книги из ГПНТБ / Писарев Н.М. Элементы квантовой механики и статистической физики [учеб. пособие]

о состоянии атома

в магнитном поле — о д н а

из актуальных,

при­

чем весьма существенную роль в

ней играет орбитальное

маг­

нитное число m;.

О б р а т и м с я

теперь

к тому

уравнению

Шрёдингера

(146), ко­

торое содержит

р а д и а л ь н у ю

часть ^Р-функции R ( r ) .

П о д с т а в и в

в него значение

L 2

из в ы р а ж е н и я

(160),

получим

d 2 ^

2

^

8 ^ /

^

d r s

г

dr

1

h 2

V

4iE0 rj

г2

'

Введем

новую

функцию

R =

и

переменную

р = —,

где

а = — — — .

р

а

З а т е м

введем

пока

неопределенное

безразмерное

Zue2m*

число п, через

которое мы

будем

искать

энергию согласно

соот-

1

h 2

ношению

Е п =

=

.

Такой

выбор

гарантирует л и ш ь

п 2

8 л » т * а

нас в

этой

з а д а ч е

не

интересует.

Выполнив все у к а з а н н ы е

под­

становки, придем к

уравнению

Ці-П

d 2 v

,

1

,

1

0.

(168)

d p 2 " ^

4n 2

p

p2

Теперь

легко найти предельные

решения

уравнения

(168).

Если

р - * - 0,

то

члены

и

— будут

много

меньше члена

——1—- ,

4 п 2

р

р а

поэтому

— - ~

и — м о ж н о

отбросить,

и

тогда получим

V (р)

=

= р ' + 1 . Если

ж е

р - э - оо,

м о ж н о опустить

дв а последних

члена

в

скобках,

тогда

ѵ (р) =

е

2 п

(е

2 п

неприемлемо, ибо

оно

расхо-

дится

при р - > о о ) .

У к а з а н н ы е

предельные решения

позволяют

п р е д у г а д а т ь

общий вид

полного

решения . Б у д е м искать

ѵ (р)

в виде

произведения С г е

2 х

Р п

, г д е Р п — п о л и н о м вида ?1+1

2

bkp\

k=o, I , . . .

k =

0,

1,

2,

....

Подставим

это

в ы р а ж е н и е в

равенство

(168),

приравняем

коэффициенты

при

одной и той

ж е

степени

р, после чего получим

рекурентную форму дл я Ьк .'

— (к +

/ +

1) — I

Ь к +

1

=

-

I +

Ь я .

(169)

к +

1

[(к + / +

г ) ( к +

1)

-

ці + \)\

ѵ

6..

15,55

15,16

15,01

4 ••

12,70

5 -

п г - т Л -

•о

12,04

ем

оо

о

-о

N-

ч>

l / \

O l

ч-

см

Ультрафиолетовое

Видимое

инфракрасное

излучение

излучение

излучение

Рис. 22

Ф у н к ц ия

R

зависит от двух

квантовых

чисел п и / ,

причем

из

ф о р м у л ы

(172)

видно,

что при

данном п /

не может быть боль­

ше

п — 1 . Действительно,

полином

Л а г е р р а

имеет степень n -4- I,

поэтому

производная

от

него

порядка

21 +

1 отлична

от

нуля,

если 2 / + 1 ^ п

+

/. Отсюда

получается

/ ^ п — 1 . Это ясно

и

из

ф о р м у л ы

(172),

если

учесть,

что м а к с и м а л ь н о е / получается

при

п г =

0.

Постоянная

С г определяется

из

условия

нормировки. Ее

зна ­

чение без

выкладок

Q

=

I f

n(n

- / - !

) !

(173)

\\° -.20

30

0,1

•

О \

5

10

15

20

25

50

? max

S-Состояния

0,2

\2t

0.1

X s

<<

'

I?

•

* * Ч * >

N /s

// .

N

О

5

10

15

20

25

30

р-состояния

0,2

0,1

43

42.

R - ' = W ^ " - 7 -

< 1 7 4 >

П е р в а я

из

них

соответствует

нормальному

состоянию,

т. е. со­

стоянию с наинизшим, значением энергии,

а последующие — воз­

бужденным .

З н а я в ы р а ж е н и е

R, м о ж н о найти

вероятность и

плотность

вероятности

н а х о ж д е н и я

электрона

по

радиусу

w r .

Согласно

ф о р м у л е

(165)

w r

=

Rn r2 ,

например, д л я

нормального

_ 2г

состояния

Wio (г)

= 4 а _ 3

е

а

г2 .

Это

в ы р а ж е н и е

имеет максимум

при

т =

а.

Полученное

значение

г

соответствует

радиусу

пер­

вой

Боровской

орбиты

водородоподобнэго

атома .

Удобно

чис­

ло

а

записать

короче:

а

_

ephaiQio

_

а 0

=

05 . 3Â

(

1 ? 5 )

Z u e 2 m *

Z

Z

В

равенстве (175)

а0

=

£ ° h 2 1 °

°

, гдеео = 8,854 • Ю - 1

2

а • сек/в

• м;

я е 2 т 0

h

=

6,62

•

Ю - 3 4

дж

•

сек;

е

=

1,602

•

10"1 9

а

•

сек;

т 0

=

=

9,101

• 10~3 1

кг.

Постоянная

а 0 — одна

из в а ж н ы х

констант

атомной физики, она р а в н а радиусу первой Боровской

орбиты

атома

вородора .

П о л н а я

плотность

вероятности

зависит от

ра ­

диуса

и

от

угла

Ф. Только в

нормальном состоянии

вероятность

не

зависит

от

углов, т . е . сферически симметрична

(см. рис. 21).

С а м о й примечательной особенностью зависимости

w от г яв­

ляется

то

обстоятельство,

что

она

принимает

м а к с и м а л ь н ы е

ветствуют

п а р а м е т р а м

Боровских орбит

не

только

в

нормаль ­

ном, но

и

в других состояниях. Н а п р и м е р ,

из

второй

и третьей

ф о р м у л

(174) следует,

что w 2 ; — " м а к с ,

когда

г =

2а

(рис. 23).

ѴпЛ.тДГ, » , ? ) - [ /

я п < а 3 [ ( п + / ) ! ] , ( / + | ш 1 ) |

^ Ы г

(176)

Согласно формуле (176) состояние атомов определяется

набо­

ром

квантовых

чисел п, /, m r , причем

n = 1, 2, 3,

оо; 1 = 0,

1, 2;

n — 1; іпг =

0,

± 1 , + 2 ,

-±_1. Пр и

заданном /

число

раз ­

личных

состояний

зависит

от набора

различных

mi и

равно

2/-J-1-

С другой

стороны,

при заданном n возможны

различ ­

ные состояния

по / и m/, отсюда

полное

число состояний

опре­

деляется законом арифметической

прогрессии

N =

^

(21 +

1) =

- { 1 +

[ 2 ( : +

1

) 1 і " =

n 2 .

(177)

о

М е ж д у

тем из

ф о р м у л ы

(171)

следует,

что энергия

атома за­

висит

л и ш ь от

главного

квантового числа п.

Таким

образом,

одному

значению

энергии

с фиксированным

п соответствует п 2

мального,

в ы р о ж д е н ы .

Понятие

в ы р о ж д е н и я

неизвестно в

классической физике. О д н а к о установление

ф а к т а

в ы р о ж д е н и я

или отсутствие такового весьма существенно

дл я

правильного

истолкования

многих физических явлений.

Излучение атома

водорода

Ч т о б ы

решить этот вопрос, как и

в

случае

осциллятора, ис*

следуем

временную

зависимость

среднего

дипольного

момен­

та

атома

в стационарных

состояниях

и при переходе из какого -

либо состояния

п,

/,

т г в

состояние

п',

т ' ь П о л н а я

^ - ф у н к ­

ция

в т а к о м

случае

представляется

линейной

суперпозицией

ty-функций

конечных

состояний:

і 2 7 С Е

t

і — Е

' t

ф = С і е

ь" almi

Umi{x, О, 9) + C2 e

ь

п'Гт<

% ,

ѵ ш

( r ,

»,

?

) .

Дипольный

момент

атома

равен

er, aero среднее

значение

р =

= е J ^r^*dV . П о д с т а в л я я

сюда \|), получаем

V

Р =

Р і + ~ Р 2

+"рз = С х

2 j < & m i r d V +

С 2 2 j

< | & Г т ; rdV

+

+

COS

2тг

(178)

А п г т / п . Г

т ; =2CtCi^almitfn4>m'l

rdVdr.

Первые дв а члена

в

в ы р а ж е н и и

(178)

определяют

средние ди-

. польные

моменты

в

стационарных

состояниях,

они

не

з а в и -

,

_

Е п ( ш , — En'/'m;

("ITCH

»n/imn'f'm,

—

-—;

\ 1 ' V)

1

i

h

онарного состояния в другое атом излучает или поглощает

энер­

гию с

частотой, определяемой

законом

(17).

Нетрудно

заметить полное

совпадение

выведенных

условий

излучения

с

постулатами

Бора .

Собственно

говоря,

постулаты

Б о р а

в

квантовой

механике — не

постулаты,

а следствия,

полу­

ченные

путем

последовательного

применения

ее

основополага ­

ю щ и х принципов. Вернемся к

в ы р а ж е н и я м

(178)

и

(179). Хо­

тя из

них

и в ы т е к а е т

в о з м о ж н о с т ь

излучения

атомом

при

пере ­

ходах

из

одного

энергетического

состояния

в другое,

'но при

этом надо еще выяснить, какие переходы

в о з м о ж н ы ,

а

какие

нет. К а к

и в

случае

осциллятора,

дл я

этого

требуется

вычис­

лить все матричные элементы

A n

; m

/ n ' / ' m

j .

В результате про­

деланных

расчетов

(см.,

например,

книгу

Блохинцева

«Основы

квантовой

механики»)

были найдены п р а в и л а

отбора

дл я кван­

товых

чисел,

лимитирующие

в о з м о ж н ы е

переходы выполнени­

ем условий:

А/ =

± 1 ;

Д т , =

0 + 1 .

*

(180)

величину. Если

атомы находятся

в

вырожденнном

состоянии,

полученные

ограничения

(180)

излишни,

так как энергия

при

этом зависит

л и ш ь

от главного квантового числа,

к тому ж е

п р а в и л о частот

(179) дл я

в ы р о ж д е н н ы х

состояний

в ы р а ж а е т с я

проще:

Vnn' = E

" ~ E n '

•

(181)

h

Сопоставляя закон (181) с принципом

Р и т ц а - Р и д б е р г а ,

кото­

рый определяет

те

ж е частоты

через

термы Т,

V =

сТп' — с Т п ,

где

Т п

=

— ,

Тп' =

n

n '2

мы получим теоретическое

в ы р а ж е н и е

д л я

термов и

д л я

посто­

янной

Р и д б е р г а :

Т п =

- ^ ;

R = - - i ^ 2 -

= R 0

O — L _

; R

84WC

(182)

n

he

Z2 hC

mo '

0

0

M

В р а с ш и ф р о в к е

равенств

(182)

использовано

в ы р а ж е н и е

энер­

гии (171). Теоретическое значение R», вычисленное через атом­

ные константы е-е,

т0, h и С, очень

хорошо

совпадает с

экспе­

риментальным .

Поправочный

коэффициент

~

играет

су-

щественную роль в анализе спектров - водородоподобных

ионов

одного и того ж е

элемента, состоящего из различных изотопов. В

таких

случаях

R

будут несколько

различными, например,

R H =

= 1,0967755 • 107

м - 1 , a

R«, =

1,0970742 • 107

м~\

вследствие

чего

спектральные

линии

изотопов

о к а ж у т с я

расщепленными

на несколько

компонент,

к а ж д а я

из

которых

п р и н а д л е ж и т

со­

ответствующему

изотопу.

И

д л я

этого

э ф ф е к т а

расчетные

дан­

ные хорошо согласуются

с экспериментальными .

Величину

рас­

опытным путем

с

помощью

формул (181)

и

(182),

м о ж н о

ис­

пользовать

д л я

расчета

массы

неизвестных

изотопов.

Т а к и

были

открыты некоторые

изотопы. Н а

рис.

22 графически пред­

ставлены энергетические

уровни

атома

водорода и

спектраль ­

ные

серии

Л а й м а н а , Б о л ь м е р а ,

П а ш е н а ,

Б р э к к е т а ,

П ф у н д а ,

Хэмфри .

Расчет

энергетических

уровней производится

по

ф о р м у л е

с

Z213,6

е 4 т э

1

0 „

/ ю о \

Е п —

— Эв,

-

=

13,6

Эв.

(183)

n2

8 s 0 a h » l , 6 1 -10-15

v

;

П о л ь з у я с ь

этой

формулой,

легко

получить

энергию

ионизации,

т. е. минимальную энергию, необходимую д л я того,

чтобы

уда ­

лить

электрон из

атома,

иначе говоря, перевести из нормаль ­

ного

состояния

в

свободное

Е п =

— Ei =

z2

13,6

эв

энергии

возбуждения, например

E J 2

= Е 2 — Е! = -

z2

13,6

эв,

и

соответ­

Орбитальный

магнитный

момент

В е р н е м ся

на

время к

Боровской

модели

атома

водорода .

Электрон

в р а щ а е т с я

вокруг

я д р а и

создает

орбитальный

ток

I

V

V

' о = е — ,

где

частота

вращения,

ѵ — скорость, г — ра-

диус

вращения .

Магнитный

момент

орбитального тока

Pt = I0 S — ™ .

С р а в н и в а я

это

в ы р а ж е н и е

с классическим

в ы р а ж е н и е м

ме­

ханического орбитального

момента

электрона

L =

m0 vr,

най­

дем

связь

.между

Р/ и

L:

P , =

- ^ - L .

(184)

мо пропорционал-ен орбитальному механическому

моменту.

Коэффициент пропорциональности

g; =

-^— называется гиро-

2 т 0

магнитным отношением. С точки

зрения

квантовой

механики

зрительный х а р а к т е р , имеющий л и ш ь

отдаленное

отношение к

реальности. Тем

не менее

квантовомеханическая

теория

при­

водит к

тому

ж е с а м о м у

соотношению м е ж д у

Р/ и L

(184),

поэтому в

нашем

элементарном пособии мы ее опустим, перей­

дя сразу

к

а н а л и з у в ы р а ж е н и я (184).

Поскольку

L

квантуется,

следовательно, Р;

т а к ж е

кванту­

ется:

ZITIQ

Zlt

ZIHJ

Особенно

в а ж н о

квантование

проекции

магнитного

момента,

ибо

ственно

практики

да и

теоретики

под магнитным моментом

п о д р а з у м е в а ю т

проекцию P;z . Во

и з б е ж а н и е

недоразумений

это надо иметь в виду.

И з ф о р м у л ы

(185)

получается

в ы р а ж е н и е

своеобразного

кванта

магнитного момента

электрона:

р-в = - ^ — =

9,2732 • 10~2 4 дж.

(186)

4itm0

(Лв называется

атомным

магнетоном

Б о р а .

Сопоставляя

ра ­

венства

(185)

и

(186),

з а к л ю ч а е м :

проекция

магнитного

мо­

мента на ось

принимает

л и ш ь целые

значения

магнетонов

Бо -

экспериментально .

П е р в ы м и

т а к у ю попытку

предприняли

уче­

ные

Штерн

и

Герлах . И д е я

их

опыта

очень

проста. Узкий пу­

чок

атомов

в

состоянии

с з а д а н н ы м

I н а п р а в л я ю т

в

неодно­

родное

магнитное

поле,

направленное

по

оси

г.

Если

атомы

о б л а д а ю т

магнитным

моментом,

то

на

них

действует

сила

t

А

f = — P . c o s

(В, Р) — —

Р . . П о классическим

з а к о н а м ,

среди

ко-

dz

dz

лоссального

количества

атомов

в пучке одинаково часто

встреча­

ются как положительные, т а к и отрицательные

P;z , причем

набор

абсолютных

значений Р& образует сплошной спектр,

поэтому,

когда

атомы

пройдут

неоднородное поле

и

попадут

на

экран

индикатора

(в случае ионов индикатором может быть люмино ­

фор

или

ф о т о п л е н к а ) ,

они создадут диффузное,

т. е.

размытое

пятно.

И н а я

картина

о ж и д а л а с ь

при

условии

справедливости

квантовых

законов. К а к

мы

знаем, PZ z

=

гп(цв,

поэтому

,

dB

следовательно,

сила

т о ж е квантуется,

і =

Ш: — р в ,

dz

Пусть

/ = 1

(р — состояние),

в

таком

случае

m;

принимает

значения

0,

+ 1 , — 1 . Значит,

орбитальный

и магнитный

момен­

ты имеют

только

три

проекции.

О т к л о н я ю щ а я

сила

f

т а к ж е

принимает только

три

значения

„

dB

dB

и

на

экране

0;

ц в — }

— У-ъ—,

dz

dz

индикатора

д о л ж н ы образоваться

три

следа.

Опыт

качествен­

но и количественно подтвердил эти расчеты,

следовательно,

квантование

механического

и

магнитного

моментов — бесспор­

ный

факт. М е ж д у

прочим

эти

опыты позволили

сделать

выбор

м е ж д у ф о р м у л а м и

момента

импульса

в

элементарной

теории

Б о р а и квантовой теории. К а к

известно, по Б о р у

L =

mvr

=

n

где

n =

1,2,3..., а

по квантовой

теории

L =

— 1 / / ( / - | - 1 ) .

Опыт

подтвердил

квантовую

формулу .

Впрочем

п~-

= у~щЦГ\у

~2~'

если

/ >

1.

СПИН ЭЛЕКТРОНА

В 1925 г. Уленбек и

Гаудсмит

д л я

объяснения

некоторых

тонких

деталей

спектров,

не

п р е д с к а з ы в а е м ы х

известной - тогда

квантовой

теорией,

выдвинули

гипотезу

о

существовании

элек­