книги из ГПНТБ / Бекнев В.С. Газовая динамика газотурбинных и комбинированных установок учеб. пособие

§ 7. ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ

ИЕГО СВОЙСТВА

Выше было введено понятие о потенциальном движении и

екции скорости. Следовательно, вместо нахождения трех неизвест­ ных функций ѵх, ѵц, ѵг задачу можно свести к определению одной неизвестной функции.

Потенциал скорости есть кинематическая функция, характери­ зующая собой потенциальное движение жидкости. Каждому потенциальному потоку соответствует собственный потенциал скорости ф (.V, у, z, і), причем жидкость может быть как несжи­ маемой, так и сжимаемой.

Покажем, что потенциальное движение несжимаемой жидкости обладает рядом важных свойств. Эти свойства вытекают из того

ческой функцией.

Докажем, что потенциал скорости ф для несжимаемой жидкости не может иметь экстремума внутри жидкости. Для этого покажем, что проекция скорости на любое направление равна производной от Ф по этому направлению, т. е. ѵп = дуідп.

Возьмем в жидкости произвольное направление я и вектор скорости V и составим скалярное произведение

va = ѵп = ѵх cos (il, x) -f- vy cos (л, y) - j - vz cos (п., z).

Затем продифференцируем функцию ф по п, тогда

40

Сравнивая полученные выражения, будем иметь

Воспользуемся формулой Остроградского — Гаусса и заменим в ней ѵп = dcp/d/7, учитывая, что div ѵ = 0, тогда

J vnds = J - ^ - ds = J divörfV = О,

т. е. для несжимаемой жидкости

s

Итак, предположим, что в некоторой точке M значение ср имеет максимум. Окружим эту точку достаточно малой сферой так, чтобы вся сфера была внутри жидкости. Тогда для каждой точки сферы будем иметь

и, следовательно,

s

что противоречит условию (26). Аналогичные рассуждения можно провести и для случая минимума.

Следовательно, функция ср не может достигать экстремума внутри жидкости. Однако она может получить наибольшее или

Следовательно, компоненты скорости при потенциальном тече­ нии не могут иметь экстремума внутри жидкости.

41

При доказательстве второй части свойства также рассмотрим новую функцию

ская энергия Т массы жидкости при потенциальном течении меньше кинетической энергии Т' при любом непотенциальном течении, т. е. Г' — Т >> 0 при условии, что нормальные составляющие ско­

Кинетическая энергия массы при потенциальном потоке

г - J ' 4 " - - И [ ( £ ) * + ( £ ) ' + ( £ ) > .

Как известно, уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости при любом течении имеет вид div ѵ = 0, т. е. для вихре­ вого потока

43

а для потенциального потока

Откуда

Аналогично

V-(f)! 4°-f)2 + 2»»f-2(f)';

Оф

~~дг

Преобразуем в правой части последние два интеграла. Послед­ ний член в равенстве (30) можно преобразовать так:

! I[(ï)'+(îJ+(î)V-! I'îf c

Далее, так как

44

Следовательно, для движения" жидкости с потенциалом ско­ рости надо затратить меньше энергии, чем для движения с теми же скоростями, но без потенциала скорости, т. е. для вихревого дви­ жения. Вихри всегда аккумулируют в себе часть энергии потока, поэтому течение жидкости в турбомашине целесообразно по воз­ можности приближать к потенциальному.

§ 8. ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ ПРИ НАЛИЧИИ ДИСКРЕТНЫХ ВИХРЕВЫХ ШНУРОВ. ФОРМУЛА БИО—САВАРА

В технических задачах часто приходится иметь дело с пото­ ками жидкости, в которых имеются дискретно расположенные вихревые шнуры. Вихревой шнур нельзя рассматривать изолиро­ ванно от всей массы жидкости. Вихревой шнур представляет собой особую область в поле скоростей жидкости. Положение вихревого шнура и интенсивность вращения жидкости в его окрест­ ности можно найти с помощью теоремы Стокса и понятия о цир­ куляции скорости.

Понятие о циркуляции скорости. Теорема Стокса

В векторном анализе имеется понятие о циркуляции Г век­ тора а по замкнутому контуру с, которое формально напоминает понятие работы некоторой силы на пути dl

с

Применяя это понятие к полю скоростей, получим

с

или, раскрывая скалярное произведение векторов ѵ и dl, можем записать

с

46

В случае однозначного потенциала скорости <р, когда интеграл по замкнутому контуру с от ср равен нулю, циркуляция по этому контуру тоже равна нулю.

Другой результат получается при наличии вихревого шнура внутри контура с. Вихревой шнур — это некоторая масса жидко­ сти, вращающаяся как твердое тело вокруг своей криволинейной в общем случае оси. Если ось шнура прямолинейная, то остальная масса жидкости вращается вокруг вихревого шнура со скоростями обратно пропорциональными расстоянию от оси шнура, т. е.

У

Рис.24. Поле скоро­ стей в окрестности вихревого шнура

ѵг = const (рис. 24). При этом скорость жидкости постоянна на окружности радиуса г и циркуляция скорости по контуру с

Г = (j) V aï = (j) vrda — 2nrv = const =j= 0.

с0

Следовательно, потенциал скорости ср в этом случае не может быть однозначным. При каждом обходе вихревого шнура по кон­ туру с, взятому в потенциальном потоке, интеграл возрастает на

Соотношение между циркуляцией скорости и завихренностью внутри контура с устанавливается теоремой Стокса, которая гла­

с точностью до малых высших порядков малости, скорости на сто­ ронах контура можно считать равными соответственно:

для AB

ѵ*т 2 ад: '

47

Таким образом доказана теорема Стокса для элементарного прямоугольного контура. То же самое можно получить и для треугольного контура, например, ABD. Интеграл по BD следует вычислять как от суммы произведений проекций и и dl на осп координат.

Обобщение для произвольного контура проводится следующим образом. Разделим контур с на ряд элементарных контуров пря­ мыми, параллельными осям координат. Площадь s разделится на элементарные прямоугольники и треугольники, гипотенузы ко­ торых сколь угодно близко подходят к отрезкам контура с.

При суммировании циркуляции по элементарным контурам получим циркуляцию по внешнему контуру с, так как составляю­ щие циркуляции по внутренним контурам взаимно уничтожаются.

48

Следовательно, для произвольного контура в плоскости хОу

по всем контурам, охватывающим вихрь, остается постоянной до тех пор, пока контур с не пересечет вихревой шнур, где жидкость

так называемого индуктивного сопротивления крыла конечного размаха, впервые решенная С. А. Чаплыгиным в 1913 г.