книги из ГПНТБ / Булыгин В.Я. Гидромеханика нефтяного пласта

Настоящая глава посвящена рассмотрению способов решения некоторых задач подземной гидромеханики численными методами.

Решение задач с помощью машин непрерывного действия, или, как их еще называют, моделей, рассматривается в следующей главе.

§ 1. Постановка некоторых задач

Рассмотрим фильтрацию однородной жидкости.

Будем считать, что известны дебиты скважин, расположенных

в точках О,- (і = 1 п) пласта, и что на некотором контуре Г задано давление. Тогда для отыскания давления р внутри области g с гра­ ницей Г могут, быть поставлены следующие задачи.

1. При установившемся режиме фильтрации (или без учета сжи­ маемости среды и жидкости) найти решение задачи Дирихле внутри области g с границей Г, если искомая функция р имеет в заданных точках — скважинах источники (стоки) мощностью qiJ2no и удовле­ творяет на границе условию р (х, z/)r = ф (s), а внутри области урав­ нению

то при определении функции давления в пласте возникают следу­ ющие задачи.

3. При установившемся режиме фильтрации (или без учета сжи­ маемости среды и жидкости), обозначая Г — внешнюю границу •области, а у; — границы скважин, требуется найти решение задачи

Дирихле в многосвязной области g для уравнения (VI.1.1), если искомая функция р удовлетворяет граничным условиям рт = Р,

150

При наличии физической границы, выраженной в виде тектони­ ческого сброса с несогласованными проницаемыми пластами или в виде выклинивающихся пластов, в качестве граничного условия вы­ ступает отсутствие фильтрации через границу. При фильтрации двух­ жидкостных систем формулировка задач разнообразится в зависимости

заданном положении и дебитах скважин может быть поставлена сле­ дующая задача. Найти функции давления и насыщенности: р (х , у; t) и s (х, у ; /), удовлетворяющие системе уравнений (III.5.3) или (III.5.4) и одному из (III.5.3), внутри области совместной фильтра­ ции нефти и воды gHB, уравнению (III.5.2) соответственно в областях, занятых нефтью gHи водой gB, непрерывных вместе со своими произ­ водными на общей границе областей gIIB, gh; gHB, gB. Заданы положе­

st=0 — s (а:, у; 0) и давление на внешней границе области.

Для месторождений платформенного типа пласты, имеющие нефтяные ловушки, распространяются весьма далеко или имеют гидродинамическую связь с другими пластами, насыщенными нефтью и водой. В этих случаях задание граничных условий на какой-либо выделенной линии весьма затруднительно и поэтому приходится искать другие пути для формулировки математической задачи. Например, формулируется задача Коши: найти решение уравнения (V.1.2), имеющее в заданных точках — скважинах предел (V.1.3), удов­ летворяющее начальным условиям и ограниченное на бесконечности, а следует полагать, что сетчатая граница совпадает с заданной.

Сделаем несколько замечаний о применимости метода сеток (конечных разностей). Для того чтобы этот метод возможно было применить, требуется, чтобы искомая функция была непрерывна. Однако в задачах, когда заданы дебиты скважин, в скважинах не­ прерывность нарушается. В задачах, когда задается давление на скважинах, сама функция является непрерывной, но возникает другая трудность, связанная с малостью контуров скважин. Сетча­ тая область, которой заменяется область решения, должна иметьдостаточно большое число узлов в окрестности каждой скважины с тем, чтобы возможно было аппроксимировать границы области. При этом получается слишком большое число уравнений, это заста­ вляет отыскивать пути, обходящие это препятствие. В задаче Коши возникают трудности, связанные с неограниченностью области попростиранию, здесь необходимо выработать приемы, приводящие задачу к конечному числу уравнений. Наконец, если за границу области принимается некоторый контур, на котором задается давле­ ние, то выбор такого контура оказывается условным. Обычно берется достаточно удаленный контур, на котором давление можно считатьпостоянным. Вследствие условности выбора контура ставить вопрос-

151

Отметим, что при решении задач приходится оперировать с весьма ■большим количеством параметров месторождения: гидропроводиость и мощность пласта, заданные на участках месторождения, дебиты илII давления в скважинах, а также с большим числом уравнений, это вызывает необходимость сокращать объемы одновременно хра­ нимой информации, т. е. употреблять при расчетах схемы, удовле­ творяющие условиям минимума необходимых одновременно данных. Этим условиям удовлетворяют однослойные разностные схемы. Простота разностной схемы, хотя и не имеет решающего значения, однако при решениях по простым схемам обычно необходимо хранить в памяти машины меньше промежуточных результатов, что, как указывалось,' является важным, если не решающим фактором для возможности реализации решения тем или иным методом.

§ 2. Некоторые простые конечно-разностные уравнения

1.Пусть требуется найти решение дифференциального уравнения

вконечной области D, непрерывное вплоть до границы Г, удовле­

t — kx (к = 0, 1, 2, . ..).

Тогда точки пересечения линий называются узлами, а расстояния между ними hx, hy, х — шагом сетки. Дифференциальное уравне­ ние (Ѵ.2.1) мы будем заменять разностным аналогом, и соответственно граничные и начальные условия, заданные на Г и D, — граничными и начальными условиями на сетке с помощью определенного пре­ образования. Решения дифференциальной и разностной задачи в узлах сетки будут отличаться и зависеть от шага сетки и гладкости искомого решения. Считают, что конечно-разностный аналог вместе •с граничными и начальными условиями, заданными на сетке, аппро­ ксимируют поставленную задачу, если при шаге сетки стремящихся к нулю нормы разностей дифференциальных и сетчатых операторов, примененные к решению (для уравнения, граничных и начальных условий) стремятся к нулю. В качестве нормы чаще всего исполь­ зуют максимум модуля разности определяемых величин. Важным вопросом теории конечно-разностных схем является вопрос устой­

152

чивости. Разностную схему называют устойчивой, если вычисли­ тельная погрешность при переходе от одного слоя к другому не воз­ растает. Когда же погрешность быстро растет, схема называется неустойчивой. Чтобы не усложнять изложения, следует ограничиться лишь сделанными замечаниями.

назад». Верхним индексом «/с» мы будем обозначать функцию в мо­ мент времени t = кг.

Представим функцию р (0 .т, 0 -\- у, 0) в виде ряда

р (0 + £, 0 -I-у- 0) = р(0, 0, 0)-I-рхх + Руу + рххх2+ рууу2+ 2рхуху + . . .„

вводя новые обозначения, можно записать для /с-го слоя:

рк— А * 4" Ак0х -f- Afti/ -{- А \0х2-[- А1Хху -f- Aftp2 -]-...

Аналогично представим функции о жN

и = а + а10:г+ а01у + а20х2+ Щ.іхУ+ аогУ2+ . . б

N k = ak -f bkx -(- cky + .. .

Подставляя эти формулы в (Ѵ.2.1), получим:

«ю^іо Ч~ a01Agj -р 2а0 (А*о + Aft) -}- Вх -f- Cyak =

сложим предыдущие уравнения для двух значений х, у жопределен­ ной правой части. Тогда для каждой пары значений х г — х\ у г — у члены, содержащие их первые порядки, сократятся, т. е. с порядком аппроксимации 0 (/г2, т) мы получаем:

(A* — Aft1)

В (V.2.2) не входит А 1г, a A 20 и A 02 содержатся в виде суммы. Можно записать:

А 20х 2+ А02у2 = В ( х 2 — у2) + А (х2+ у2),

153

Рц — П*;

Определяя отсюда коэффициенты А, а и подставляя их в (V.2.), шолучим:

Оі'+і/.РіЧі/ + йі-ЧгіРі-lj ~Г СГ£/+І / еР і/+1 "Г аіі-Ч ~Ріі-1

15 4

Определим коэффициенты А и а и, подставляя в (Ѵ.2.2), получим?

°і+Чг, i+'hPi+1, /+Х + ОѴ-Ѵз./'+'/гРі-І, /+1 + аі+'І2,І-'ІгРі+1, /-1 +

стно, что при большом шаге по времени ошибки, появившиеся на некотором слое, будут расти. Поэтому приходится шаг по времени ограничивать, вводя критерии устойчивости счета. При | = 0 полу­ чим систему линейных алгебраических уравнений, путем решения которой определяются значения давлений на следующем слое. Такая схема называется неявной. Как правило, неявные схемы устойчивы, без ограничений на шаг по времени.

Приведем сводку формул явного и неявного методов счета для квадратной сетки. Расположение точек ясно из индексации.

Явные схемы:

1) Ру 1 = Ріі (1 - с) + [°с+Чі, /Pi*i, / + Oi-v.. Л - 1 , / ■

+/♦ 1 + /-«/.Pt./-1 — akh2l

Условие устойчивости: max c ^ l:

155

ческому значению а в четырех узлах.

2.В дополнение приведем сводку формул на прямоугольной сет

ив полярной системе координат.

Обозначим шаги по направлениям х, у, t соответственно А, I, т.

156

аппроксимации. Неявные аналоги можно записать в виде:

При явных разностных схемах ограничения на шаг по времени вследствие необходимости выполнить условия устойчивости следу­ ющие:

157

Для получения недостающего уравнения следует взять одно из уравнений в декартовых координатах, приведенных ранее. В дан­ ных схемах использованы равномерные сетки по углу и радиусу, однако если решаются задачи, в которых необходимо учитывать одновременно работу нескольких скважин, и если выбрать начало координат где-нибудь в центральной части эксплуатируемого уча­ стка так, чтобы ближайшие скважины были все же значительно удалены от начала, то функция давления незначительно изменяется в зависимости от угла в начале координат, а с удалением от центра эти изменения усиливаются (если исключить случай, когда изобары близки к окружности). Поэтому для уменьшения числа узлов целе­ сообразно принять неравномерную по углу сетку.

Например, для этого можно применить сетку с сохранением длины дУгп между узлами.

§ 3. Метод прогонки. Метод итерации

Рассмотрим уравнение (Ѵ.2.3) и образуем схему счета такую, чтобы точки на рассчитываемом слое лежали на одной прямой. Тогда можно применить простой и экономичный метод прогонки. Напри­ мер, первый просчет можно вести в направлении х на полушаге, оставив точки, не лежащие на прямой, вдоль которой ведется про­ гонка, на начальном слое, затем в направлении у , также оставив часть точек на полушаге. Для уравнения (Ѵ.2.3) может быть взята, например, следующая схема продольно-поперечной прогонки:

158

ведется прогонка, в связи с этим (Ѵ.3.1') именуется JI. О. С. локально, одномерной схемой.

Используя уравнения (Ѵ.2.4), можно вести прогонку в диаго­ нальном направлении. Тогда уравнение (Ѵ.3.1) сохраняется и для значений Ах (р), Л 2 (р) получим после подстановки а(/-:

времени, что и р, при этом меняется норма, в которой схема (Ѵ.2.5) абсолютно устойчива. Однако это — математические вопросы. Для ознакомления рекомендуем читателю работы [139] или [94], где исследована схема (Ѵ.3.1).

Прогонка реализуется следующим образом.

Расположим точки на считаемой прямой по порядку возрастания индекса. Например, при счете по схеме (Ѵ.3.1) и (Ѵ.3.2) вдоль оси х

159