книги из ГПНТБ / Булыгин В.Я. Гидромеханика нефтяного пласта

где Ре — забойное давление; рс — расстояние скважины от центра

пласта.

При р = О формула обращается в формулу Дтошои. Следует срав­ нить дебиты скважин, рассчитанные по формулам (II.3.26) и (II.3.31)- Их отношение

Дебит скважин, определяемый по формулам (II.3.26) и (ІІ.З.ЗІ), мало отличается даже при значительном удалении от центра (на поло­ вине расстояния менее 5%) и около контура резко растет.

Для нахождения дебитов п скважин введем следующие обозна­ чения:

Если имеется п скважин, получаем систему линейных алгебра­ ических уравнений

+ <72я і 2 + 17за із + . . . + qna ln = Ci 1

(ІІ.З.ЗЗ)

Яіап1 + Язап2 + ЯзапЗ+ ■ ••+ Яп^п = cn J

Нахождение дебитов скважин сведено к вычислению коэффи­ циентов а , Ь£, с£ по формулам (II.3.32) и решению системы уравне­ ний (ІІ.З.ЗЗ). Вычисления несложно выполнить на ЭВМ без дополнительных упрощений.

При удаленном контуре питания система уравнений (ІІ.З.ЗЗ) обращается в (II.3.30), которую И. А. Парный [110] рекомендует использовать при практических расчетах.

§4. Связь теории функций комплексного переменного

сплоской задачей теории фильтрации

Для исследования фильтрации жидкости в плоских изотропных и однородных пластах широко используется теория функций ком­ плексного переменного. Применение ее дает возможность найти параметры, характеризующие течение для произвольной по конфи­ гурации области.

50

Воспользуемся соотношениями (1.6.5). Предположим, что к, р, Н не зависят от х, у. Тогда

Дифференцируя первое уравнение по х, а второе по у и суммируя, получим

не зависит от порядка дифференцирования и в правых частях (II.4.1) и (II.4.2) получим нули, т. е.

Ар = 0; Дф = 0.

При этих условиях функции р и ф гармонические. Однако для того, чтобы их можно было представить в виде аналитической функ­ ции комплексного переменного, этого недостаточно. Необходимо, чтобы они были еще и сопряженными. Сопряженными гармониче­ скими функциями называются функции, удовлетворяющие условиям Коши — Римана (Даламбера — Эйлера):

Для функций р и ф эти условия не выполняются. Однако для

и мнимая части некоторой аналитической функции комплексного переменного:

F {г) = Ф ф PF.

ассмотрим функцию

=п *.

Представим комплексную переменную z в форме z = г е0г, тогда

F (z) _ Ф + Я = 1а (re«) = £ 1П r + J L Ш;

Отсюда линии тока прямые (Ѳ = const), лучеобразно исходящие из начала координат, эквипотенциали (соответствующие изобарам) — концентрические окружности г = const, с центром в начале коор­ динат.

При z = 0 и z = °о функция обращается в бесконечность. Расход жидкости через замкнутый контур, внутри которого находится источник, будет равен:

? = § <9Фдп dl.

Если начало координат перенести в точку zR плоскости, то по­ лучим

^ K(Z) = | H Z - 0 -

Функция FK(z) называется характеристической Она определяет плоско-радиальное течение жидкости в горизонтальном неограни­ ченном пласте. Используя принцип суперпозиции для п источников, получим

П

откуда находятся следующие выражения для потенциала и функции

тока

П

h=1

k=i

Рассмотрим течение в круге радиуса qK, вызванное п источниками с дебитами gK, расположенными в точках zK и давлением на круге р — р (R , В). В этом случае задача решается с помощью формулы Пуассона — Иенсена. Возьмем ее в виде (II.3.18):

2Я

p ( R , Ѳ )(Д 2 _ Р2)^9

52

ипосле сокращения получаем

т.е. при конформном преобразовании дебиты скважины сохра­

няются. ч- Таким образом, задача о нахождении фильтрационных течений

жидкости в какой-нибудь области сводится к отысканию аналити­ ческой функции, совершающей конформное отображение на канони­ ческую область, для которой имеется формула, решающая задачу. Например, в качестве канонической области может быть взят круг

ирешение дается формулой (II.4.5) или (II.4.6).

§5. Некоторые формулы для нестационарных одномерных потоков

где к = /г/ß*р — коэффициент пьезопроводности.

Полагая, что в (II.5.1) а = 0, приходим к уравнению, которое описывает прямолинейно-параллельное течение к бесконечной, пря­ молинейной галерее. Будем считать, что реализуются условия А. Галерея помещена в начале координат, и заданы давления на стенке

Принимая а = 1 и помещая в начале координат скважину, из (II.5.1) получаем уравнение, которое описывает плоско-радиальное течение жидкости к скважине. Будем считать, что реализуются условия В: заданы дебит скважины q и на бесконечности давле­ ние рп.

Будем искать решение уравнений (II.5.1) в следующей форме [130]:

і Ѵ м

Подставив (II.5.3) в (II.5.1), получим:

54

Дифференцируя выражение (II.5.4), будем иметь:

Подставляя последние выражения в (II.5.5), получим:

Последний интеграл несложно привести к специальным функ­ циям ошибок erfco,,дополнительной функции ошибок erfcco и инте­ гральной показательной функции Еі (—со) [91, 141]:

55-

Решим задачу А для прямолинейно-параллельного движения. •Определим постоянные С5 п Св. Используя условия (II.5.2), имеем ■соответственно:

Решим задачу Б для плоско-радиального движения. Восполь­ зуемся условием при £ = —сю и р = р п. Тогда из (II.5.13) получим Cg = Рп- Подставляя это значение в (II.5.12), будем иметь:

Для нахождения С, определим расход жидкости через стенки »скважины. Считая дебит стока положительным, запишем:

Подставляя последнее выражение в (II.5.16), получим:

4лкНС1 q - р *

Г — W

7 4лкН ’

-а подставляя в (II.5.14), имеем:

Расход жидкости через окружность радиуса г будет равен:

_ тг

-56

Для малых значений аргумента г2/4х( имеется следующее

Большое число задач решено в работе [130], методикой которой мы воспользовались в настоящем параграфе.

Представим (II.5.4) для а = 1 в виде

что соответствует переносу начала координат в точку £ = 0, t = т. Тогда, воспользовавшись (II.5.17), получим:

f r “ 4 л / Г ( 7 - х ) ^

Интегрируя последнее выражение, заппшем:

— это интеграл Дюамеля, выражающий суммарное действие пере­ менного во времени дебита на изменение давления в пласте.

Произведя перенос начала координат в точку, не совпадающую со скважиной [см. вывод формулы (Н.3.19)], и используя принцип суперпозиции, получаем для п скважин следующее:

неограниченного пласта с круговым включением другой проница­ емости, внутри и вне которого расположены источники или стоки.

§ 6. Качественное исследование фильтрации несжимаемой жидкости в однородных и изотропных пластах1

Предположим, что в однородном изотропном безграничном пласте постоян­ ной мощности расположены источники и стоки обильности ѵх, ѵ2, . . ., ѵп. Пусть координаты источников (стоков) будут (хи у г), . . ., (хп, уп). Потенциал ско­ рости фильтрации для несжимаемой жидкости может быть записан в следующем виде:

Л

£=1

1 Раздел, требующий математической подготовки, превышающей требова­

ния программ высших технических учебных заведений. Эти разделы могут быть опущены без ущерба для понимания дальнейшего.

57

-Найдем компоненты скорости фшльтрацші, онн будут равны:

п

_______ у,- (x —X j)

2л [(* -* ,)3 + (y -w )2 ]

1—1

V* ______ Уі (и—Ѵі)_______

У2Л [(X—X,-)3-l-(^-yt-)2] •

назовем характеристиками; 2) точки покоя ( а ß,), в которых правые части

уравнений (II.6.1) одновременно обращаются в нули; 3) бесконечно удаленная

П

точка плоскости. В этой точке характеристика L = —2 V

і=і Рассмотрим некоторые свойства семейства эквипотенциалей. Эквипотѳн-

циали р (х, у) = С в окрестности каждой «точки-скважины» замкнуты п мало отличаются от концентрических окружностей с центром в скважине.

через С. Перенесем начало координат в первую скважину и перейдем к полярным координатам. Тогда получим

где г,-, Ѳ; — полярные координаты скважин; е — достаточно малое число.

В окрестности начала координат — области С, не содержащей внутри ни­ каких других скважин, справедливо неравенство р/г,- <; 1 п имеются следующие разложения:

[г* —2r,-pcos (Ѳ —9/) + p£]fti = / f fei — 2fc,-rfÄi-1p cos (0— G *)+. - .

1=2 чсииая в окружности нулевой точки функция, т. е. найдется такое число М,

при котором В (р, Ѳ) <; М.

Возьмем область С настолько малой, чтобы всюду в ней выполнялось сле­ дующее неравенство:

следовательно, на всяком радиусе найдется одна точка, принадлежащая кривой (II.6.6). Геометрическое место этих точек образует замкнутую кривую, охватывающую источник п содержащуюся внутри крута р — Ъ.

В окрестности бесконечно удаленной точки семейство изобар (когда L ^ 0) представляет собой семейство замкнутых кривых, мало отличающихся от семей­ ства концентрических окружностей с общим центром в начале координат н доста­ точно большими радиусами.

Окрестностью бесконечно удаленной точки — областью С,- будем считать внешнюю часть круга достаточно большого радиуса, содержащего все сква­ жины. В области Сі справедливы следующие неравенства г,/р <; 1 и разложения:

[р2 —2іур cos (0 —0j) + r|J^i = ргЛі -f-2А,£Г,-р2\'-1 cos (0 —Ѳг-)-f-. . .

59