книги из ГПНТБ / Булыгин В.Я. Гидромеханика нефтяного пласта

по неявной схеме. Решение задачи Коши сводится к двум граничным задачам в пересекающихся конечных областях. Для этого выберем точку R иа оси £, отделяющую область, в которой производится рас­

Задача свелась к отысканию pj (х, t), pj (£, if) на конечных интер­ валах, которую будем решать методом сеток, используя неявную схему.

Заменим производные, входящие в (Ѵ.7.1), соотношениями:

Пренебрегая погрешностями аппроксимации 0 (т), 0 (h2) и под­ ставляя их в (Ѵ.7.1), получим:

190

Г л а в а VI

ТЕОРИЯ ПОДОБИЯ. МОДЕЛИРОВАНИЕ

§ 1. Критерии механического подобия движения жидкости в пористых средах

В настоящем разделе мы выведем критерии механического подо­ бия, которые связывают величины при изменении масштабов наблю­ даемого явления п физических констант, характеризующих пористую среду при движении в ней жидкости. Здесь не ставится задача полу­ чения условий моделирования в наиболее полном виде по двум при­ чинам: во-первых, для целей настоящей книги является существен­ ным получение лишь основных зависимостей в достаточно простой форме; во-вторых, налагаемые ограничения обычно оказываются столь жесткпмп, что удовлетворение всем требованиям является невыполнимой задачей.

Вследствие этого, моделирование осуществляется лишь прибли­ женно, с учетом только некоторых факторов. Пока нет достаточно надежной методики, по которой можпо было бы судить, как значи­ тельно влияют на процесс неучтенные обстоятельства. С такой ситуа­ цией исследователь встречается при построении любой теории, так как заранее невозможно точно предсказать, какие свойства из всего их многообразия окажут заметное влияние на ход процесса при тех или иных его изменениях. Для того чтобы это в какой-то мере было возможно, необходимо не только каким-либо образом учесть входя­ щие величины и установить связь между ними, (т. е. выделить все симплексы и комплексы, характеризующие данный процесс), но и по­ строить методику, дающую возможность судить, насколько суще­ ственно влияют изменения величин на результаты наблюдения [72, 96, 128, 136].

В этих условиях в качестве критерия достаточной полноты по­ строенной теории должны явиться натурные наблюдения, с которыми следует сопоставить результаты модельных наблюдений.

§2. Критерии подобия фильтрации двухфазной жидкости

впластах горных пород

Для получения критериев подобия в настоящее время имеется два пути. Первый состоит в использовании дифференциальных уравне­ ний движения жидкости, а второй исходит из анализа размерностей.

192

Первый путь более прост и базируется на строгих математиче­ ских зависимостях между величинами, второй более-широк, не тре­ бует знания связей между величинами, кроме размерных связей, однако в большей мере опирается на интуицию и поэтому не свободен от возможности внесения ошибок.

В настоящее время в гидромеханике чаще используют первый путь. Разберем моделирование движения двухжидкостных систем в неоднородных пластах со статистическим осреднением параметров по мощности. Такое моделирование должно представлять значитель­ ный интерес. Фактически на месторождении параметры могут быть определены только в среднем, так как пет способа провести послойную экстраполяцию параметров между скважинами. С другой стороны, моделировать трехмерный пласт со всем многообразием параметров также не представляется возможным. Технические трудности испол­ нения модели большие, Ті ее стоимость будет чрезвычайно высока.

Необходимо отыскивать способ моделирования, отвечающий на­ турным наблюдениям и технически осуществимый.

Возьмем уравнение неразрывности в виде [29]:

(VI.2.1)

а закон Дарси в виде

(Ѵ-1.2.2)

Отметим, что] вследствие трудностей изменениякоэффициентов сжимаемости жидкости и пористой среды моделировать пласты, обла­ дающие упругостью, весьма сложно. Мы будем считать пласты изо­ тропными, пласты и жидкости -несжимаемыми, жидкости взаимно нерастворимыми. Гравитационными силами будем пренебрегать. В этом сдучае, полагая S„ = 1 — £ ?; SB =_S, из уравнения (III.2.2а) имеем: "

_д_

дх

(VI.2.3)

(VI. 2.4)

где

Уравнения записываются одинаково для пласта и модели. Гра­ ничные условия зададим в виде разности давлений на некоторых контурах:

или в виде суммарного потока жидкости через поверхность. В послед­ нем случае вследствие того, что должен выдерживаться баланс по . пласту в целом, имеем:

Т

Приведем уравнения (VI.2.2)—(VI.2.5), (VI.2.7) к безразмерному виду. Для этого умножим и разделим все входящие в них величины

194

здесь х г, у zlt р х, рк1, Qlt ѵг — безразмерные величины. Уравнения (VI.2.3) и (VI.2.4) принимают вид:

Уравнение Дарси в безразмерном виде можно записать:

+ т 8г [ * « £ т И * Н г * ) ] + * і [ ^ £ ( а + * £ ) ] +

Для тождественного совпадения систем уравнений, описывающих процесс, происходящий в натуре и модели, необходимо равенство

коэффициентов при одинаковых членах уравнений и констант. На этом основании получаем следующие условия подобия:

(idem — тождественны для модели и натуры).

Краевые условия дают, одну из следующих групп условий:

При моделировании процессов, происходящих в пластах, размеры которых по простиранию значительно превосходят размеры по мощ­ ности пласта, целесообразно предварительно произвести осреднение параметров пластов по мощности.

Кроме того, при этом часто желательно задавать различные мас­ штабы по простиранию и мощности пласта. Пусть дополнительно будет задано II — Н 0И 1. Учитывая капиллярное давление и считая жидкость и пористую среду несжимаемой,-получим

(.р —-у -)] =+ЦвП»Я at

196

где

Будем считать, что к*и не зависят от мощности пласта, тогда К„ — К к* и К п = К kt. Уравнения Дарси можно записать в следу­ ющем виде:

Граничные условия при задании средней скорости фильтрации запишутся в виде:

F

Рн^О

А-0 Аро

197

Перечисленные условия являются достаточными для получения подобия с макроскопической точки зрения. При этом предполагается, что для натуры и модели одинаковы схемы вытеснения и что кривые относительных проницаемостей и эффективности вытеснения смачи­ вающей и несмачивающей жидкостей для натуры и модели идентичны. Кривые относительных проницаемостей сравнительно мало зависят от типа коллектора и могут быть смоделированы. Очень важным является моделирование схемы вытеснения. Необходимо обеспечить характер вытеснения в модели, аналогичный характеру движения в натуре. Это можно сделать, набирая модель пласта и подбирая режимы фильтрации, отвечающие нужной схеме вытеснения. Некото­ рые вопросы, касающиеся схем вытеснения, рассматривались в гл. III. Если это удается сделать, исходя из наблюдений характера вытесне­ ния в натуре и модели, то моделирование возможно. Вообще для обес­ ценения схемы течения, зависимостей кривых относительных прони­

198

цаемостей и эффективностей вытеснения от насыщенности, а также капиллярного давления требуется рассмотреть внутрипоровые микро­ скопические течения и взаимодействия жидкостей и пористой среды.

Последние, например, рассматриваются в книге Д. А. Эфроса [137]. Анализ размерностей линейного закона фильтрации, уравне­ ния движения в порах для вязкой несжимаемой жидкости при отсут­ ствии гравитационных сил и очень малых числах Рейнольдса дает:

РнѴ2^ = ѴР.

тде операция «V» берется по внутрипоровым координатам и уравне­ нию менискового давления

2р* cos 0

Рк h

(где Д — внутрипоровый линейный размер). Это дает соотношения для размерностей:

[у] = [ft] [ѵр] [(А'1];

[ЦІ[”ИѴ]2 = ІѴ] [Pi;

[Р] = [^] [Zi]-i;

Из второго, третьего и четвертого соотношений имеем:

[р1[у] = [ст],

а сравнивая его с первым, отвечающим условию

Ѵ[1

ГГѵрТ idem,

получаем:

Леверетт полуэмпирическим пѵтем показал, что безразмерный комплекс

выраженный как функция насыщенности, дает хорошее совпадение с экспериментальными кривыми (для впитывания жидкости и для дренирования).

При равенстве углов смачивания и подобии внутрипорового про­ странства ф (S) одна и та же для натуры и модели. Определяя отсюда рк и вводя в выражение Арк0}Ар0 = idem, имеем:

А'Ѵі

199