книги из ГПНТБ / Писарев Н.М. Элементы квантовой механики и статистической физики [учеб. пособие]

п р е д с т а в л я л о сь

так,

как если бы

электрон действительно

вра ­

щ а л с я

вокруг

собственной оси,

но такое модельное представ ­

ление

спина имеет еще

меньше почвы под собой, чем объяснение

орбитального

момента

орбитальным

вращением,

и

приво­

дится

л и ш ь д л я образности. Истинная

причина

спина

указыва ­

ется

в

релятивистской

квантовой

механике Д и р а к о м . В

р а м к а х

ж е

нерелятивистской

механики

представление

о спине

и

его

Рис. 24

свойствах

есть

гипотезы,

значение

которых

м о ж н о

уяснить

л и ш ь

из эксперимента.

К а к

только з а р о д и л а с ь эта

гипотеза,

было высказано предположение о том,

что

механический

мо­

мент спина S и его проекции Sz квантуются

аналогично

орби­

тальному

моменту:

S

=

l ^ / s ( 4 +

1 ) ^ - ;

Sz

=

m s - ! b

(187)

Р а з в и в а я

аналогию

м е ж д у спиновым

и

орбитальным

момента­

ми,

полное

число

проекций

спина

п о л а г а ю т равным

24 + 1

и в соответствии

с

экспериментальными

данными

приравнива ­

ют это в ы р а ж е н и е только

к двум . Отсюда

l , = \ \

m s = ± / s =

+ ~

(188)

З а т е м предположили,

что

магнитный

момент

спина

P s

прямо

пропорционален

механическому,

т. е.

приняли

P s =

g s

• S,

где

g 8 — гиромагнитное

отношение

спина.

Справедливость

этого

утверждения

была

д о к а з а н а

д а ж е

раньше появления

гипотезы

о спине в

известном

опыте

Эйнштейна - Гааза .

Они

нашли

зна-

чение

g s

=

— = 2 g L .

Разумеется,

интерпретация

числа

g s

при-

ш л а

позже . Учитывая

величину

gs .

получаем:

Ps

=

-

VU

( 4 + 1 )

~

=

2^в / / . ( / , +

1);

т 0

2 л

P , z = - m 8

^ - = ±

JIB.

(189)

Таким

образом,

магнитный момент электрона может иметь лишь

две противоположно направленные проекции, численно

равные

магнетону

Бора . Д л я

проверки

свойств

спина

Штерн

и

Герлах

осуществили

следующий опыт.

Узкий

луч

атомов

водорода

в

S-состоянии

(современная

техника умеет

сортировать

атомы по

состояниям),

когда

орбитальный

момент

заведомо

отсутству­

ет, а

имеется

предположительно

л и ш ь

спиновый,

н а п р а в л я л с я

в неоднородное магнитное поле и затем фиксировался

индика­

тором. Н а

экране

индикатора

о б р а з о в а л и с ь

два

следа

атомов

(рис.

24).

Р е з у л ь т а т ы

опыта

и

их

математическая

обработка

полностью

подтвердили

существование

спина и всех его свойств.

С

учетом

спина

электрону

следует

приписать

четыре

степе­

ни свободы. Три из них с в я з а н ы с пространственными

коорди­

натами

и

в ы р а ж а ю т с я

квантовыми

числами

п,

/,

т г

,

четвер­

тая — внутренняя

степень

свободы — обычно

представляется

спиновым магнитным числом m s .

Эти

числа

могут

принимать

строго

определенные

значения,

часть

из

них

(в

том

числе

и

спин)

подчиняется

п р а в и л а м

отбора.

Проведем

сводку

этих

правил:

IU =

1,2,

3,

. . .,

+

да;

/

= 0,

1

n — 1;

m,

=

0,

± 1

,

±

/;

(190)

Д / = ± 1 ;

Д т , = 0, ± 1 ;

Д т 3

= 0.

И з в ы р а ж е н и я

(190)

легко

видеть,

что

полное

число

состояний

при

заданном

n

теперь

у ж е

равно

не

n2 ,

а

2п 2 .

Н а л и ч и е

спина

д о л ж н о

найти

свое

отражение

и

в

^ - ф у н к ц и и

состояния.

Общий вид і|)-функции

м о ж н о

уяснить

из

следую­

щих

соображений .

Поскольку

спин

является

четвертой

степе­

нью свободы, т. е. четвертой независимой координатой

(внут­

реннего

д в и ж е н и я ) ,

а

вероятность

независимых

событий

вьь

р а ж а е т с я

произведением

вероятностей

и

поскольку

вероят­

ность

состояния

системы

по

Борну

пропорциональна

І ^ І 2 ,

то

в полной г|)-функции спиновая

«доля»

д о л ж н а

быть

представ ­

лена сомножителем

tyn,l,ml,ms

= %,l,ml-tyms-

(191)

Конкретное в ы р а ж е н и е сомножителей

здесь

зависит

от

физи­

ческой

системы.

АТОМЫ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ.

НОРМАЛЬНЫЙ ЭФФЕКТ ЗЕЕМАНА

К а к мы установили, атомы

о б л а д а ю т орбитальным

и спи­

новым

магнитными моментами,

величина которых определяется

внутренней структурой и не

зависит

от внешнего

магнитно­

го поля, поэтому их называю т

иногда

жесткими, или не

инду­

цированными . Во внешнем поле

моменты определенным

обра ­

полнительную

энергию

Ев,

которая

по закону

и

классической

и квантовой электродинамики

равна

•—(р • В ) .

Если

поле

на­

правлено

по оси z,

E B = = P Z B ,

где Pz

= P;z +

Psz-

С

учетом

этой

поправки

энергия атома

в магнитном поле Е п , г,т

;, ms = Е п

+ Ев,

следовательно,

если В ф О, полная

энергия зависит

от

всех

квантовых

чисел и

к а ж д о й

Tnzmj mä

-функции

будет

соответство­

вать свое значение энергии. Таким

образом,

внешнее

магнит­

ное

поле

снимает

вырождение .

Это ж е справедливо

и дл я

других полей.

Снятие

вырождения

м о ж е т быть и частичным,

когда

сохраняется

независимость

энергии

от какого-то

кван­

спиновый

и

орбитальный

моменты

много больше,

чем их вза ­

имодействие

м е ж д у

собой

(напомним,

что моменты

являютс я

источниками

магнитных

полей),

в

таком случае

спин

и

орби­

тальный

момент внесут

в Ев независимые

вклад ы

тг(івВ и

—2ms p,BB.

В последнем

выражени и

двойка появилась

из-за

того,

что Psz

д о л ж н а равняться

± ( і в . Этот коэффициент

назы ­

вают

фактором

Л а н д е

дл я спина;

дл я

орбитального

момента

он равен

единице.

Учитывая

добавочные

вклады,

запишем

полную

энергию

атома

в

сильном

магнитном

поле

Enta / m s

=

E n — ( m , - f 2 m s ) | x B B .

(192)

Теперь

можн о

найти

и

частоты

излучения

при

переходах из

одного

состояния

в другое

ѵ

=

EnziEjn _

<A m ' + 2 A m *>

|хв В =

ѵ 0 _ Д Ш

| .

(193)

n

h

h

З д е сь vo — та

или

иная

частота

излучения

в

отсутствие

поля

(В =

0) .

Член

Д т г

^ ^ -

в

соответствии

с

правилом

отбора

д л я

h

m; может принимать одно из трех значений: 0;

+

^ j J l , причем

величина

h

=

vL

называется

частотой

Л а р м о р а .

Этот

англий-

ский

ученый

объяснил

ее

происхождение

в

классической

элек­

тродинамике

к а к результат прецессии электронов

вокруг

поля

под действием силы Лоренца .

П р а в д а ,

его

в ы р а ж е н и е

дл я

vL

=

еВ

„

4тст0

не

могло

с о д е р ж а т ь

постоянной

П л а н к а ,

поскольку

тогда

механика

была

еще

неизвестна, однако

подставив

в

квантовая

^-5- величину

магнетона

Б о р а

- ^ — ,

легко

убедиться

в

экви-

h

4r.m0

валентности обоих выражений . Что

ж е касается

члена 2

А т

*

[хв В

h

в

выражени и

(193),

то

он

исчез

б л а г о д а р я

действию

правила

отбора

дл я спина

Àm 3

=

0.

П р и н и м а я

во

внимание

все

изло­

женное,

перепишем

равенство

(193)

еще

раз

+

VL

0

(194)

— v L .

Если

эти

расчеты

верны,

то

при

исследовании

атомных

спек­

тров

в

сильном

магнитном

поле

мы

д о л ж н ы

о б н а р у ж и т ь

в

3 р а з а больше линий, чем их было при отсутствии

поля. Ч а с т ь

линий д о л ж н а

иметь прежние

частоты

ѵо

(т. е. те,

которые бы­

ли

в

спектре

при

В =

0),

а

другая

часть — частоты,

смещенные

на

величину

поправки

Л а р м о р а :

ѵ і = ѵ о +

ѵ і/

и

ѵг =

Ѵо— L-

Обычно

смещения невелики,

и

н а б л ю д а е м а я

картина

выглядит

так: при

включении

поля

рядом

с

несмещенными

линиями

по

обе

стороны

появляется

пар а

смещенных,

т. е.

образуется

триплет.

Н а

рис.

25 и з о б р а ж е н а

картина

образовани я

трипле­

та

при

переходах

с

уровней

2s

на

уровень

Is.

Описанное

явление

впервые

н а б л ю д а л

в

1896 г. голландский

ученый

Зееман,

п о з ж е оно было названо нормальны м

эффек ­

том

Зеемана .

Теоретическое

объяснение

в р а м к а х

классической

электродинамики

д а л Лоренц,

и, к а к

мы

только

что

убедились,

эффект,

естественно,

объясняется

и

в

квантовой

механике.

Иначе

обсотит

дело

с

так н а з ы в а е м ы м

аномальным

эффектом

З е е м а н а .

Таковой

наблюдается

в

слабом

магнитном

поле,

ког­

да

его

влияние

сравнимо

со

спин-орбитальным

взаимодейст-

множественнее, чем в сильном поле; классическая

физика у ж е

не могла

ее

объяснить. К в а н т о в а я

теория

и здесь

о к а з а л а с ь на

высоте:

все

детали аномального

э ф ф е к т а

З е е м а н а получили

исчерпывающее объяснение (см.

дополнительную

л и т е р а т у р у ) .

Ms'-]}

\

mt=-i

" 7

2

Рис.

25

ОСНОВЫ ТЕОРИИ

ВОЗМУЩЕНИЙ

Решение

уравнения Шредингера в конечном

виде

может

быть

найдено л и ш ь в сравнительно небольшом числе простей­

ших

случаев.

Большинство з а д а ч

приводит к слишком

слож ­

ным

уравнениям, которые не могут

быть решены

точно.

Поэто­

шения. Одним из них

является метод возмущений,

заимство­

ванный из астрономии

и

развитый

в квантовой механике.

Рассмотрим основные

аспекты

теории

возмущений, когда

отсутствует вырождение .

Предварительно

д о к а ж е м

следующую

гональную

систему.

Пусть Wt и x Fk — л ю б а я

пара

собствен­

ных функций оператора Гамильтона .

Обе они удовлетворяют

амплитудному уравнению

Шредингера:

Л

ВД;

HWk

= EkWk.

(195)

Hl F|

Собственные значения энергии

по условию н е р а в н ы

(ЕіФЕ^).

У м н о ж и м

первое

уравнение на

второе — на

Т І ,

вычтем

второе из

первого

и

проинтегрируем

по всему

объему:

/

( « y W , -

Wim\)

dV = (Е, — E k )

J %VkUV.

(196)

В силу

условия Эрмита левый

интеграл в

в ы р а ж е н и и

(196)

равен нулю, поэтому равен

нулю

и

правый

интеграл, посколь­

ку

Еі ф

Е к :

(197)

Это

и

есть

условие

ортогональности

(понятие заимствовано из

векторной

алгебры,

- >

- >

где ортогональность векторов а и

b выра-

—> —>

ж а е т с я

равенством

а - Ь =

0) . Условие ортогональности

м о ж н о

использовать

символ

Кронекера

ôit,

который имеет два значе­

ния: 0, если

і ф к, и

1, если

і =

к.

Сочетание обоих

условий

н а з ы в а ю т ортонормировкой и

записывают следующим

образом:

(198)

заданной непрерывной

функции в виде р я д а Фурье по другим,

к а к

правило,

известным

функциям,

но

такое

представление

возможно л и ш ь в том

случае, если функции, по которым

дает­

ся

р а з л о ж е н и е

в

ряд,

удовлетворяют

условию

ортонормировки .

В

математике

известно много

функций,

удовлетворяющих

это­

му требованию, простейшие из них тригонометрические

функ­

ции

косинус

и

синус,

цилиндрические

функции

Бесселя,

шаро ­

вые

функции

Л е ж а н д р а ,

полиномы

Ч е б ы ш е в а - Э р м и т а

и

т. д.

К

ним

ж е ,

следовательно,

относятся

и все "Ч^-функции

невы­

рожденных

состояний.

В том случае, когда состояния

в ы р о ж ­

дены,

вышеизложенное

доказательство

ортогональности

поте­

ряет

силу, так

как

если

Е І =

E K ,

то

п р а в а я

часть

в ы р а ж е н и я

(195)

р а в н а

нулю,

б л а г о д а р я

исчезновению

члена

в

скобках,

т. е.

( Е І — Ek),

и

вопрос

о значении

Ч^Ч^аѴ

остается

от­

крытым . К а к

правило,

^ - ф у н к ц и и вырожденных

состояний

не

ортогональны,

но,

пользуясь

принципом

суперпозции,

из

не­

ортогональных

^ - ф у н к ц и й

всегда м о ж н о составить

линейные

комбинации, удовлетворяющие условию ортонормировки .

А те­

перь

кратко

и з л о ж и м

суть

метода

возмущений.

Д о п у с т и м,

что д л я

рассматриваемой

физической

системы

известно

в ы р а ж е н и е потенциальной

энергии

U .

П р е д п о л о ж и м

далее,

что из

полной энергии U нам удалось

выделить

основ­

ной

член

U 0

и

добавочный

U ' , причем U ' <

U 0

. Таким

образом,

и =

и 0 + и ' .

и 0

обычно н а з ы в а ю т нулевым

приближением, а

U ' — функцией

возмущения .

З а п и с ы в а е м

уравнение

Шрединге -

ра д л я

нулевого

приближения:

A f " o + ^ L ( E o - U 0 ) W 0 = : 0 .

(199)

Н а х о д и м

точное

решение уравнения

(199). Если

это

не

удает­

ся,

тогда

U 0

делим на основной и дабовочный

члены

и

ищем

снова

точное

решение

в ы ш е у к а з а н н ы м путем.

В

конце

концов

ний Wo 1,

^02, •-, ^ок,

Von

и

спектр

собственных

значений

энергии

Е 0 і

Б о г , Е 0

к , Е 0 п .

Следующий

этап

заключается

в

том,

чтобы

найти

поправки

к

энергии

и ^ - ф у н к ц и и

в

первом

приближении . Р е ш и м

эту

з а д а ч у

д л я к-го

состояния.

П о л о ж и м

*"к =

^ок +

^ к . Е к

=

E n k +

ек ,

где

Ч^к

и

Е0 к — у ж е

известные

решения

нулевого

приближения, a Ч Ѵ

и

ек — искомые

поправ­

ки

в

следующем

приближении .

Подставим

Yk,

E k H U = U 0

+

- f

U '

в

уравнение

Ш р е д и н г е р а

(199),

отбросим

в нем

члены

вестные

Ѵ - функции,

а

в правой—• известные:

д

^

+

8 ^ n ( E o k

_

^

=

8 ^

( и , _

^

( 2 0 0 )

П е р е д

нами

неоднородное

д и ф ф е р е н ц и а л ь н о е

уравнение,

его

решение

складывается

из общего

решения

однородного

и

ча­

стного —• неоднородного.

Что

касается

первого,

то оно

у ж е

из­

вестно,

это

собственная

функция

д л я

невозмущенной

задачи

Vok,

ибо

уравнение

Д ^ ^ +

^ - ^ - ( E o k

— U 0 ) WL == 0

фактически

h2

совпадает

с

уравнением

(199),

когда

Е 0 =

Е0 к,

следовательно,

и решения их одни и те

ж е .

Решение неоднородного уравнения, как известно из матема ­

тики,

существует л и ш ь

в том случае,

если

его

п р а в а я

часть

ортогональна

решению

однородного

уравнения,

т. е.

выполне­

но условие

-f-co

-j-oo

^

J (W -

ek ) W^dV =

( j

U'SF^dV -

ek ) =

0.

(201 )

оо

интеграл

j

s k 4 ?2k dV .

И з

равенства

(200)

находим

Т.кР ЧѴ.

(202)

П о п р а в к а

к

энергии

в

данном

состоянии

равна

усредненной

функции возмущения по невозмущенной фукции

этого

состоя­

ния. В силу особой важности приведенную

формулировку

на­

зывают теоремой об энергии возмущения .

Функцию

Ч*к опре­

деляют следующим образом . П р а в у ю

часть

уравнения

(200),

теперь

у ж е

полностью

известную,

р а з л а г а ю т

в

р я д

Фурь е

по

ортонормированным

функциям

невозмущенных

состояний

и

n

получают

(U/ — £к ) Wok

=

\ ^

alkW0[,

г Д е

а ' к

находится

обычным способом, т. е. путем

интегрирования

обеих

частей

равенства,

умноженных

на

W0i, при

этом

+°°

Щ к =

^

J ( U ' ~ £ к ) V ° < d V '

е С Л И

1

= к ' а * =

0

в силу

условия

(201),

если

ж е /

ф

к,

а1к

=-^-^\J,xFokWQ[àV.

— оо

З а т е м

^Fk

представляют

в

виде

ряда

по

тем ж е

функциям:

оо

= 2

b/k^o*'

подставляют

оба

ряда

в в ы р а ж е н и е

(200)

и,

i= i

приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях,

опре­

деляют

b,k

=

—

^

-,

Ь„ =

0.

(203)

Тем самым

в первом

приближении з а д а ч а

полностью

решена .

В случае

необходимости таким

ж е способом

находят и

второе

жение дают

настолько полные результаты,

что

необходимость

в следующих

приближениях

обычно

отпадает .

С л о ж н е е

обстоит

дело,

когда система в вырожденно м со­

стоянии. Г л а в н а я трудность

заключается в

том,

что ^ - ф у н к ­

ции

неортогональны,

однако всегда

возможно

о б р а з о в а т ь из

них

линейные ортогональные

комбинации,

а

затем применить

ту ж е

канву

рассуждений, что и в предыдущей задаче . П о з ж е ,

р а с с м а т р и в а я

молекулу водорода,

мы применим

описанный

метод

д л я получения конкретных результатов .

СИСТЕМЫ ИЗ БОЛЬШОГО ЧИСЛА ЧАСТИЦ

Д л я систем, образованных из

многих частиц,

в квантовой

ности. П р е ж д е всего

отметим принцип

тождественности. В си­

стеме из одинаковых частиц, например

только

из

электронов,

невозможно отличить

одну частицу от

другой.

Это

ясно из са­

тельно, г|)-функция состояния относится ко

всей системе

в

це­

лом, поэтому

вероятность

нахождения, вычисленная в

какой-

нибудь

точке

пространства Р,

с

одинаковым

правом

может

быть отнесена

к

той или

другой

частице,

а

это

значит,

что

м е ж д у

ними нет

различия .

Тот

ж е вопрос

м о ж н о

решить

не­

перейдут в

положения Х і 1 и

хг1 . Т а к к а к

микрочастицы

подчи­

няются соотношению неопределенности, мы не м о ж е м

в

прин­

ципе рассчитать их траектории и поэтому

не м о ж е м

решить,

ка­

к а я

из

двух

частиц

о к а ж е т с я ,

с к а ж е м ,

в

точке

Х і 1

,

следова­

тельно, они тождественны .

Д р у г о е

замечательное

свойство

микрочастиц

было

открыто

с помощью

квантового оператора перестановки Р^.

Сущность

его действия на -ф-функцию сводится к тому,

что

л ю б а я

п а р а

частиц обменивается состояниями. Рассмотрим систему

из двух

частиц.

Пусть

qi — набор

п а р а м е т р о в возмущенного

состояния,

включая

спин,

или,

к а к

принято

говорить,

совокупность

обоб­

щенных координат данного состояния, a

qk — обобщенные

ко­

ординаты

другого

состояния, Ф [ q , ( 1 ) , q^2 ']

— волновая

функция

системы,

когда

первая

частица

в

состоянии

q;,

а

вторая — в

состоянии

qk.

Применив

к

[ q j 1 ' ,

qW] оператор

перестановки,

по

смыслу

мы д о л ж н ы

получить

функцию

ф [q<2 ) ,

q k l f

] ,

умно-

л

Р . к Ф К ( , ) ,

q k 2 , ] = ^ [ q i 2 , . q k ,

) ] .

л

(204)

У м н о ж и м

равенство

(204)

снова

на оператор

рік,

тогда

О fa}'»,

qf e 2 ) ] =

[ q | 2 ) , qL"]

= Щ [q!»,

qj2 !] ^

Ф

q k 2 ) l -

(205)

П р а в а я

часть

(205)

д о л ж н а тождественно

совпадать

с

[q, ( 1 ) ,

q k 2 ) ] ,

так

как, д в а ж д ы

поменяв

пару

состояний,

мы

вернемся

к начальной ситуации. Отсюда

з а к л ю ч а е м :

оператор

переста­

новки имеет два собственных значения К=

± 1 .

Этот

неслож­

ный

расчет

приводит

к

открытию

двух

классов

г|з-функций и

соответственно

двух

видов

микрочастиц,

^ - функции,

которые

не изменяют знака, когда пара частиц обменивается

состояни­

ями,

называются

симметричными,

а

функции,

изменяющие

знак,

называются

антисимметричными.

Математически эти

свойства в ы р а ж а ю т с я

очень

просто:

[qP>, q^2 ) ] =

<\ [q!2>,

q ^ ] ;

ф в

[qf'»,

qL2 , I =

- 1 «

№

Q ^ l -

(206)

Сформулируем

некоторые

очевидные

п р а в и л а

симметрии:

ф-функция

данного

класса,

у м н о ж е н н а я

на

постоянный

или

переменный множитель одного знака, — функция

того

ж е

клас ­

са; произведение

симметричной

функции

на

антисимметричную

есть

функция

антисимметричная;

сумма

двух

функций одного

класса — функция

того ж е

класса,

а

произведение

двух

функ­

ций

одного

класса — всегда

функция

симметричная .

П о л ь з у я с ь

правилами

симметрии,

д о к а ж е м

в а ж н у ю

теорему:

симметрия

ф-функции

со

временем

не

меняется,

следовательно,

функция

одного

к л а с с а

не

м о ж е т

обратиться

в

функцию

другого

класса .

П р е д в а р и т е л ь н о

убедимся

в

том,

что

оператор

Гамильтона

л

симметричный. H равен сумме операторов кинетической и /по­

тенциальной

энергий

(U +

T ) ,

первый

из них

в

свою

очередь

равен сумме

к в а д р а т о в

операторов

проекций

импульса,

поде-

л

ленных

на

постоянное 2 т * ,

следовательно, оператор

Т

симмет­

ричный,

и его

действие

не

может нарушить

симметрии

функ-

л

ции

(вспомним

результат

действия

Put ).

Операѵор

U

т а к ж е

симметричный,

. так

как

потенциальная

энергия

зависит

лишь

от

взаимного

расстояния

м е ж д у

частицами

r i k =

г/Л (хі — x k

) 2 4 - (у, — y k

) 2

4-

(z, —

z k ) 2 ,

которое

симметрично

относительно

Л

функ-

координат, поэтому и Ü не меняет симметрии

л

ций. Т а к и м

образом,

H т а к ж е

сохраняет

симметрию

функции

•ф. П о л ь з у я с ь

уравнением

Шрёдингера,

определим

симметрию

д и ф ф е р е н ц и а л а

ф-функции.

d ' h = ^ H ' { i d t .

(207)