книги из ГПНТБ / Булыгин В.Я. Гидромеханика нефтяного пласта

Г л а в а II

ФИЛЬТРАЦИЯ ОДНОРОДНЫХ ЖИДКОСТЕЙ

ВПЛАСТАХ ГОРНЫХ ПОРОД. ОДНОРОДНЫЕ ПЛАСТЫ

Вглаве рассмотрены условия равновесия и движения однородных жидкостей в пластах горных пород. Для этого используются основ­ ные уравнения теории фильтрации. Подробный анализ движения жидкости проведен для случая, когда и пласты горных пород одно­ родны по физическим параметрам.

§1. Система уравнений, описывающая движение однородной

жидкости

Рассмотрим фильтрацию одной жидкости в пласте горных пород. В § 6 главы I было получено уравнение неразрывности (1.5.5), к ко­ торому присоединим уравнения движения (1.6.11) и зависимости, определяющие плотность, пористость и проницаемость пористой среды. В общем случае последние являются функциями давления и температуры. Однако будем считать процессы изотермическими (влияние температуры рассматривается в § 12 главы III).

Итак, будем считать, что плотность и вязкость жидкости, пори­ стость и проницаемость среды являются только функциями давления:

Тогда мы придем к следующей системе уравнений:

к которой присоединяются (II.1.1) и (II.1.2). Система^ состоит из четырех дифференциальных уравнений и семи уравнений состояния. В дальнейшем мы сократим число уравнений, подставляя зависи­ мости, определенные уравнениями состояния в (II. 1.3).

30

Уравнение материального баланса

Для исследования фильтрации жидкости в нефтяных пластах

в систему (II.1.1)—(II.1.3), необходимы как исходные данные. Встает вопрос, нельзя ли уменьшить число входящих в систему

параметров, а также привести систему к виду, позволяющему опре­ делить искомые величины последовательно. Оказывается, что этого

к одному дифференциальному уравнению относительно функции р. Приведенное к такому виду уравнение неразрывности в дальнейшем станем именовать уравнением материального баланса. Функция р определяется путем решения соответствующей краевой задачи для уравнения материального баланса.

Это наиболее трудная часть решения, компоненты же скорости фильтрации определяются из уравнений движения простым диффе­ ренцированием функции давления и умножением на множители.

В дальнейшем уделим основное внимание решению первой части задачи. Для того чтобы удобно было использовать уравнение мате­ риального баланса, дадим несколько его видов, а также сформули­

известна, то ß*., ß*i имеют вполне определенные числовые значения при заданных р 0; ж, у, z. Можно записать аналогичные выражения и для других функций (II. 1.2), тогда будем иметь

31

В четвертом выражении коэффициенты отнесены к начальной пористости с тем, чтобы привести систему обозначений к употребля­ емым, введенным В. Н. Щелкачевым [127, 129]. Обратим внимание на то, что коэффициенты при вторых разностях давлений и выше должны убывать не менее чем квадраты.,разностей давлений, это следует пз того, что разложения должны быть конечными.

В уравнение (II. 1.3) внесем скорости фильтрации и продиффе­ ренцируем последний член, тогда получим

Подставляя kx, . . . p, из (II.1.6)—(II.1.10) и последние выраже­ ния в (II.1.11), будем иметь:

+ ~ТІГ ^ ~ ^ о ) + . • *] } “I f + PomoU + ߣ(p —Р о ) + - • -IX

х [ і + ^ ( Р - Л ) + . . ■]■£■■

Допустим, что при некоторых значениях разности р — р 0 члены, содержащие ß* (р — p Q), малы по сравнению с предыдущими чле­ нами разложения и могут быть включены в ошибку определения начальных констант. Тогда в левой части следует пренебречь чле­ нами, имеющими ß*(p — р 0) по сравнению с единицей, а в правой —

членом Ржі {р — Ро) п0 сравнению с ß«.

Вопрос о том, будет ли при малых изменениях параметров (ошиб­ ках) мало изменяться и решение, относится к исследованию устой­ чивости уравнения в зависимости от его коэффициентов. Для

32

рассматриваемых уравнений вопрос исследовался и решен положи­ тельно. Учитывая сказанное, получаем

Если насыщенность не зависит явно от времени, получим:

упругоемкостыо пласта. Опустим индексы «О». Тогда из (II.4.12) получаем

а для фильтрации одной жидкости, принимая s = const; кхк* = кх, кук* = ку, кгк* — кг, имеем

Уравнением (II.1.14) будем пользоваться в дальнейшем при изучении движения двухкомпонентных жидкостей (для которых вывод уравнений уточняется в гл. IV). В уравнениях (II.1.14) и (II.1.15) скобки в левой части иногда будут опускаться. Уравнение (11.1.15а) в цилиндрических координатах запишется в следующем виде:3*1

Для однородных пластов получим

§2. Осреднение параметров пласта

I.Прп рассмотрении движения жидкости в пластах горных поро

обычно приходится иметь дело с пластами, мощность которых мала и изменяется плавно, колеблясь около среднего значения.

Для лластов, срединная поверхность которых не является гори­ зонтальной плоскостью, введение приведенного пластового давления равносильно замене моделью, построенной следующим образом.

1.За срединную поверхность принимается горизонтальная пло­ скость П.

2.От плоскости П в обе стороны откладываются половины вер­ тикальной мощности пласта Н.

3.За давление на плоскости П принимается давление, равное

приведенному пластовому давлению, на срединной поверхности (в статическом состоянии равно давлению в любой точке вертикаль­ ной мощности).

4. В плоскости П выбираются направления координатных осей X, у.

При таком построении объемы пласта т сохраняются. Действи­

где zK, zn — аппликаты кровли и подошвы пласта; Н = zK— zn — вертикальная мощность пласта;

F — площадь проекции пласта на горизонтальную пло­ скость.

Сохраняются также площади сечения пласта цилиндрическими поверхностями с образующими, параллельными оси z. Элемент площади сечения в обоих случаях будет равен Hdl, а общая пло­

щадь j H dl, где L — длина кривой.

В частности, Hdy, Hdx — элементарные площадки, перпендику­ лярные осям X жу для элемента пласта и модели. Расход жидкости через эту элементарную площадку выразится следующим образом:

Qx = vxH d y ; Qy = vyHdx,

где

p — приведенное пластовое давление.

34

Вычислим первый интеграл. Применяя формулу дифференциро­

Считая, что мощность меняется около постоянного значения плавно или проницаемость вблизи границы равна нулю (по этому признаку обычно разделяются пласты), последними двумя членами можем пренебречь по отношению к предыдущему. Тогда будем иметь

а, применяя теорему о среднем, к интегралу, стоящему в правой части равенства, получим

Применяя к последнему интегралу теорему о среднем еще раз, будем иметь

я

< п - 2 - 2 >

я

где

(построение этой величины см. в § 5 гл. I).

Аналогично оценивается и второй интеграл уравнения (II.2.1).

— это потеря жидкости через подошву и кровлю пласта. Фильтрация через кровлю и подошву будет происходить, если проницаемость вблизи границы не равна нулю, т. е., вводя потерю жидкости через кровлю и подошву, будем считать Н' ^ О (мощность пласта ме­ няется плавно около постоянного значения).

Наконец, получим

н_

Подставляя оцененные члены в (II.2.1), опустим индекс «ср». Замечание. Встает вопрос о правомерности операции опускания

индекса «ср». Если обозначить

(а)

поставленный вопрос сводится к следующему: можно ли подобрать одну функцию р, чтобы было одновременно

36

Это возможно произвести в некоторой области, в которой за­ даны /і, /а> /з — непрерывные со своими производными. Тогда выра­ жение fid x -f f 2dy + f 3dz является полным дифференциалом и перво­ образная находится интегрированием [107].

Эксперимент и математические расчеты показывают, что в тонких хорошо сообщающихся пластах изменение давления в одном из про­ пластков быстро выравнивается по всему пласту, это говорит о том, что производные (а) можно считать не зависящими от z, т. е. пред­ ставить в виде (б). Имеем

Тогда будем иметь

L t (p) = L ( p ) - $ * H ^ .

Делая подстановку и = V~äp, или р = и]\Г0, получаем

37

Суперпозиция

Рассмотрим одно из приведенных уравнений материального баланса, например (II.1.15). Пусть функции р у = рг (х , у, г; t) и р 2 (ж, у, z; £) удовлетворяют этому уравнению и принимают в на­

заданных начальных и граничных условиях.

Всилу линейности уравнения оно при дифференцировании (р1 -j-

+Рг) распадается на сумму двух уравнений, каждое из которых удовлетворяется функциями рх и р 2 при заданных начальных и гра­ ничных значениях этих функций, т. е. сумма двух решений уравне­ ния будет также его решением. Начальными значениями теперь будут р° = р\ + р°, а граничными ре — p le -f р 2е.

Подставляя р — р у -}- р 2 в уравнения движения (1.6.11) и вы­ числяя компоненты скорости фильтрации, получим для составля­ ющей скорости фильтрации

Значит, ввиду линейной зависимости скорости фильтрации от градиента давления, получаем скорость движения сложного потока как сумму скоростей потоков составляющих.

Расход жидкости через сечение пласта

Определим среднее значение скорости фильтрации через сечение пласта, оно будет равно

где р — приведенное пластовое давление.

38

Для тонких пластов можно принять, что среднее значение гра­ диента давления равно градиенту давления на уровне срединной поверхности пласта. Тогда получаем

При фильтрации однородной жидкости получаем

где

_н 2

К = ~L j k(z)dz.

Н

Расход жидкости будет равен

И е "

Получим формулы для дебита скважин (за положительный принят дебит эксплуатационной скважины). Считая, что размеры скважины малы по сравнению с размерами пласта, можно принять Н = const. Осредняя по скважине величину проницаемости для фильтрации однородной жидкости, получаем:

где I — длина периметра скважины.

Считая, что скважина круговая радиуса гс, имеем

Вынося среднее значение dpjdr из-под знака интеграла, получаем

5 = 2 « ® - . ( 4 г ) . в - (Н -г -П )

Заметим, что дебит и обильность источника ѵ связаны соотноше­ нием q = —vH.

39