книги из ГПНТБ / Бекнев В.С. Газовая динамика газотурбинных и комбинированных установок учеб. пособие
.pdfотображений, позволяющего перейти от известных элементарных потоков к составлению комплексных потенциалов потоков, обте кающих тела более сложных форм.
Преобразование окружности в отрезок прямой
Найдем такую функцию z = z (£), которая преобразовывала бы окружность из плоскости £ в отрезок прямой (пластинку) в плос кости 2 (рис. 108).
Если |
положить z = £ + £. |
где |
£ — точка, |
сопряженная |
с точкой |
£, т. е. t, = \ — Щ, т 0 |
Д л я |
любой точки |
окружности |
радиусом R величина z будет действительным числом, а все точки этой окружности отобразятся в точки, лежащие на отрезке пря мой, длиной AR.
У, ѳ
2R
X
Рис. 108. Отображение окружности в отрезок прямой
Найдем функцию отображения z:
z : |
£ + £ = £ + f = *, + |
Ц ^ |
|
||
Следовательно, при |
£2 -f- т]2 = |
R2 |
получим |
|
|
|
|
R2 |
|
|
(212) |
|
|
|
|
|
|
Выразим координаты хну |
через |
І\ и г\: |
|
|
|
2 = |
(6 + *1)+ |
+ |
=Х |
+ ІУ, |
|
откуда |
|
|
|
|
|
л ; =К1 +і4Ѵ); |
У= Т І 0 — ¥ T W ) - |
( 2 1 3 ) |
D2
Очевидно, преобразование z — % -\- —^- не изменяет поло жение координатных осей. Оси остаются на месте, а масштабы изменяются.
210
Найдем, во что преобразуется произвольная окружность, расположенная в плоскости £, радиусом Rx с центром в начале ко ординат при переходе в плоскость г, причем
*2 I 2 |
г)2 |
Из уравнений (213) получим, что
следовательно,
і_ |
и |
_ р 2 |
2 \ 2 "Г |
/ |
Р 2 \ 2 |
Это есть уравнение эллипса в плоскости г. Большая полуось
эллипса (по оси х) равна |
Rx I 1 -1 |
^-\; малая полуось (вдоль |
||
оси у) равна |
Rx (l |
^ |
|
|
|
|
Ri |
|
|
Фокусное |
расстояние |
эллипса |
равно |
« ( i + - £ ) " - * ! ( i - - § - Y - « .
Следовательно, фокусное расстояние не зависит от выбора
радиуса произвольной окружности Rx |
с центром в начале коорди |
|||||||
нат, т. е. при отображении окружностей |
с Rx |
== R |
получаем |
|||||
семейство |
софокусных |
эллипсов. |
|
|
|
|
|
|
Аналогичные вычисления можно выполнить и для окруж |
||||||||
ностей с радиусами R2 |
<CR, которые |
также переходят |
в |
то же |
||||
семейство |
софокусных |
эллипсов, |
причем |
всегда |
можно |
найти |
||
такие окружности с радиусами Rx |
и |
R2, |
что их |
отображением |
в плоскости будет один и тот же эллипс, а точки 5 и 7 или 6 и 8 плоскости £ (рис. 109) отобразятся соответственно в одну точку плоскости z. Это произойдет в том случае, когда полуоси этих эллипсов будут равны, т. е.
Из последнего равенства после раскрытия скобок получим
откуда
RiRi = R" •
14* |
211 |
Подводя итог полученным результатам, приходим к выводу,
что функция |
г = £ + -£- преобразует окружность радиусом |
R в |
|||
отрезок прямой, а все остальные окружности |
с центром в |
на |
|||
чале координат — в софокусные эллипсы; |
при этом |
получается |
|||
однозначность |
решения. При обратном |
же |
переходе |
получаем |
©
5;7
/3
Рис. 109. Отображение окружности в эллипс
двойственность решения, |
т. |
е. |
каждой |
точке плоскости |
R, |
г |
со |
|||||||||
ответствуют две точки |
плоскости £: одна |
вне |
окружности |
дру |
||||||||||||
гая — внутри |
нее. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Рассматривая |
область |
или внутри, или вне окружности |
радиу |
|||||||||||||
сом R, |
получаем |
также |
однозначность |
решения. |
|
|
|
|
|
|||||||
Симметричный профиль крыла H. Е. Жуковского |
|
|
|
|
|
|||||||||||
Воспользуемся формулой (212) |
и посмотрим, во что отобразится |
|||||||||||||||
окружность |
радиусом R3, |
проведенная касательно |
к |
окружности |
||||||||||||
радиусом R |
с |
центром, |
расположенным на оси £ влево от |
начала |
||||||||||||
координат (рис. ПО, а). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Это |
преобразование |
переводит окружность |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
î]2 + |
(Ê + |
ô)2 = |
$ |
|
|
|
|
|
|
|
в симметричный профиль в плоскости г (рис. ПО, б). |
|
|
Аг |
|||||||||||||
Определим, |
как ведет |
себя |
полученная |
кривая |
в точке |
|||||||||||
плоскости z. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В точке |
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt, |
|
JA |
|
\ |
|
|
' |
|
|
|
|
|
т. е. в |
точке |
А |
нарушается |
конформность. |
|
|
|
|
|
|||||||
Можно |
показать, |
что |
точка |
Аг—-это |
|
точка |
возврата, |
т. |
е. |
|||||||
касательная в точке Аг |
|
при подходе к ней как со стороны нижней, |
так и со стороны верхней полуплоскости направлена вдоль оси х. Следовательно, в точке Ах мы имеем нулевой угол заострения,
что конструктивно невыполнимо.
212
Определим толщину полученного профиля. Наибольшая тол щина его будет там, где dyldx = 0. Наибольшую толщину про филя можно найти приближенно. Так, если b^OAR, т. е. b мало по сравнению с радиусом основной окружности, то приблн-
Рис. ПО. Отображение окружности в симметричный профиль крыла Н. Е. Жуковского
женно можно принять, что наибольшая толщина профиля будет
при |
І |
= —b |
0 |
и т) |
R3. |
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
Л12 |
|
Rj~R' |
= |
(R3-R)(R3 |
+ R) |
|
|
|
|
|
Ri |
|
R3 |
|
|
|
R3 |
т. |
е. |
наибольшая |
толщина |
профиля |
h |
4b. Длина профиля |
||||
l = |
2R + |*|£=_{R,+b) |
= |
2R-{- (R3 |
- j - |
b) 11 |
|
R2 |
|||
|
4R. |
|||||||||
|
|
|
11=0 |
|
|
|
|
L |
|
|
Преобразование окружности в дугу окружности. |
||||||||||
Профиль крыла Жуковского |
с нулевым углом |
заострения |
Для получения профиля Жуковского для крыльев необходимосначала в плоскости отображения получить дугу окружности.. Это получается по той же формуле отображения:
Покажем, что эта формула переводит окружность, проходящую' через точки А и В с центром на оси ц плоскости Ç, в дугу окруж ности в плоскости z (рис. 111, а).
Проведем через точки А и В окружность £Ц с центром, лежа-, щим на оси г).
213
Так как прямая AB является |
хордой |
выбранной окружности, |
то по свойству точек окружности |
угол |
между лучами, соединя |
ющими точку окружности с концами хорды:
= const,
т. е. величина постоянная для всех точек этой окружности. Ее
радиус # 4 = |
Vu2 + /г3 . |
|
|
Определим, |
во что превращается |
окружность /?4 плоскости £ |
|
в плоскости |
z. |
Для этого несколько |
преобразуем функцию ото- |
" |
S) |
Рис. 111. Отображение окружности в |
дугу окружности |
бражения: сначала прибавим, а затем |
отнимем от нее вели |
чину 2R: |
|
2 + 2J? = £ + ^ - f - 2 f l = |
( £ + * ) 2 ; |
2 - 2R = I + - Ç — 2R = {Z-R)* .
Беря отношение этих выражений, получим функцию отобра
жения |
в виде |
|
|
Z — 2R |
(214) |
|
Z + 2R \ Z + R У |
|
|
|
|
Но нами установлено, что условием нахождения точек пло |
||
скости |
£ на окружности радиусом # 4 является |
|
const.
Тогда, принимая во внимание уравнение (214) преобразования,
получим условие расположения точек окружности 7?4 |
плоскости І |
||
в плоскости |
z: |
|
|
Ѳ = а, - |
а2 = arg |
= arg ( - § = £ - ) ' = 2# = |
const, |
т. е. в плоскости z мы получили дугу окружности.
214
Определим |
стрелку |
прогиба |
полученной |
дуги |
окружности, |
||||||||||||
т. е. расстояние |
точки |
/ |
от |
начала координат: |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
У- |
11 |
0—ет^) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Так |
как |
\ |
= |
0, |
то |
у = |
т| ^ 1 — " ^ г ) - |
Д л я |
точки |
/ |
Ч 1 |
= |
|||||
= h - I - |
/?4, |
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
„ |
- |
(h А |
Р\ |
& + |
|
- |
о/, |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Уі |
- |
i'1 |
+ |
«i) |
(/[ + ^ 4 ) 2 |
- |
2Ä • |
|
|
|
|
|
||
Для |
точки |
2 |
Г|2 |
= |
/г— Rit |
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
у, = |
|
|
- f t ) |
^-hJ~-R*=2h, |
|
|
|
|
||||||
т. е. стрелка |
прогиба |
дуги А1В1 |
в плоскости |
z равна удвоенному |
|||||||||||||
расстоянию |
h центра |
окружности |
радиусом |
/?4 в |
плоскости |
£ от |
|||||||||||
начала |
координат. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
В точках А к В условие конформности нарушается, так как |
|||||||||||||||||
производная |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
/, |
R* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в этих точках равна нулю. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Покажем, что при переходе через точку А х |
или Вг |
arg |
(z — |
2R) |
или arg (z -J- 2/?) меняется скачком на величину 2я. Для этого проследим за точкой, движущейся по окружности немного боль шего радиуса, чем R^ (пунктирная окружность на рис. 111, б).
Замечаем, |
что при |
переходе |
из положения |
M в положение |
N |
|||||||||
в плоскости t значение угла ß 2 |
изменяется на 180°. Тогда, согласно |
|||||||||||||
рис. |
111, б, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tf = ß i - ß 2 ; |
|
Ф = ß 2 — ßi . |
|
|
|
|
||||
При M |
и |
N —> В; |
ß{ -» ßj. —> л; |
$'2 |
-> ß 2 |
+ |
я |
и û' |
- f г} = |
я . |
||||
Аналогичные рассуждения |
|
можно провести |
и |
для |
точки |
А. |
||||||||
При переходе к плоскости z в точке Вх, |
пользуясь выражением |
|||||||||||||
(214), |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
или |
|
|
|
|
Ѳ' + |
Ѳ = 2JX |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Ѳ' = |
|
2я — Ѳ. |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Следовательно, |
точки А± |
и |
Вг |
являются |
точками |
возврата. |
||||||||
При этом окружность радиусом /?4 преобразовалась в дугу |
||||||||||||||
окружности |
А1В1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
R5 с цен |
||||
Проведем затем в плоскости |
£ окружность |
радиусом |
||||||||||||
тром |
О', |
касающуюся |
окружности |
радиусом |
R4 |
|
с центром |
Ох |
||||||
в точке А |
(рис. |
112). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
215
Применяя к окружности радиусом Rb преобразование Жуков ского
получим профиль крыла H. Е. Жуковского в плоскости г. Конструктивным недостатком этого профиля является наличие
точки заострения Ах.
Рис. 112. Отображение окружности в профиль крыла H. Е. Жу ковского
Профиль крыла H. Е. Жуковского с конечным углом заострения
В предыдущем примере мы получили на выходной кромке Ах профиля нулевой угол заострения.
Если же воспользоваться другой функцией отображения,
аименно
z — R /К — R Y
z + R \ С + R ) '
что равноценно z = £, то очевидно, что точки Ах и Вх плоскости г не будут точками возврата, и окружность радиусом і?4 в пло скости £ остается окружностью того же радиуса в плоскости г.
Рассмотрим новую функцию отображения:
г — mR z + mR
При отображении с помощью функции (215) скорости пото ков в бесконечности в плоскостях z и £, как и при использо вании функции (212), сохраняются. Для доказательства этого утверждения функция z выражается через £ и затем вычис-
ляется производная - ^ - = |
[ { ^ я)Л_^1Я)т{а |
|
|
Раскрывая неопределенность при £—> оо, получим |
(d/'/d£)œ = l , |
||
что и доказывает совпадение скоростей в оо. |
|
||
Когда |
m = 1, функция |
(215) преобразовывает |
окружность |
плоскости |
£ в окружность |
плоскости г; когда m = 2, эта функ- |
2 16
ция |
преобразовывает окружность плоскости |
£ в |
дугу окруж- |
||
ности |
плоскости |
z. |
|
|
|
Как |
показал |
H . Е. Жуковский, промежуточное значение |
|||
1 < |
пг << 2 будет |
отображать окружность |
/?4 |
плоскости £ |
в двуугольник, состоящий из двух дуг окружности с ненулевым
углом |
заострения ô (рис. 113). |
|
|
|
||||||||
|
При этом функция (215) |
отобра |
|
|
|
|||||||
зит |
окружность |
/?5, |
касающуюся |
|
|
|
||||||
окружности |
|
в точке |
Л, |
в про |
|
|
|
|||||
филь |
крыла |
И. |
Е. |
Жуковского |
|
|
|
|||||
с |
конечным |
углом |
|
заостре |
|
|
|
|||||
ния |
б. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем |
связь |
|
между |
углом |
|
|
|
||||
заострения |
ô |
и |
показателем |
т. |
Рис. 113. Отображение окружности, |
|||||||
Из |
свойства |
возведения |
комплекс |
в |
двуугольник |
с конечным |
||||||
ного |
числа |
в |
степень |
имеем |
|
углом |
заострения |
задней кромки. |
||||
|
|
|
|
a |
v |
4 T T ^ ) |
= |
|
mMr+R)- |
|
При получении профиля крыла H. Е. Жуковского мы уста новили, что точка Ах математически представляет собой точку заострения. Применим эту же методику для рассматриваемогослучая (рис. 114).
© Ѳ
У,
s
Рис. 114. Характер отображения линий в окрестности точки В
Уравнение |
(215) |
может быть записано |
в |
виде |
|
|||||
|
|
Ѳ = |
ах — а а = |
m (Рі — ß2 ) |
= |
т&. |
|
|||
Рассмотрим |
случай, |
когда |
точки |
N и M стремятся к точке |
5,„ |
|||||
а точки Mг |
и А^! •— к точке By. В этом случае для точек M и |
Мх |
||||||||
в пределе |
имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
я; |
ß 2 |
= ß 2 A I |
= ßoN—it; |
|
||
|
|
a-y =• it; |
a2 |
= |
а2 м, = |
a2 w,—(2л—ô); |
|
21T
•следовательно,
Я |
C«2Af, = til (it |
ß s A f ) . |
(216) |
Переход осуществляем по пунктирной линии, обходя особую точку. Аналогично при стремлении точки N\ к точке Вг и точки N к точке В, получим
|
я — (а2М, |
+ 2п — б) = |
m [я — ф2м + |
п ) ] . |
|
(217) |
|||
|
|
|
|
Вычтя |
из |
равенства (217) |
|||
|
|
|
|
равенство |
(216), |
|
|
||
|
|
|
|
|
<5 — 2я = |
—/«я; |
|||
|
|
|
|
окончательно |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
ö = |
(2 — /и) |
я. |
||
|
|
|
|
На |
рис. |
115 |
изображен |
||
Рис. |
115. Профиль крыла |
H. Е. Жуков |
профиль крыла H . Е. Жуков |
||||||
ского |
с конечным^ углом заострения зад- |
ского |
с конечным |
углом ô |
|||||
|
ней |
кромки |
|
заострения |
задней |
кромки. |
|||
Другие методы |
построения |
|
|
|
|
|
|
||
теоретических |
профилей |
|
|
|
|
|
|
||
Рассмотренные выше теоретические профили |
были |
получены |
с помощью конформного преобразования окружности из пло скости L, в соответствующий контур в плоскости z при помощи функций (212) и (215) Жуковского.
Кроме указанных функций отображения, существует ряд более сложных по форме преобразований окружности, дающих также теоретические профили крыльев в плоском потоке несжи маемой невязкой жидкости, например с закругленной задней кромкой или другими особенностями.
Широкими возможностями обладает так называемый метод особенностей, простейшим примером которого является получе ние обтекания цилиндра с помощью диполя в равномерном по токе. Если расположить на каком-либо отрезке прямой или дуге сосредоточенные или непрерывно распределенные гидродинами ческие особенности (стоки, источники, диполи, вихри) так, что эти особенности вместе с набегающим потоком дают замкнутую линию тока, то эту линию тока можно принять за контур обте каемого тела. Следует подчеркнуть, что при подобном подходе замкнутый контур может быть совершенно неприемлемым для технических приложений. Задача определения формы контура называется обратной в отличие от прямой задачи, когда контур тела задан.
Прямая задача будет рассмотрена ниже на примере расчета •обтекания плоской решетки произвольных профилей.
Решение прямой задачи всегда сопряжено с большими вычисли тельными работами, хотя при этом мы имеем дело с технически
218
целесообразными формами. Обратная задача хороша тем, что при удачном подходе она дает решение в замкнутой и удобной для анализа форме.
§ 28. |
ВОЗДЕЙСТВИЕ ПЛОСКОГО |
ПОТОКА |
НА КРЫЛО |
|
В |
основе теории |
крыла |
лежит |
фундаментальная теорема |
H . Е. Жуковского о подъемной силе, которая используется и при |
||||
расчете лопаточных |
машин — осевых |
турбин и компрессоров, |
||
а также при расчете воздушных и судовых винтов. |
||||
Вывод формулы |
Жуковского для |
определения воздействия |
потока на твердое тело методически удобнее всего провести после вывода формул Чаплыгина—Блазиуса.
Формулы Чаплыгина—Блазиуса для определения аэродинамической силы и момента этой силы относительно начала координат
С. А. Чаплыгин и почти одновременно с ним и независимо от него немецкий аэродинамик Блазиус, используя теорию функ ций комплексного переменного, получили формулы для опре деления аэродинамической силы и момента этой силы относительно начала координат.
® 1]/=* const
|
|
X |
Рис. |
116. Произвольный контур в плоскости z |
|
Выведем эти формулы, используя понятие комплексного |
||
потенциала для |
плоского потока W (z). Для |
этого рассмотрим |
в плоскости z произвольный контур с (рис. 116), |
который является |
|
линией тока в данном потоке. |
|
|
Используя понятие комплексной сопряженной скорости, вы |
||
числим интеграл вида |
|
|
с |
с |
|
с |
с |
|
219