книги из ГПНТБ / Бекнев В.С. Газовая динамика газотурбинных и комбинированных установок учеб. пособие

откуда

в этом случае является полным дифференциалом некоторой функ­

Потенциал ср является важной кинематической функцией к широко применяется при анализе течений как несжимаемой, так

исжимаемой жидкостей.

Взависимости от характера изменения параметров потока по времени различают установившееся или стационарное и неуста­ новившееся или нестационарное движение жидкости.

При установившемся движении параметры в данной точке про­

Эйлер считал, что движение жидкости удобно характеризовать полем скоростей в каждый момент времени. Геометрической характеристикой течения по Эйлеру служат векторные линии, которые мысленно проведены в жидкости в данный момент вре­ мени так, что в каждой точке потока вектор скорости направлен по касательной к этой линии. Для неустановившегося движения эти линии постоянно меняются, а в случае установившегося дви­ жения они сохраняются неизменными. При установившемся

В общем случае линии тока не пересекаются, так как в одной точке потока может быть только одна скорость, которая направ-

30

лена по касательной к линии тока. В точке пересечения линий тока скорость должна быть равна или нулю (критическая точка), или бесконечности (особая точка в потоке — например сток или источник).

В непотенциальном потоке можно провести вихревые линии. В каждой точке вихревой линии вектор со направлен к ней по касательной. Если векторы поля скоростей и поля вихрей совпа­ дают или направлены в противоположные стороны, то движение жидкости называется винтовым.

Когда линии тока представляют собой параллельные прямые, то движение называется прямолинейным. Такое движение изу-

Рис. 16. Поле линий тока при обтекании крыла бесконечного размаха неограниченным потоком

чается, например, в приближенной теории линейного МГД-гене- ратора. По нормали к линиям тока параметры потока могут быть непостоянны.

Если параметры жидкости при движении зависят только от одной координаты, то движение называется одномерным. Такой ко­ ординатой может быть расстояние I по оси криволинейного канала. Поперечное сечение этого канала должно быть таким, чтобы параметры жидкости по этому сечению можно было бы считать постоянными. На практике часто приходится иметь дело с осредненными по сечению параметрами жидкости. Одномерное движе­ ние несжимаемой жидкости обычно изучается в гидравлике.

Плоским движением называется такое движение, при котором в жидкости можно выделить такую плоскость, что во всех пло­ скостях, ей параллельных, картина течения будет повторяться.

Параметры плоского течения зависят от двух пространствен­ ных координат. Плоское течение иногда называют двумерным.

Плоское движение можно себе представить, рассматривая обте­ кание крыла бесконечного размаха неограниченным потоком жид­ кости. На рис. 16 дано одно из сечений такого потока плоскостью, перпендикулярной оси крыла.

К плоскому движению можно схематически свести обтекание кольцевой решетки ступени осевой турбины (рис. 17, а) или осевого компрессора (рис. 17, б). Для этого рассекают кольцевую решетку ступени цилиндрической поверхностью определенного радиуса и сечение разворачивают на плоскость. Получается беско-

31

нечная прямая решетка из профилей, соответствующих данному радиусу сечения. Сечение на другом радиусе даст другую решетку с другим расстоянием между профилями (другим шагом решетки t) и другими профилями.

Пользуясь принципом независимости работы решеток сечений, профилируют лопатку осевой турбомашины по радиусу. При профилировании широко исполь­ зуются экспериментальные данные продувок плоских решеток в аэродинамических трубах.

Следует отметить, что детальные исследования течения в ступени турбома­ шины показали, что газ движется не по цилиндрическим поверхностям, а по по­ верхностям, близким к поверхностям вращения с синусоидальной образующей.

6)

Рис. 17. Поле линий тока в плоских решетках:

а — т у р б и н н о й ; б — к о м п р е с с о р н о й

Следовательно, расчет ступени турбомашины по данным продувок плоских решеток достаточно условен, не полно отражает действительную картину течения и должен рассматриваться как первое приближение.

Осесимметричным движением называется такое движение, при котором можно выделить такую прямую, что во всех плоскостях, через нее проходящих, картина течения будет повторяться.

Параметры осесимметричного течения зависят также от двух пространственных координат, но уравнения отличаются от урав­ нений для плоского течения.

32

Осесимметричное течение можно наблюдать в осевых зазорах турбомаінин. Однако при этом надо говорить об осреднениых по сечению параметрах жидкости.

пространственными или трехмерными, так как их параметры

Как уже было сказано, линия тока является основной геометри­ ческой характеристикой течения. Выведем уравнение линии тока.

Для этого воспользуемся условием параллельности вектора

=ѵг (х, у, z, t) считаются заданными.

Время t в этих уравнениях является параметром, определяю­

щим картину векторных линий для данного момента времени. Форма линий тока не определяет структуры течения жидкости.

Для пояснения этого положения рассмотрим два примера. Пусть эпюра скоростей имеет линейный характер (рис. 18).

Такое поле скоростей наблюдается около твердой стенки, обтекае­ мой вязкой жидкостью. На самой твердой стенке скорость равна нулю вследствие «прилипания» частиц жидкости к твердой стенке, затем скорость быстро растет.

Итак, около твердой стенки

ѵх = ку; ѵу = ѵг = 0.

к.

Определим структуру движения жидкости

2 V дх ду ) — 2 ~ и >

Следовательно, течение около твердой стенкн с линейным полем скоростей — вихревое, угловая скорость вращения <м направлена перпендикулярно к линейным скоростям ѵ и пропорциональна

поверхностью тока, через которую жидкость не протекает, и двумя сечениями sx и s2, обычно перпендикулярными скоростям в соот­ ветствующих сечениях (рис. 20). Струйки тока обычно начи­ наются и заканчиваются или в бесконечности, или в области покоя­ щейся жидкости, или в источниках и стоках.

Вихревым шнуром называется масса жидкости, находящаяся во вращении по закону твердого тела. Вихревые шнуры своими концами уходят или в бесконечность, или замыкаются в вихревые кольца или упираются в границы жидкости.

Для доказательства этого положения рассмотрим отрезок вихревого шнура (рис. 21).

34

_ Пусть площади с ечений s± и s2 настолько малы, что векторы

w1 и со g можно считать постоянными для всех точек сечений. Применим теперь к выделенному объему V формулу Остро­

градского — Гаусса

J cods = J àivwdV,

где ds— элемент поверх­ ности, .который имеет на­ правление, соответствую­ щее внешней нормали.

Вычислим

т. е. дивергенция вектора вихря всегда равна нулю. Такое вектор­ ное поле называется соленоидальным.

Рис. 21. Отрезок вихревого шнура

Следовательно, из формулы Остроградского — Гаусса полу­ чаем, что

со ds = 0.

Для вихревого шнура получим

CùjSi -f- co2s2 = 0

или, учитывая направления внешних нормалей к сечениям SJ.II s2,

так как интеграл по боковой поверхности шнура равен нулю в силу

Из равенства (20) видно, что вдоль тонкого вихревого шнура произведение из величины угловой скорости вихря на площадь нормального сечения остается постоянным. Это произведение назы­ вается интенсивностью вихревого шнура. Отсюда же следует, что шнур не может ни начаться в жидкости, ни закончиться в ней.

устойчивой картиной линий тока. Такое движение можно наблю­ дать, например, с помощью введенных в поток струек подкрашен­ ной жидкости. Ламинарное движение может быть как устано­

между слоями определяется силами трения. Напряжение трения

шимся движением, для которого характерен интенсивный массообмен в поперечном направлении. Твердые границы задают лишь направление осредненного движения, на которое наложены пуль­ сации скорости по всем трем осям.

Поперечные скорости способствуют существенному возраста­ нию силы взаимодействия одного слоя жидкости с другим; сила сопротивления при этом возрастает.

В практических расчетах обычно нет необходимости знать мгновенные значения параметров потока, достаточно знать их осредненные по времени значения. Таким образом, изучение неустановившегося движения сводится к изучению осредненного,

ционной скорости или произведения двух величин пульсационных скоростей, то в общем случае получим произведение, не равное

нулю, т. е. ѵ'хѵ'у =h 0.

36

Следовательно, будем иметь

J L dt 1 div (pv) dV = 0.

Последнее равенство действительно для любого, произвольно взятого объема, а следовательно, подынтегральная функция должна быть тождественно равна нулю для любой точки поля тече­ ния, т. е.

Это и есть один из видов уравнения неразрывности. Развернем div (pu), тогда

Следовательно, для несжимаемой жидкости скорость измене­ ния элементарного объема жидкости равна нулю, иначе говоря,

кости по потоку. Для несжимаемой жидкости уравнение нераз­ рывности устанавливает соотношение между изменениями проек­ ций скорости по координатным осям, при котором не нарушается основная гипотеза о сплошности потока жидкой среды.

Уравнение неразрывности является одним из основных уравне­ ний гидрогазодинамики как непроводящей, так и проводящей жид­ кой среды, без которого нельзя решить ни одной задачи о течении сплошной среды.

Втехнических задачах часто приходится иметь дело с течением

вканалах, причем считают, что скорости по сечению канала оди­ наковые (осредненные). В этом случае вместо уравнения нераз­ рывности пользуются уравнением расхода.

•38

Уравнение расхода

Рассмотрим произвольный установившийся поток жидкости и выделим в нем элементарный контур сх (рис. 23). Пусть через точки этого контура проходят линии тока, образующие так называемую

Если для сечения s± скорость составляет тупой угол с внешней нормалью, т. е. ѵп > 0, то для сечения s2 u„ > 0 и наоборот.

Итак, для двух произвольных сечений струйки тока:

Таким образом получено равенство массовых расходов жидко­ сти через произвольные сечения струйки тока.

Если параметры жидкости в сечении s струйки тока считать постоянными (осредненными), то получим уравнение расхода в виде

PlönlSl = P2ö,i2S2 = PönS = COnst.

В практике под сечением s всегда понимают проходное сечение канала, перпендикулярное вектору скорости, и вместо ѵп всегда берут V, т. е. уравнение расхода будет иметь вид

39