка А составляет не сколько длин свободного пробега молекул и измеряется в ангстре мах. Практически область перехода через скачок можно считать
128
математически тонкой поверхностью, при этом параметры газа на ней терпят разрыв. В этом случае для анализа течения через ска чок нельзя воспользоваться дифференциальными уравнениями не разрывности и движения, которые были выведены выше для непрерывного распределения параметров потока по координатам и времени.
Для решения задачи при наличии поверхности разрыва рас смотрим три основных уравнения механики: уравнение сохране ния массы, уравнение импульсов и уравнение сохранения энергии в применении к массе газа в объеме V с поверхностью s, которая
переходит |
за |
время |
dt |
= |
= t.2 — tt |
из |
положения |
Ѵг |
|
в положение Ѵ2 (рис. |
61). |
|
Рис. 60. Изменение плотности газа |
при |
Рис. 61. Произвольный объем газа |
|||||
переходе через |
скачок |
уплотнения |
|
до |
и после скачка уплотнения |
||
В соответствии с |
уравнением |
сохранения массы запишем |
|||||
|
|
j |
pdV— |
J |
pdV^O. |
|
|
Уравнение |
импульсов |
|
|
|
|
||
[ pvdV— |
J pv dV = |
— \dt |
j pnds. |
|
|||
vs |
|
|
к, |
|
t, |
s a) |
|
Знак минус появляется потому, что внешняя нормаль п к по |
|||||||
верхности s (f), |
взятой |
в произвольный |
момент времени |
tx <Zt < |
|||
•< to, направлена противоположно давлению р. Силами |
тяжести |
и напряжениями сдвига пренебрегаем, т. е. рассматриваем не весомую невязкую среду.
Уравнение энергии для выделенной массы газа запишем в виде
|
|
|
|
|
и |
|
J { ^ + |
cvT)pdV |
~ |
\ (j£- + C o 7 ) p < W = |
- \ d t |
J p~nvd%. |
|
Все три записанных уравнения можно объединить в одно сим |
||||||
волическое |
уравнение |
|
вида |
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\bdV— |
\bdV=— |
\di I |
ends, |
(123) |
9 В. С. Бекіев |
129 |