книги из ГПНТБ / Бекнев В.С. Газовая динамика газотурбинных и комбинированных установок учеб. пособие

потока растет, а на участке отвода теплоты — падает, что непо­ средственно следует из уравнения (139).

Полное давление р* при подводе теплоты уменьшается (в этом состоит эффект теплового сопротивления), а при отводе теплоты — растет. Это может быть показано на основе рассмотрения полного

Аналогично можно рассмотреть и случай движения газа с тор­ можением. Анализируя результаты, можно сказать, что при дви­ жении газа с теплообменом при подводе теплоты полное давление снижается, а при отводе теплоты оно растет независимо от того, какой поток дозвуковой или сверхзвуковой (однако статическое давление всегда падает как в дозвуковом, так и в сверхзвуковом потоках).

Случай, когда вследствие воздействия подогревом (охлажде­ нием этого явления достичь невозможно) на выходе из трубы дан­ ной длины установится критическая скорость, называют тепловым кризисом. Это возможно как при дозвуковом, так и сверхзвуковом потоках на входе в трубу.

Обозначим через Ѳ = T*DUJTDX степень подогрева газа и опре­ делим предельно допустимое число квх. к р на входе в трубу, вызы­ вающее критическую скорость на выходе из нее для фиксирован­ ного значения 0. Запишем отношение коэффициентов к для вход­ ного и выходного сечений:

170

Используя уравнение неразрывности, состояния и газодина­ мическую функцию т (X) — Т/Т* для k = const, представим отно­ шение скоростей для цилиндрической трубы в виде

(рис. 83). Ускорение потока вызывает увеличение показателя

этого режима. В момент достижения потоком критической ско­ рости показатель политропы п = k, а процесс происходит адиаба­ тически. При дальнейшем ускорении потока необходимо заменить

171

подвод теплоты на отвод, что соответствует протеканию процесса с уменьшением энтропии s потока. Ускорение потока до больших чисел M приближает процесс к изохорическому с п —> оо.

Рис. 83. Линии Редея для течения в трубе с теплообменом

§ 22. ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОПРОВОДЯЩЕГО ГАЗА ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМ ПОЛЕМ

172

Магнитогндродинамическое воздействие — воздействие не эле­ ментарное. В электропроводящей среде, имеющей конечное зна­ чение электропроводности ст, оно слагается из двух неразделимых факторов: джоулева нагрева и действия пондеромоторной силы. Джоулев нагрев является необратимым воздействием, а действие

правления векторов магнитного поля В и электрического тока /.

На рис. 84 изображена схема электропроводящего газа, соот­ ветствующая каналу МГД-насоса (ускорителя), так как элек­ трический ток течет вдоль оси у:

] = У/орті

а направление действия пондеромоторной силы [,п совпадает с направлением скорости ѵ потока (табл. 3). Если изменить на­ правление электрического тока / на обратное, то направление действия пондеромоторной силы /,„ будет противоположно ско­ рости v, что соответствует каналу МГД-генератора.

Для вывода уравнений воздействия удобнее обратиться к ис­ ходной системе (27), (137), (138), отбросив члены, не учитывающие электромагнитное воздействие:

173

Согласно рис. 84,

Im = 7 ( 1 ' Х ^ ) = 7 ßl = îmJ

и направлена по движению газа. С учетом этого мощность

Величина Q,n представляет собой джоулеву теплоту, выде-

1 у*

ленную в единице массы газа и равную — -^-.

В результате уравнения (168) и (169) примут вид

Исключим из уравнения (171) энергии механические величины, для чего вычтем из него уравнение (170), умноженное на ѵ. В ре­ зультате получим

Если уравнения расхода и состояния записать в дифферен­ циальной форме (учтя, что dm = 0, ds = 0, где s — площадь сечения потока), то окончательно будем иметь следующую систему уравнений:

Выразим изменение величин v, p, T, p под влиянием электро­ магнитного воздействия. Для этого используем соотношения:

cp — cv = R, -^- = k,

Р

Для определения изменения ѵ необходимо подставить в урав­ нение (175) значение dp/dx из уравнения (174) и dTldx из уравне-

174

ния (173). Затем значение dpldx, найденное из уравнения (175), следует подставить в уравнение (172), в результате получим

Чтобы найти изменение величины р, необходимо использовать

( M ' - D - g — ( 1 7 8 )

Чтобы найти изменение Т, нужно использовать уравнение (173), подставив в него значение dpldx из уравнения (177), тогда

ѵ ' dx Сррѵ a рср1 4 '

Следует отметить, что аналогичное соотношение можно полу­

и dLm, мех трактовать согласно § 17].

Рассмотрим качественные результаты, следующие из системы уравнений (176)—(179). Первый член справа представляет собой необратимое воздействие вследствие джоулева тепловыделения. Характер этого действия аналогичен действию подводимой извне

Принцип обращения воздействия к данному воздействию не при­ меним в силу его необратимости.

Второй член справа описывает обратимое воздействие от пондеромоторной силы (jxB)x. Знаки перед вторыми членами соответ­ ствуют рассмотренному на рис. 86 движению электропроводящего газа в МГД-насосе, для перехода к режиму МГД-генератора необ­ ходимо их изменить на обратные, что соответствует изменению на обратное направление электрического тока /'. На рис. 87 дана таблица возможных воздействий пондеромоторной силы. Следует обратить внимание, что разгон и торможение потока не всегда соответствуют действию пондеромоторной силы fm вдоль или соответственно против потока.

Воздействие только от пондеромоторной силы возможно лишь в среде с бесконечно большой электропроводностью а, где незна­

175

Для рассмотрения количественных зависимостей необходимо добавить к системе соотношений (176)—(179) уравнение (94) индукции.

В случае стационарного одномерного движения вдоль оси д уравнение (94) принимает вид

Уравнение (180) показывает, что внутри движущейся жидкости величина электромагнитного поля не равна значению приложен­ ных извне полей Е и В, а целиком определяется уравнениями Максвелла.

Рассмотрим в дальнейшем более простой, но технически важ­ ный случай движения потока с малыми числами Rem . Это озна­ чает, что внутри движущейся жидкости можно пренебречь наво­ димыми магнитными полями вследствие текущих в ней токов При этом уравнения Максвелла игнорируются, т. е. игнори­ руется связь между полями Е п В и электрическим током /. Счи­ тается, что электрическое Е и магнитное В поля в жидкости тожде­ ственно равны внешним приложенным полям Е и В, которые вдоль оси X можно задавать произвольным образом с помощью технических устройств. Величина электрического тока в жидкости определяется только законом Ома [формула (8)J.

В результате такой постановки задачи электромагнитное поле служит лишь внешним фактором (подобным трению или теплообмену), оказывающим влияние на параметры потока только через воздействие пондеромоторной силы и джоулева тепловыде­ ления. Поэтому в данной схематизации такое явление, как рас­ пространение альвеновских и магнитозвуковых волн, будет несу­ щественным. Следовательно, для рассматриваемой постановки задачи возмущения будут только звуковыми. Реальность различ­ ных ситуаций, получаемых в результате этих допущений, оцени­ вается, конечно, с помощью уравнения (180).

Рассмотрим электрический к. п. д. процесса н,, под которым будем подразумевать отношение работы электромагнитного поля Ej за единицу времени над электрическими зарядами, заключенными в единице объема, к работе fvv, также за единицу времени объем­ ной плотности пондеромоторной силы /у над единицей объема движущейся проводящей жидкости:

_ Tj

Эта величина может меняться вдоль оси х, так что следует рассматривать местный электрический к. п. д. г|. Для условий, изображенных на рис. 84, было получено, что

~fvv = jBv.

176

Согласно соотношениям (167) получаем, что Ej — Ej и, сле­ довательно,

Е

В МГД-насосе Ej затрачивается на джоулево тепловыделе­ ние /2/ст и преодоление работы fvv, т. е.

В МГД-канале баланс рассмотренных величин таков:

Рассмотрим изменение параметров потока вдоль оси х для случая движения потока с малыми магнитными числами Рей­ нольдса Re,„. Подставим соотношение (181) в формулу (176).

Выражение (182) позволяет утверждать, что для рассматри­ ваемого изолированного электромагнитного взаимодействия при

малых числах Rem имеются две возможности непрерывного пере­ хода через скорость звука. Для этого необходимо, чтобы одно­

иллюстрирующую возможное сочетание параметров при электро­

снии вдоль оси трубы X.

весьма разнообразны и нами не рассматриваются. Уместно только отметить, что при интенсивном джоулевом тепловыделении можно, разгоняя поток, уменьшить число M вдоль оси х. Это объясняется

178

тем, что в формуле M = vlYkRT знаменатель растет более интенсивно, чем числитель.

Рассматриваемый случай движения газа представляет собой энергоизолированный процесс, однако в силу существования джоулева тепловыделения изменение энтропии s отлично от нуля. Показатель политропы этого процесса переменен и полу­

параллельными пластинами (рис. 86). Подобное течение назы­ вается плоским течением Пуазейля. Анализ течения проведем, используя уравнения движения (65) и неразрывности (26); при этом массовыми силами пренебрегаем. Полагаем, что составля­ ющие скорости ѵу и vz

вдоль осей у и z отсутст­ вуют. Тогда из уравнения

является функцией от z : ѵх — vx(z). Вдоль оси у величина ѵх изменений не претерпевает вследствие симметрии течения.

Проектируем уравнение движения на координатные оси. В силу сделанных выше предположений в них остаются только следующие члены:

Из этих уравнений заключаем, что давление р постоянно вдоль осей у и z и является только функцией х, т. е. р = р (х). Отметим, что градиент дрідх = const, так как мы предположили, что ѵх не зависит от х.