книги из ГПНТБ / Булыгин В.Я. Гидромеханика нефтяного пласта

§ 3. Стационарная фильтрация в однородных пластах

Среди нефтяных коллекторов пласты горных пород, которые могут считаться однородными по мощности и проницаемости, встре­ чаются чрезвычайно редко, однако изучение характера течения жидкости в таких пластах помогает увидеть закономерности, которые характерны и для пластов неоднородных. Кроме того, некоторые суммарные величины (например, суммарный дебит скважин) могут быть вычислены с учетом однородности пласта. На это указывают сопоставления расчетных величин с промысловыми данными.

В настоящем параграфе будем считать пласт однородным и изо­ тропным по гидропроводности (т. е. о = кН]\.і = const), фильтрацию жидкости — приведенной к плоской и установившейся, или жидкость и пористую среду — несжимаемыми (т. е. ß* = dpjdt = 0). Тогда уравнение материального баланса имеет вид

Ар — 0,

а уравнение движения будет

где р — приведенное пластовое давление.

Источники и стоки.

Рассмотрим изотропный бесконечный пологий пласт с постоян­ ными проницаемостью и мощностью и с давлением рп на срединной поверхности. Давление на плоскости приведения — приведенное пластовое давление обозначим через р. Если фильтрация жидкости отсутствует, то на срединной поверхности р = const. Вскроем пласт скважиной по всей мощности и рассчитаем поток жидкости через боковую поверхность кругового цилиндра, ось которого совпадает с осью скважины. Расход жидкости через боковую поверхность этого цилиндра вследствие несжимаемости жидкости и норового скелета должен равняться дебиту скважины. Если произвести при­ ведение пластового давления, то давление около срединной поверх­ ности будет соответствовать распределению давления в пласте мощ­ ностью Н, кровля и подошва которого параллельны плоскости, а срединная поверхность соответствует плоскости приведения. По­ ставленная задача сводится к вычислению расхода жидкости через боковую поверхность круглого прямого цилиндра. По (II.2.17) для отбирающей (эксплуатационной) скважины запишем:

Разделяя переменные в последнем выражении и интегрируя, получим:

( I I .3 .2 )

40

Расход жидкости ф через часть боковой поверхности цилиндра, ограниченную двумя образующими и дугами, равен

В формулы (II.3.1), (II.3.2) и (II.3.3) входит приведенное пласто­ вое давление, что позволяет рассматривать течение, происходящее в одной плоскости. Тогда скважина обозначается точкой на этой плоскости. Вследствие симметрии (рис. 14) линии тока сходятся радиально к этой точке, а изобары — концентрические окружности.

Предположим, что начало координат не совпадает с точкой, обозначающей скважину. Зададим положение скважины (рис. 15) координатами (х 0, у 0), тогда

г = У ( х — x 0f + {у— у of.

Подставляя это выражение в (II.3.3), получим

*о)2+ ( у —и>)*+с=

Представив выражение (II.3.4) в полярных координатах, можем записать:

Если имеется п скважин с дебитом q{, расположенных в точках (^, Уі) или (рг, ф;) то, применяя принцип суперпозиции, получаем

41

Если вместо С ввести р\ и р* (любые гармонические функции, не содержащие особенностей), то полученные выражения будут также удовлетворять уравнению Лапласа (всюду, кроме «точек — скважин»), т. е.

£=1

Такими функциями может быть представлено любое течение не­ сжимаемой жидкости в однородном изотропном и несжимаемом

Рис. 18. Движение жидкости в модели пласта при четырех нагнетательных и одной отбира­ ющей скважинах.

пласте. При заданном положении и дебитах скважин для установле­ ния структуры функций р\ или р* при нужном виде области

требуются дополнительные исследования.

Рассчитано движение жидкости, нагнетаемой в одну, две, че­ тыре скважины и отбираемой одной скважиной. Затем проведены

43

эксперименты на прозрачной модели (малая модель лаборатории КГУ, см. в гл. VI).

На рис. 16, 17, 18 обозначены вычисленное положение контура, скважины и экспериментально полученное положение (черное пятно), видны ребра жесткости пласта и подводящие шланги.

Распределение давления в полубесконечном пласте

Построим функцию распределения давления в полубесконечном пласте при заданных дебитах qt и координатах xL, yt скважин и по­ стоянном давлении р 0 на линии х = 0. Для этого рассмотрим перво­ начально источник и сток с дебитами q, —q, находящиеся в точках х г, у[ ; — х 1, у 1 в бесконечном пласте. Для функции давления имеем (рис. 19):

X = 0, находим р = р 0. Из этого следует, что (II.3.10) дает решение поставленной задачи для одной скважины. Используя принцип суперпозиции, получаем решение задачи для m-той скважины в сле­ дующем виде:

І=1

44

Давление в круговом пласте

Определим распределение давления в круговом пласте при задан­ ных положениях, дебитах источников и стоков и давлении на границе

Найдем изобары р = const = рс. Из (II.3.12) получаем:

4та> (Рс-Ро)

г2 — 2ГГІ cos (Ф— фг) + г?

На единичной окружности давление постоянно. Вычитая эту постоянную из правой и левой части (II.3.12) и обозначив р (1, Ѳ) = = ри будем иметь:

ничной окружности.

45

Если задано п истопников, то, используя принцип суперпозиции, имеем:

тЗ — 2r r i cos (ф — фі) + ;■ ?

(И.3.14)

r2r?— 2 r r i cos (ф — ф£) + 1

і= 1

Если к правой части (II.3.14) прибавить некоторую, всюду внутри круга гармоническую функцию р* (г, ср), то, полагая рг — 0, полу­ чаем:

Эта функция имеет внутри единичного круга источники (стоки) заданного расположения (г£, ф£) и дебита д£, является гармониче­ ской, за исключением этих точек, и принимает на границе области значения р * (I, ф). Известно, что функция р* (г, ф) может быть представлена интегралом Пуассона:

В последнем случае коэффициенты ряда могут быть определены сравнением, например, с рядом, которым задаются граничные зна­ чения

СО

р*( 1, ф) = И0+ 2 (ИйcosІ«р+ Bk sin /сф).

Ä-X

Рассмотрим случай, когда окружность не единичного радиуса. Пусть радиус окружности будет равен R, г = рJR, тогда, вводя отношения г і = РіЩ и 1/г£ = і?/р£ в формулы (II.3.14), (П.3.16) и (II.3.17), получаем:

46

Подставляя последние в (II.3.15), получим окончательно:

Формулы (ІІ.3.18) и (II.3.19) представляют собой разновидность формулы Пуассона — Иенсена, они определяют давление в круге при заданных дебитах и расположениях источников и переменном давлении на контуре.

Замечание. Рассмотрим решение одной задачи для неоднородного пласта, которое получается из решения задачи для пласта однород­

На границе области задано постоянное давление pk, а внутри области, в точках с координатами рг, ср,- помещены скважины с деби­ тами q{. Требуется построить функцию давления.

Введем функцию

Дебит скважины должен быть рассчитан с помощью (II.3.21). Тогда получим:

qi = 2noi ^ r r = 2 n V ö l ^ r .

Решение задачи будем иметь после замены а на / и , в (II.3.14)

ur=H = щ = 0

П

(И.3.23)

47

где

rt = (г2 — 2rp, cos (cp — ф() + Pi)V*;

Ф/ = (-й2— 2rp, cos (q>—фЛ + ^ ) ' г •

Вернемся к исходной задаче. Подставляя (II.3.23) в (II.3.21),

Приток жидкости к скважинам

Определим приток жидкости к одиночной скважине. Будем счи­ тать, что скважина радиуса рс находится в центре кругового пласта радиуса R, давление на контуре питания и скважины постоянно и равно соответственно р к и рс. функция давления в бесконечном пласте определяется следующей формулой:

Формулу (II.3.26) принято называть формулой Дюпюи.

Если задан весовой дебит сепарированной нефти, то в (II.3.25) следует ввести промысловый дебит дпр, который равен

? n p = m g .

По формуле (II.3.25) имеем

Рассмотрим приток жидкости к скважинам в круговом пласте, для чего воспользуемся формулами (II.3.18) и (II.3.19). В какойлибо точке / на контуре г-той скважины радиуса рс/. член р2] — 2рур/ cos (фу — ф;) + р| представляет собой квадрат рас­ стояния этой точки до центра скважины, т. е.

Р/ —2р/Рі cos (фу—фЛ+ р? = pi/.

В остальных членах можно принимать р = ру, ф = фу, так как радиус скважины мал по сравнению с размерами пласта по прости­ ранию.

48

Тогда по (II.3.19) получим

Знак штриха у суммы обозначает, что при суммировании опу­

Когда скважины несовершенные, то в качестве рс/ следует брать приведенный радиус скважины, учитывающий вскрытие пласта. При R весьма большом по сравнению с размером вскрытой части из (II.3.29) получаем

і=1

Дебит одной скважины, помещенной не в центре кругового пласта, •с постоянным давлением на контуре питания может быть найден из (II.3.29), он будет равен