книги из ГПНТБ / Булыгин В.Я. Гидромеханика нефтяного пласта

мической системе координат в окрестности скважины искомая функ­ ция будет близка к линейной, для которой можио применить крупную равномерную сетку. Пусть внутренняя граница — окружность радиуса г = гс с центром в точке 0 ;- и на ней задано граничное зна­ чение Рг=гс = Рз (<), практически не зависящее от угла вследствие малости гс. В операторе L перейдем к новым логарифмическим неза­ висимым переменным, для чего предварительно перенесем начало координат в точку Oj. Замена переменных будет следующей

Все разностные аналоги оператора L x могут быть автоматически перенесены на этот оператор. Проведем несамопересекающиеся зам­ кнутые кривые Tj, принадлежащие области и не пересекающиеся между собой (внутри каждой кривой Г/" лежит одна скважина). Получившиеся двухсвязные области обозначим через Df. Каждую область Dj конформно отобразим на кольце к. Будем отыскивать функцию Uj в области G’ = G (Dj — Df), удовлетворяющую (Ѵ.1.2), и функцию Uj в к , удовлетворяющую преобразованным уравнениям.

При этом в D j, Uj = и. Таким образом, задача отыскания функции в ?г-связной области G с малыми границами свелась к последователь­ ному решению задач сопряжения (п + 1 ) функций при равенстве

граничных значений в области Dj.

Рассмотрим еще два способа решения задачи. В первом исполь­ зуются подстановки § 4, а во втором строятся особые разностные уравнения, отражающие характер изменения искомой функции в ок­

180

где Fi — заданная, непрерывная всюду в области функция, за исклю­ чением точки Оі , где она имеет логарифмическую особенность еди­ ничной мощности, т. е.

1 іт(.Е,-—ln 7'j) = А.

Тогда функция ѵ удовлетворяет уравнению:

П

L 1,t(v) = V ö & v - v b V ° - - z r % = - y2 l L1.t (al, Fe). (V.5.4> i=1

В соотношении (Ѵ.5.3) коэффициенты a-L неизвестны, так как неопределены дебиты скважин. Если они будут определены, то функ­ ция V обладает достаточной гладкостью, как это было показано- в § 4, и для ее отыскания может быть использован метод сеток. Пусть шаг квадратной сетки, покрывающей область D, равен h, и предположим, что на каждой внутренней границе Ck лежит по се­

можно включить в погрешность, начиная только с некоторого значе­

ния R[ радиуса гс. Неизвестные коэффициенты at (і = 1, п) вошли в систему (Ѵ.5.6) для определения функции давления р. Уравнение (Ѵ.5.6) справедливо для каждого узла области D, в том числе и для сеточных точек /с;-, ту, лежащих на Су. Однако значение давления на Су задано и равно pjt 3. Отсюда получаются недостающие п уравнений

Pkjinj = Pj, з (І — 1, ті). Уравнения (Ѵ.5.6) в точках [kj, т- могут - служить для вычисления коэффициентов ау, а значит, и дебитов сква­ жин. Наиболее простые уравнения получаются, если использовать-

181-

Пусть теперь узел (к — 1,/') попадает в центр скважины. Тогда для точки (хк, ук) замена производной д]дх Рь.-ч2,у обычным разностным отношением, без внесения существенной погрешности не имеется. Искомая функция р в р окрестности точки (xk_1, yk) имеет вид:

Из трех последних соотношений и уравнения (Ѵ.5.9) получим:

Аналогично записываются разностные уравнения для трех дру­ гих соседних со скважиной узлов.

Г. Г. Вахитов [31] дает следующее значение величины

, h ’

a in — гс

полученной методом введения добавочного гидравлического сопро­ тивления вблизи к скважине, причем коэффициент а определяется путем математического эксперимента п принят равным а = 1/1п 5 = = 0,6213, или после уточнений заключенным в пределах

0,6213 ^ а ^ 0,6530.

Оценка А. Н. Чекалина ос = 2/я = 0,6366, полученная аналити­ чески, подтверждает этот вывод. Можно показать, что разностное уравнение (Ѵ.5.12) аппроксимирует исходное дифференциальное.

483

§ 6 . Расчеты вытеснения нефти водой

Методы решения задачи о вытеснении нефти водой с учетом капил­ лярных сил по схеме гл. 3, § 1 были разработаны в [143].

Для решения системы уравнений (ІІІ.2.2а) или (III.2.5) предло­ жен метод итераций перемениых направлений. В более поздних рабо­ тах [3, 4, 7] дается модификация этого метода, улучшающая его отдельные детали.

Рассмотрим систему уравнений, состоящую из (III.5.4) и одиого из уравнений (III.5.3). Поставим задачу 5 из § 1. Для решения задачи используем метод продольно-поперечной прогонки с итерацией. А именно, поступим следующим образом.

числим давление для этого полуслоя р(1) h+I/'. Преобразуем (III.5.3) и запишем его в форме:

где I = н, в. Его конечно-разностный аналог можно записать следу­ ющим образом:

184

подставляя значения насыщенности, найденные по (Ѵ.6.2), в функции относительных проницаемостей, вычисляют значение 1\ ni, pk по (Ѵ.6.4). По первому уравнению (Ѵ.6.3) делается прогонка в направлении х и вычисляются значения давления на первом полушаге, которые уточняются итерациями. Затем на следующем полушаге определяется насыщенность и делается прогонка в направлении у с последующим уточнением итерациям. Процесс повторяется до тех пор, пока не будут выполнены следующие неравенства:

Отметим, что при вогиутых кривых относительной проницаемости образуется скачок насыщенности (см. гл. 3, § 6 ). Если он значителен и им нельзя пренебречь при вычислениях, то вблизи скачка ошибки значительно возрастают и непосредственное применение указанных формул не приводит к цели. Для выхода из этого затруднения в ра­ боте [3] применен следующий прием. Расчет насыщенности по фор­ муле (Ѵ.6.2) можно вести, используя насыщенность нефтью или водой, задавая, соответственно, значение индекса «Z = н,-в».

Скачок насыщенности образуется в результате того, что при неко­ торых обычно малых значениях водонасыщениости S ^ S 2 скорость движения изогидры S x становится больше скорости движе­ ния изогидры S 2- С целью перехода этого рубежа проводится сравне­ ние главных членов (Ѵ.6.2), т. е. сравниваются значения

(Л) = (ЛіРь + Л2р*-h ? N kBijU В = (Л1р 'ч -Л 2р » -ІѴ * іі)в.

185