книги из ГПНТБ / Булыгин В.Я. Гидромеханика нефтяного пласта

может быть представлена в виде суммы непрерывной функции ut и функции теплового источника

представить в виде функции непрерывной и типа теплового источ­ ника

Г?

4 V

Вычислим для этой функции приток к скважине при стягивании

еерадиуса к точке:

Имеем:

данные непрерывные в D за исключением точки Qi функции, где они

170

имеют особенность типа теплового стока. При этом выполняются условия:

где Ві и Bi — некоторые конечные числа. Можно показать аналогично

тому, как это делалось для стационарной фильтрации, что функции ѵ и V непрерывны. В области D эти функции удовлетворяют уравне­ ниям:

Краевые и начальные условия для ѵ я ѵ будут:

Приходим к следующей задаче. Найти вспомогательную функ­

цию V (или ѵ), непрерывную в области D, с границей Г, удовлетворя­ ющую уравнению (У.4.22) или (Ѵ.4.23), граничным и начальным условиям (Ѵ.4.24) или (Ѵ.4.25) и связанную с исходной функцией соотношением (Ѵ.4.18) или (Ѵ.4.19).

Наиболее простой функцией Фі является функция теплового источника

171

которая удовлетворяет уравнению

- 2 (.т — Xj) Ох+ (у— Ѵі) оU +

Они удовлетворяют уравнению

В указанных работах А. Н. Чекалина исследованы и другие подстановки.

Следует отметить сложность подстановок и правых частей исход­ ных уравнений при нестационарной фильтрации по сравнению со стационарной. Одиако давление в окрестности скважины быстро становится близким к стационарному режиму, отсюда возникает мысль, нельзя ли применить подстановки для установившегося режима при нестационарной фильтрации. Покажем, что это можно сделать, если не учитывать начальные моменты перераспределения давления после пуска скважины.

Рассмотрим подстановку (Ѵ.4.3) и покажем, что она удовлетво­

4K;t

=lim [—2 qtFi 2 qt ln r,]-f lim —2qt ln rt -f qt Ei

172

-j- lim — cji (t ) Ei

Если дебит непрерывен, то В( — конечное число вследствие существования предела (Ѵ.4.20), а A t — конечно в силу (Ѵ.4.4). Представляя интегральную показательную функцию в виде ряда

СО

Е і Ц ) - с + ь Е + 2 т г г -

h-x

где С = 0,57716 — постоянная Эйлера, получаем:

и Сі вследствие конечности всех входящих слагаемых.

Получили, что функция w непрерывна также и при нестационар­ ной фильтрации при t ^ t 0 > 0 . Эта функция удовлетворяет урав­ нению

Подстановка (V.4.7) также может быть использована при неста­ ционарной фильтрации. Функция w будет удовлетворять урав­ нению :

Аналогично могут быть использованы и все другие подстановки для стационарной фильтрации.

4. О решении задачи Коши

При решении задачи Коши методом сеток прежде всего (как и в случае конечной области) следует освободиться от особенностей. Этого можно достигнуть, например, распределяя отбор (закачку) по площади, т. е. вводя функцию плотности отбора, или выделяя особенности с помощью подстановки. Для бесконечной области, чтобы получить ограниченное решение, подстановки должны пред­ ставиться в виде функций, исчезающих на бесконечности.

173

Этим условиям удовлетворяют, например, функции (Ѵ.4.14) и (Ѵ.4.27) и с некоторой погрешностью любая из указанных под­ становок предыдущего параграфа.

Как известно, метод сеток приводит к решению системы линейных алгебраических уравнений, порядок которых равен числу внутрен­ них точек сеточной области Gh. Так как шаг сетки всегда конечен, то в задаче Коши область Gh будет содержать бесконечное число узлов. Однако неограниченная по простиранию область Gh будет иметь счетное множество точек. Можно также доказать, что система вполне регулярна. Это позволяет применить к решению бесконечной системы уравнений разработанные в линейной алгебре методы усе­ чения решения бесконечных систем.

Функция давления наиболее сильно изменяется в разрабатыва­ емой части пласта, а с удалением за линию нагнетания эта функция, стремящаяся на бесконечности к постоянной величине р сОІ равной начальному пластовому давлению. Для решения задачи Коши можно воспользоваться следующим приемом.

Проведем па плоскости замкнутую кривую Г", отделяющую разрабатываемую область от остальной плоскости. Область, ограни­ ченную кривой Г", назовем внутренней и обозначим D+. Проведем еще одну липию Г+, нигде не пересекающую кривую Г- и также содержащую разрабатываемую часть. Область, расположенную вне Г+, назовем внешней областью D~. Области Z)+ и D~ пересекаются

и имеют общую часть D. Отобразим конформно D~ на некоторую область D с границей Г (при этом соответственно преобразуются уравнения п граничные условия). Итак, задача свелась к отысканию функций іѵг (х, у; t) в области D+ и w2 (£, ц ; £); £, т) — переменные

и задача об отыскании двух функций также имеет единственное реше­

существование решения исходной задачи. Пусть это решение не един­ ственное и существует еще решение w\ и w*, удовлетворяющее тем же условиям. Рассмотрим разности w[ = wx — w\, w'2 — w2 — w*2. Функции w{, w2 должны быть ограниченными и удовлетворять соот­ ветствующим однородным уравнениям, нулевым начальным усло­ виям w[ (X, у; £0) = 0 в Z)+; w2 (£, ц , t0) = 0 в D и w2 равна нулю на бесконечности.

В области D~ между Г", Г+ проведем кривую Г*. Область, заклю­ ченную внутри Г*, обозначим D*, а вне ее — D*~.

Рассмотрим функцию

р* (X, у; t) w[ (X, у, t) в области D*~ + Г,

» 2 (#! У, t) в области D*~.

Функция р (х, у\ t) ограничена всюду вследствие ограничен­

174

ности w[, w'2 непрерывна, так как w[ = w'z в D~, включая Г** и удо­ влетворяет однородному исходному уравнению на всей плоскости с включенной бесконечно удаленной точкой и с начальными усло­ виями р* {х, у, t) = 0. Таким образом, р* — непрерывная, ограни­ ченная всюду, исчезающая на бесконечности функция, удовлетворя­ ющая однородному уравнению с нулевыми начальными условиями.

w\ = w2. Единственность доказана.

Решение задачи в областях D+ и D можно отыскать методом сеток, составляя для всех внутренних точек разностные уравнения, аппроксимирующие соответствующие дифференциальные. При этом остаются неопределенными значения в граничных точках. Для их определения следует использовать условие совпадения искомых

функций в области D. Наиболее просто этот прием осуществить, если за Г- и Г+ взять концентрические окружности С~ и С+ и при отобра­ жении границу С+ оставить неподвижной.

Пусть радиус окружности С+ есть В. Тогда уравнение (II.2.11) запишется:

£ , М = Н ™ 4 г ) + ^ £ ( ^ ) - Р * я й * 4 г + лг('-, г, 0 .

а отображая внешнюю область D~ на D — внутренность единичного круга с помощью функции

ность С* принадлежат семейству сеточных окружностей области D. Приведенное построение границ и областей и выбор шагов позволяет использовать приведенные конечно-разностные аналоги для опера­

торов, записанных в полярных координатах при решении задачи Коши.

Пример 1 . Для сравнения метода подстановок и метода распре­ деления дебитов скважин по нлощади Н. П. Зиновьевым и А. Н. Чека­ линым был решен пример. Область — прямоугольник 1750 X 3250 м разбит квадратной сеткой на 72 части, координаты и дебиты скважин (всего 20 скважин) взяты из данных участка Бавлинского месторо­ ждения и заданы в табл. 7 (координаты выражены в единицах шага, равного 250 м). Гидропроводность и мощность пласта аппроксимиро-.

175.

ваны линейными функциями ст = 0,14г/ -f- 70; И = 0,0023і/ + 8 ; упругоемкость ß*=0,33 • ІО“4 1/кгс/см2. Граничные значения снимались с карт изобар.

Т а б л и ц а 7

Если применялся метод подстановок, правая часть вычислялась

при этом использовалась подстановка (Ѵ.4.13). Для отыскания функ­ ции использована неявная разностная схема.

При вычислениях с помощью распределения источников подсчет плотности велся методом треугольников.

При сравнении вычислений получено, что отклонение решений

На следующих слоях наибольшее отклонение составляет 0,86%, 0,83%, 0,82% и в среднем не растет.

Пример 2. За область принять весь нефтеносный участок Бавлинского пласта Di площадью в 54,5 км2. Работало 180 скважин, нагнета­ тельные скважины не включены в рассчитанный участок. Функции к (X, у) и Н (X, у) сняты с карт проницаемости и эффективной мощ­ ности. Упругоемкость 0,33-10- 4 1/кгс/см2, вязкость р, = 2,3 спз.

Сеточная граница совпадает с заданной, шаг h = 500 м; 194 вну­ тренних и 49 граничных узлов; шаг по времени Ат = 30 сут. Началь­ ное распределение давления снято с карты изобар на 1/VII 1956 г. (рис. 51), расчеты проведены на 1/ѴІІ 1957 г.

176

У

Рис. 51. Карта плотностей отбора, построенная методом треугольников.

'12 Заказ 322

Рис. 53. Рассчитанная на ЭВМ карта изобар.

пластовых давлении.

Построение функции плотности велось по среднемесячным деби­ там методом треугольников (рис. 52), где численные значения изо­ линий увеличены в 10е раз. Расчеты велись по неявной схеме.

На рис. 53 приведены рассчитанные карты, а на рис. 54 приведены карты, составленные по фактическим замерам на одну и ту же дату. При сравнении видим, что конфигурация карт в основном совпадает, так же как и значения абсолютных давлений. Наибольшие ошибки

Сравнения показывают, что в местах наибольших отклонений (где густо расположены изобары) ошибки достигают 5%, на основной же площади они менее 2%. В работе [9] аналогичный пример решен для Бавлинского нефтяного месторождения с помощью уникального интегратора ЭИ-С. При решении этого примера промысловые пара­ метры были предварительно исправлены, чего не делалось в приво­ димых здесь расчетах.

§ 5. Вычисление функции давления при заданных забойных давлениях

Рассмотрим случай, когда задаются не дебиты скважин, а давле­ ние. При постановке задач в начале главы уже отмечалось, что задача отыскания функции давления сводится к решению уравнения (Ѵ.1.2) для многосвязпой области. Причем одновременно отыски­ ваются распределение пластового давления и дебиты скважин. Однако весьма малые размеры скважин по сравненшо с размерами пласта по простиранию не дают возможность непосредственно аппрок­ симировать контур скважины сетчатой границей, так как в этом слу­ чае пришлось бы применять слишком мелкую сетку, что приводит к решению значительного числа уравнений. Если взять шаг сетки рав­ ным, например, радиусу скважины, принимая г = 1 0 см, и характер­

чество материала в настоящее время невозможно. Приходится отыс­ кивать пути, обходящие эту трудность. При небольшом числе рабо­ тающих скважин можно применить неравномерные сетки, у которых при приближении к скважинам растет число узлов, т. е. сетка как бы «стягивается» к внутренней границе.

В задачах фильтрации внутренняя граница стенки скважины — окружность, а давление более всего меняется при приближении по радиусу к центру скважины. Ввиду этого целесообразно рассмотреть сходящуюся сетку в полярных координатах. Построим сетку с равно­ мерным шагом по углу.

В окрестности скважины при определении функции давления ве­ дущим, т. е. определяющим вид функции, членом разложения функ­ ции в окрестности скважины, является логарифм. Значит, в логариф-