книги из ГПНТБ / Писарев Н.М. Элементы квантовой механики и статистической физики [учеб. пособие]
.pdfБ а л ь м е р а |
(m |
= |
2), П а ш е н а |
(m = 3), Б р э к к е т а (m = 4), |
П ф у н - |
||||
да (m = |
5), Хэмфри |
(m = |
6) . |
|
|
|
|||
П о л ь з у я с ь |
введенным |
спектрографистами |
понятием |
«терма» |
|||||
д л я в ы р а ж е н и я |
-- |
• = Г п |
и |
волнового |
числа |
—, принцип Рит- |
|||
ца — Р и д б е р г а |
|
м о ж н о с ф о р м у л и р о в а т ь |
так: |
л ю б о е волновое |
число любой спектральной серии есть разность двух термов, из которых первый постоянен д л я данной серии, а второй изменя ется скачками .
Ясно, |
что открытые |
спектрографистами термы имели |
какой - |
|
то физический смысл, |
а спектральные |
закономерности |
имели |
|
прямое |
отношение к |
свойствам атомов, |
поскольку последние |
я в л я ю т с я источниками |
излучения. М ы д о л ж н ы |
констатировать, |
|||||||||
что классическая физика не могла совместить |
свойства |
атомов, |
|||||||||
как она их понимала, с з а к о н а м и линейчатых спектров. |
|
|
|
||||||||
Таким образом, кризис классической физики во втором де |
|||||||||||
сятилетии нашего века |
углубился: не поняв происхождения |
све |
|||||||||
товых |
квантов, |
она |
не |
могла |
понять |
ни свойств, ни д а ж е |
суще |
||||
ствования устойчивых |
атомов. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Первую попытку найти выход из этого тупика |
предпринял в |
||||||||||
1914 г. датский |
физик |
Нильс |
Б о р . О п и р а я с ь на |
твердо |
установ |
||||||
ленные |
факты, |
он |
выдвинул |
три |
постулата . |
П е р в ы й |
из |
них |
|||
у т в е р ж д а е т : в изолированных атомах электроны |
д в и ж у т с я |
по |
|||||||||
стационарным круговым орбитам, и при этом их энергия |
|
остает |
|||||||||
ся постоянной, |
так |
что |
атом |
не излучает и не |
поглощает |
ника |
кой энергии и потому остается устойчивым. Согласно второму —
момент количества |
движения |
электрона в атоме м о ж е т |
принять |
л и ш ь дискретные |
значения: |
|
|
m0 vr = n h-<n |
= 1, 2, 3 , . . . , о о ) . |
(13) |
И, наконец, третий постулат гласит: при переходе электрона с одной орбиты на другую атом или поглощает, или излучает квант энергии, равный разности энергий электронов на орбитах:
|
|
К , п |
= |
Е п — Е ш . |
|
(14) |
Сопоставляя третий постулат с принципом Ритца, Бор |
получил |
|||||
первый в а ж н ы й |
результат: |
|
|
|
|
|
|
|
Т п |
= - |
^ h. |
|
(15) |
В ы р а ж е н и е |
(15) |
у к а з ы в а е т |
физический |
смысл терма, а |
именно: |
|
|
|
|
|
|
h |
|
с точностью |
до знака и сомножителя |
- термы равны |
энергии |
10
э л е к т р о н ов на орбитах . З а т е м , используя свои постулаты и час тично з а к о н ы классической физики, он получил правильное чис ловое значение постоянной Р и д б е р г а и тем с а м ы м теоретически объяснил спектральные закономерности водорода и водородоподобных ионов. Более того, ему у д а л о с ь вычислить радиус ато ма водорода в наинизшем энергетическом, или нормальном,
состоянии в хорошем согласии с опытными |
данными . Н о |
теория |
|||||||
Б о р а не |
могла |
объяснить |
всех |
свойств |
атома водорода |
и его |
|||
спектра. |
Н а п р и м е р , Бор |
не |
мог |
вычислить |
интенсивности |
спект |
|||
ральных |
линий |
и |
других |
деталей, а попытки как-то объяснить |
|||||
спектры |
более |
с л |
о ж н ы х |
атомов |
вообще |
не |
увенчались успехом. |
Это. и понятно, ведь его теория не была последовательной, час тично она использовала квантовые представления, а частично — классические. Бор это ясно сознавал . И все-таки предпринятые Б о р о м попытки были шагом в правильном направлении . Они привели к построению квантовой физики, которая строго и ло
гично о б ъ я с н я л а |
все свойства |
атомов и многое другое. |
|
||||
|
|
|
ГИПОТЕЗА ДЕ БРОЙЛЯ. |
|
|
||
|
|
ВОЗНИКНОВЕНИЕ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ |
|
||||
|
Р а з м ы ш л я я о |
д у а л и з м е |
свойств света, французский |
физик |
|||
де |
Б р о й л ь в |
1923 |
г. в ы с к а з а л предположение: |
не распространя |
|||
ется ли этот |
д у а л и з м на |
все |
м а т е р и а л ь н ы е объекты . Ведь |
исто |
|||
рия |
науки |
показывает, |
что |
наиболее общие |
закономерности, |
например такие, к а к законы сохранения энергии и импульса, присущи всей природе. Если ф о р м у л ы (8) в ы р а ж а ю т д у а л и з м свойств света, то записанные применительно к объектам, заве
домо |
я в л я ю щ и м с я частицами, по |
классическим |
представлениям, |
|||||||||
те ж е |
ф о р м у л ы отобразят д у а л и з м |
свойств |
и |
этих |
последних. |
|||||||
Д л я |
свободных |
частиц |
гипотеза |
де Б р о й л я |
была |
сформули |
||||||
рована |
так: с к а ж д о й свободно |
д в и ж у щ е й с я |
|
частицей |
связана |
|||||||
монохроматическая |
волна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(16) |
п а р а м е т р ы |
которой |
определяются |
соответственно энергией |
час |
||||||||
тицы |
и ее |
импульсом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Если |
в ы р а ж е н и я |
(17) |
верны, |
то |
частицам |
присущи |
не |
толь |
||||
ко корпускулярные |
свойства, проявляющиеся, |
|
с к а ж е м , |
в соуда |
||||||||
рениях, |
но |
к волновые, о б н а р у ж и в а ю щ и е с я в |
явлениях |
д и ф р а к - |
11
ции |
и интерференции. |
Этот |
вывод |
о к а з а л с я |
п р а в и л ь н ы м . |
В |
||||||||
1927—28 гг. Дэвисон и |
Д ж е р м е р , |
а |
несколько |
п о з ж е |
Томсон |
|||||||||
открыли д и ф р а к ц и ю электронов . Это явление хорошо |
н а б л ю д а |
|||||||||||||
ется, если X сравнима с периодом |
решетки |
|
d. Учитывая |
извест |
||||||||||
ную |
массу покоя |
электрона |
( т 0 = |
9,1 • Ю - 3 |
1 |
кг) |
и его |
скорость |
||||||
|
|
|
|
|
по ф о р м у л е де Б р о й д я , м о ж |
|||||||||
|
|
|
|
|
но оценить длину электрон |
|||||||||
|
|
|
|
|
ных волн. Величина К о к а з а |
|||||||||
|
|
|
|
|
л а с ь |
равной приблизительно |
||||||||
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 А. Следовательно, |
н а б л ю |
||||||||
|
|
|
|
|
дение д и ф р а к ц и и |
электронов |
||||||||
|
|
|
|
|
можно осуществить с по |
|||||||||
|
|
|
|
|
мощью |
кристаллических |
ре |
|||||||
|
|
|
|
|
шеток |
с |
периодом |
того |
ж е |
|||||
|
|
|
|
|
порядка . Н а рис. 3 представ |
|||||||||
|
Рис. 3 |
|
|
лена |
принципиальная |
схема |
||||||||
|
|
|
опыта Томсона. Из электрон |
|||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
ной |
пушки |
вылетает |
поток |
||||||
электронов, ускоряемый |
электростатическим |
полем |
с |
н а п р я ж е |
||||||||||
нием U . Серия д и а ф р а г м |
вырезает из этого потока узкий луч, на |
|||||||||||||
п р а в л я е м ы й на поликристаллическую |
пленку. З а пленкой |
распо |
||||||||||||
лагается индикатор, им может быть цилиндр |
Ф а р а д е я (так было |
|||||||||||||
в оригинальных |
опытах |
Д э в и с с о н а — Д ж е р м е р а ) , |
фотопленка |
|||||||||||
или |
сцинцилляционный экран . П р о ш е д ш и е |
электроны |
о б р а з у ю т |
на экране типичную д и ф р а к ц и о н н у ю картину в виде концентри
ческих |
колец, угловые радиусы которых равны 2 -fr, где Ѳ опреде |
||||||
ляется |
законом |
В у л ь ф а — Бреггов: |
|
|
|||
|
|
|
2d sin & = nX(n = |
1,2,3,...). |
|
(18) |
|
|
Д л я |
проверки гипотезы де Б р о й л я вначале |
необходимо най- |
||||
ти |
значение К из |
в ы р а ж е н и я (18), |
а затем по |
ф о р м у л е |
Я = _ |
||
|
|
|
|
|
|
|
Р ' |
В этом опыте импульс р легко определить из |
закона |
сохране - |
|||||
ния |
энергии: eU =•2 т 0 |
, где eU — работа электростатического по- |
|||||
л я : |
2 т п |
кинетическая энергия электрона . Таким образом, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
(19) |
Значения К, вычисленные по ф о р м у л а м (18) и |
(19), совпадают . |
Тем самым гипотеза де Б р о й л я , по крайней мере в отношении электронов, превратилась в достоверный факт . Опыты по обна -
12
р у ж е н и ю дифракции электронов, протонов, нейтронов и других
микрочастиц проводились много раз, и все они д а л и |
положи |
|||||||||||
тельной |
результат . |
Следовательно, |
в ы ш е у к а з а н н ы е |
закономер |
||||||||
ности м о ж н о считать |
справедливыми д л я л ю б ы х |
частиц. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
СМЫСЛ ^-ФУНКЦИИ. |
|
|
|
|
|
||
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ТРАКТОВКА БОРНОМ ВОЛН ДЕ |
БРОЙЛЯ |
|||||||||||
В классической |
физике волновой процесс — это |
распростра |
||||||||||
нение колебаний частиц среды, например воздуха. |
Естественно, |
|||||||||||
возникает вопрос о том, какой |
ж е смысл волны де |
Б р о й л я . |
|
|||||||||
В н а ч а л е было высказано предположение, что |
к а ж д а я |
части |
||||||||||
ца суть |
суперпозиция |
волн де |
Б р о й л я с различными |
гро и |
к, так |
|||||||
н а з ы в а е м ы й волновой |
пакет: |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
f ( U ) = |
j |
Ф о к в - ч - * - ^ d k ; |
" = y E ] |
k |
= l T - |
( 2 0 ) |
|||||
|
|
k0 -4k0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поводом д л я такой |
|
трактовки |
послужили д в а |
|
обстоятельства: |
|||||||
во-первых, |
согласно |
ф о р м у л е |
(20), |
варьируя |
-фок |
и |
к, |
м о ж н о |
||||
подобрать |
пакет, |
по |
форме и р а з м е р а м с о в п а д а ю щ и й |
с таковы - |
Рис. 4 |
Рис. 5 |
ми д л я заданной частицы |
(рис. 4) . Во-вторых, оказалось, что |
центр группы д в и ж е т с я со |
скоростью, равной скорости частицы. |
Действительно, групповая скорость, к а к известно, — , но соглас-
но ф о р м у л а м де Б р о й л я
|
тір2 |
h |
. , |
do) |
|
hk |
|
p |
ш = |
— v - |
= |
k~, так что — |
= |
• — — |
= |
— = V, |
|
|
hm0 |
4rcm0 |
|
dk |
2rcm0 |
|
m 0 |
|
где V —-скорость частицы. |
|
|
|
|
|
|||
И т а к , пакет |
м о ж е т |
иметь |
р а з м е р ы , |
форму |
и |
скорость соот |
||
ветствующей |
частицы. |
Если |
бы частица |
была |
тождественна |
13
пакету, то легко было бы понять, почему |
она о б л а д а е т |
волно |
|||||||||||||||||
выми свойствами. И все |
ж е эта |
гипотеза |
о к а з а л а с ь |
несостоя |
|||||||||||||||
тельной |
по |
ряду очень |
в а ж н ы х |
соображений . Волны |
де |
Б р о й л я , |
|||||||||||||
оказывается, |
о б л а д а ю т |
|
дисперсией |
д а ж е |
в |
пустом |
пространстве, |
||||||||||||
т. е. ф а з о в а я |
скорость |
|
волн |
де |
Б р о й л я |
зависит от |
К или . от к: |
||||||||||||
ѵ{ = — ; |
ш = |
— |
к 2 |
; |
|
Vf = |
— — к. Отсюда следует, что волновой |
||||||||||||
|
к |
|
|
4 л т |
0 |
|
|
|
|
4л т „ |
|
со временем |
р а с п л ы в а т ь |
||||||
пакет, и з о б р а ж а ю щ и й |
частицу, д о л ж е н |
||||||||||||||||||
ся, |
ибо |
его компоненты, т. е. волны де |
Б р о й л я , |
д в и ж у т с я с |
|||||||||||||||
р а з н ы м и |
скоростями. Н и ж е |
приводится |
|
ф о р м у л а д л я промежут |
|||||||||||||||
ка времени, в течение которого волновой |
пакет |
увеличивается |
|||||||||||||||||
вдвое: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т = |
2 т 7 | / 3 ^ - ° . |
|
|
|
|
|
(21) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
Здесь bo — первоначальная |
длина |
пакета, |
т о — масса |
частицы* |
|||||||||||||||
пакета . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если |
применить |
эту |
ф о р м у л у |
к |
электрону, |
д л я |
которого |
|||||||||||
b £ £ l 0 - 1 4 |
м, |
m 0 = |
9,l |
• 10~3 1 |
кг, |
то т = 1 0 - 2 |
6 сек, |
но |
в |
действи |
|||||||||
тельности |
свободные |
|
электроны |
остаются |
неизменными |
прак |
|||||||||||||
тически |
вечно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Есть |
еще |
одно |
очень |
веское |
в о з р а ж е н и е |
против |
отождествле |
|||||||||||
ния |
частиц |
с |
пакетом . |
Если группа волн |
проходит |
через |
д и ф |
ракционную решетку, то она расщепляется на отдельные моно
хроматические пучки, идущие в разных направлениях |
(рис. 5), |
|||||||
что означало |
бы |
расщепление и частицы на отдельные «оскол |
||||||
ки». О д н а к о |
во |
всех опытах электроны, протоны и другие эле |
||||||
ментарные частицы ведут себя к а к целые о б р а з о в а н и я , |
не р а с |
|||||||
п а д а ю щ и е с я |
на |
части |
вследствие |
д и ф р а к ц и и . И т а к , |
частица — |
|||
не волновой |
пакет. |
|
|
|
|
|
||
Тогда было выдвинуто предположение, что отдельные кор |
||||||||
пускулы |
вообще |
не о б л а д а ю т никакими волновыми |
свойствами |
|||||
и что последние |
проявляются только в |
коллективе взаимодейст |
||||||
вующих |
м е ж д у |
собой |
объектов . |
Это |
допущение |
фактически |
совпадает с классическим представлением о волне. Советские
ученые |
Фабрикант, |
Сушкин и Б и б е р м а и проделали |
такой опыт. |
|||||
Р а з р е ж е н н ы й |
поток электронов |
пропускался через |
кристалличе |
|||||
скую решетку, |
а затем |
н а б л ю д а л о с ь появление электронов |
на |
|||||
сцинцилляционном |
экране . Если бы волновые свойства |
были |
||||||
присущи только плотной |
массе |
взаимодействующих |
электронов, |
|||||
то в р а з р е ж е н н о м |
потоке |
волновых свойств не д о л ж н о было |
бы |
|||||
быть, |
ибо к а ж д ы й |
электрон, пролетавший через решетку, не |
||||||
«зная» |
судьбы |
остальных, летел |
д а л е е подобно обычной |
класси |
||||
ческой |
частице, не |
подчиняясь |
ф о р м у л а м де Б р о й л я ; на |
э к р а н е |
14
с л е д о в а ло о ж и д а т ь распределение |
электронов такое, с к а ж е м , |
||||
какое получается |
д л я |
зерна, пропущенного |
сквозь |
решето. В |
|
действительности |
все |
о к а з а л о с ь не |
так. Н а |
э к р а н е |
появилась |
картина интерференции, и хотя чередование максимумов и ми
нимумов |
н а б л ю д а л о с ь л и ш ь при |
достаточно длительной |
экспо |
|
зиции, но |
это обстоятельство не имело принципиального |
значе |
||
ния. Если |
бы волновые свойства |
не были присущи отдельным |
||
частицам, |
картина д и ф р а к ц и и и |
интерференции |
в слабом |
пото |
ке частиц |
не возникла бы никогда. С т а л о быть, |
версия о |
прояв |
лении |
волновых |
свойств л и ш ь |
в потоке взаимодействующих кор |
пускул |
отпала . |
|
|
|
а) |
' |
б) |
|
|
Рис. |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
П р а в и л ь н о е толкование волн |
де |
Б р о й л я д а л |
немецкий уче |
||||||||
ный М а к с Борн . Он" обратил внимание |
на |
то, |
что |
при |
короткой |
||||||
экспозиции |
д и ф р а к ц и я |
электронов |
будто |
бы |
не |
н а б л ю д а е т с я : |
|||||
электроны попадают на э к р а н в случайные места |
(рис. |
6 а ) . С |
|||||||||
увеличением |
времени |
экспозиции |
она |
появляется |
на |
э к р а н е |
|||||
(рис. 66). Следовательно, волновая |
картина н а б л ю д а е т с я |
л и ш ь |
|||||||||
при попадании на э к р а н огромного |
числа |
частиц, |
|
но |
это |
озна |
чает, что поведение электронов носит вероятностный, или ста
тистический характер, ибо |
статистическая закономерность |
к а к |
|||||
р а з |
и з а к л ю ч а е т с я в том, что на практике она |
проявляется |
л и ш ь |
||||
д л я |
огромной |
массы |
однотипных объектов |
и незаметна, |
если |
||
ее применять |
к объектам, число которых |
невелико. |
|
||||
|
Т а к и м образом, волны |
де Б р о й л я , |
по мнению Борна,—-это |
||||
волны вероятности, |
или |
информации . |
Они |
у к а з ы в а ю т |
л и ш ь |
ш а н с появления частицы в том или ином месте пространства . Математически свою идею Борн выразил следующим о б р а з о м . Известно, что по классическим законам интенсивность полос интерференции определяется к в а д р а т о м амплитуды волны в
15
соответствующей |
точке. Применительно |
к д и ф р а к ц и и |
микрочас |
|
тиц, описываемых |
волновой функцией |
гр, интенсивность |
полос |
|
означает попросту |
густоту попадания частиц в то или |
иное |
мес |
то пространства, поэтому вероятность попадания частицы в
элемент объема как р а з и пропорциональна |
по |
Борну |
к в а д р а т у |
|||||||||||||||||
модуля |
волны |
де Б р о й л я |
|і|)І2 |
и элементу |
объема |
dv: |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
d W |
= l - i f d V |
= |
•V*-4>dV. |
|
|
|
|
|
|
(22) |
|||||
Поскольку i|) часто бывает комплексной, то |
ее к в а д р а т |
нужно |
||||||||||||||||||
записать как произведение г|? на, комплексно сопряженную |
ей |
|||||||||||||||||||
функцию |
г|з*. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В настоящее время трактовка М. Б о р н а |
считается |
общепри |
||||||||||||||||||
нятой; ее последовательное применение еще |
никогда |
не |
входи |
|||||||||||||||||
ло в противоречие с |
опытом. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
СООТНОШЕНИЕ |
НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ |
ГЕЙЗЕНБЕРГА. |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
ПРИНЦИП ДОПОЛНИТЕЛЬНОСТИ Н. БОРА |
|
|
|
|
|||||||||||||
В свете толкования М. Б о р н о м г|з-функции мы |
м о ж е м |
пере |
||||||||||||||||||
осмыслить суть волнового паке.та. Его |
|
п р е ж н е е |
представление |
|||||||||||||||||
как |
структуры самой частицы неверно, |
|
но |
понятие пакета |
|
все |
||||||||||||||
ж е |
оказывается н у ж н ы м |
|
и полезным, |
ибо |
к в а д р а т амплитуды |
|||||||||||||||
волн пакета у к а з ы в а е т вероятность |
местонахождения |
связанной |
||||||||||||||||||
с ним частицы. Учитывая эту интерпретацию, |
Гейзенберг, |
один |
||||||||||||||||||
из основателей - квантовой механики, сделал |
исключительно |
в а ж |
||||||||||||||||||
ный |
вывод. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Согласно теории волновых пакетов его ширина |
Д г |
и |
диапа |
|||||||||||||||||
зон А к представленных в нем |
воли |
с в я з а н ы |
соотношением |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Д г - Д к > 1 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
(23) |
||||
или |
в скалярной форме |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
Д х Д к х > 1 ; |
|
А у Д к у > 1 ; |
Д г Д к 2 > 1 . |
|
|
|
|
(24) |
||||||||
Д о к а ж е м |
это |
соотношение |
на |
частном |
примере. |
Р а с с м о т р и м |
||||||||||||||
простейший пакет волн |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
Дкх х |
. |
|
|
|
|
|
|
|
% = ) a e - ' ^ - ^ d k x = 2 а ( е - ' * ш 4 - к л ) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
к0-Дк„ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь а — предполагается |
постоянной, |
а |
о — независимой |
|
от |
к; |
||||||||||||||
ко — средняя |
величина волнового |
числа; |
Д к 0 — п о л о в и н а |
интер |
||||||||||||||||
в а л а р а з б р о с а значений |
к. Мгновенное |
и з о б р а ж е н и е этого |
паке |
|||||||||||||||||
та дано |
на рис. 7. П а к е т |
|
имеет м а к с и м а л ь н у ю |
амплитуду |
в |
точ |
||||||||||||||
ке |
X = |
0. |
С |
увеличением |
х |
пакет |
постепенно |
|
и |
периодически |
16
исчезает, |
поэтому д л я оценки |
его р а з м е р о в целесообразно |
взять |
|||||
удвоенный интервал от |
центра пакета |
до первого минимума ам- |
||||||
|
|
|
|
|
Дх |
|
|
|
плитуды, |
определяемого |
из условия А к х — = ~ , |
о т к у д а |
Дк х Ах — |
||||
— 2г.. Если учесть, что в действительности пакет имеет |
большие |
|||||||
р а з м е р ы , |
то |
равенство |
Д к х |
Д х = 2 я |
следует |
заменить |
более |
|
общим в ы р а ж е н и е м Д к х |
Д х ^ |
2л. |
|
|
|
|
||
Согласно |
ф о р м у л а м |
де Б р о й л я . |
|
|
|
|
||
|
|
2г .. Д Р х |
|
2 л . Д р у |
Ак7 |
2t-.-AP z |
|
|
|
Д к х |
= |
А к у |
= |
|
|
|
П о д с т а в л я я |
эти значения |
в в ы р а ж е н и я |
(24), |
получаем |
соотно |
|||||
шение |
Гейзенберга |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
A x A p x > h ; |
A y A p y > h ; |
AzApz > |
h*. |
|
|
(25) |
||
Это означает, что у микрочастиц нельзя |
одновременно |
сколько |
||||||||
угодно точно измерить координаты и проекции импульса: |
чем |
|||||||||
точнее измерена координата, т. е. чем меньше, например, |
Д х , |
|||||||||
тем больше |
Д р х , |
значит, |
р х становится |
все более |
неопределен |
|||||
ной, и наоборот. Описанная неопределенность обусловлена |
не |
|||||||||
несовершенством |
техники |
измерения, |
а |
внутренней природой |
||||||
самих |
микрообъектов . Поскольку координаты |
и |
импульсы |
не |
д а ю т возможности однозначно определить состояние микрочас
тиц, |
то понятие траектории |
д л я них теряет |
смысл, ибо |
траекто |
||||||
р и я — это линия, |
в к а ж д о й |
точке |
которой |
одновременное . и точ |
||||||
ное |
у к а з а н и е координат и импульсов принципиально |
возможно . |
||||||||
* |
Более строгие |
расчеты |
показывают: |
коэффициент перед h |
в |
соотноше |
||||
ниях |
(25) заключен |
в пределах от |
0,1 |
до |
1. |
Обычно его берут равным |
1/2 л, и, |
|||
|
|
h |
|
, |
> |
h |
AzApz |
h |
|
|
таким образом, ДхДрх > —- , |
ДуДру |
— , |
> ——. |
|
|
17
С о д е р ж а н и е соотношения неопределенностей не исчерпыва
ется л и ш ь ограничениями д л я |
координат и импульсов; такие ж е |
ограничения н а к л а д ы в а ю т с я |
на погрешности измерения энер |
гии и момента времени ее появления в данном месте простран
ства. |
Рассмотрим |
конкретный |
пример . Свободная |
частица |
дви |
|||||||||||
ж е т с я |
по |
оси |
X с |
энергией Е = р х - , |
о т к у д а Д р х |
= |
— т 0 . |
|
И л и , |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
. 2 т 0 |
|
|
|
|
|
р х |
|
|
|
учтя, |
что |
рх == m 0 v x === т о |
—, |
Ар х = |
— - — . |
|
У м н о ж и м |
обе |
|
части |
||||||
последнего равенства |
на |
Д х |
и, сопоставив |
|
его с |
|
неравенством |
|||||||||
(25), |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A E - A t > - h . |
|
|
|
|
|
|
|
(26) |
||
Итак, если в данной точке пространства одновременно изме |
||||||||||||||||
ряется энергия частицы Е и момент ее появления |
(или |
исчез |
||||||||||||||
новения) |
t, то чем точнее определяется |
первая величина |
( Д Е - > - |
|||||||||||||
- > 0 ) , |
тем |
все |
неопределеннее |
становится |
вторая |
( Ä t - > o o ) , и |
||||||||||
обратно . |
Соотношение . (26) может иметь |
и |
т а к у ю |
интерпрета |
||||||||||||
цию: пусть A t — время |
жизни |
возбужденной |
системы, |
например |
||||||||||||
излучающего атома или радиоактивного ядра, тогда |
ДЕ — не |
|||||||||||||||
определенность энергии системы. Принцип |
неопределенностей |
|||||||||||||||
справедлив и д л я других сопряженных |
координат . Н и л ь с |
Б о р |
||||||||||||||
выдвинул |
положение, согласно |
которому |
в ы р а ж е н и я |
(25) |
и |
(26) |
я в л я ю т с я частными аспектами более общей закономерности . П о его мнению, объектам природы присущи (и не только в физиче ском смысле!) п а р ы дополняющих друг друга свойств, например волновых и корпускулярных . Свойства к а ж д о й такой пары вза имосвязаны в том смысле, что, когда проявляется одно из них,
становится невоспринимаемым |
другое. |
Это |
утверждение |
Б о р а |
|||||||
получило |
название |
принципа дополнительности, частным |
случаем |
||||||||
которого |
является |
соотношение |
неопределенности |
Гейзенберга . |
|||||||
|
Соотношение |
неопределенностей |
нередко |
толкуют |
преврат |
||||||
но: |
оно, |
якобы, |
у к а з ы в а е т на |
непознаваемость |
микрообъектов |
||||||
или |
их ограниченную познаваемость . |
В |
действительности |
ника |
ких пределов д л я познания природа нам не ставит, наоборот,
уравнения (25) |
и |
|
(26) открывают новые, неведомые свойства, |
з а к л ю ч а ю щ и е с я |
в |
проявлении дополнительных, в смысле Бора, |
|
черт материального |
мира. |
УРАВНЕНИЕ ШРЁДИНГЕРА
'Волновая функция -ф необходима не только д л я вычисления
вероятности |
местопребывания частицы, но |
и |
д л я |
н а х о ж д е н и я |
остальных |
п а р а м е т р о в : энергии, импульса |
и |
т. д. |
С т а л о быть, |
18
во зн ик а ет з а д а ч а об определении г|>функции д л я к а ж д о й кон кретной квантовой системы. Ее решил Э. Шрёдингер, частично
опираясь на умозаключения, а главное, |
на |
опыт. |
|
|
|
||||||||||||||
|
Д л я |
|
свободной |
частицы |
\|з-функция |
известна: |
это |
плоская |
|||||||||||
монохроматическая |
волна |
де |
Б р о й л я |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
- 2 л і \ _kt- |
_ |
|
L |
|
I . |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
О = |
ф0 е |
|
\ h |
|
|
|
h |
|
|
|
|
(27) |
||
Н а й д е м дифференциальное |
уравнение, |
решением |
которого |
яв |
|||||||||||||||
ляется |
волна |
(27). |
П р о д и ф ф е р е н ц и р у е м |
уравнение (27) по х, |
|||||||||||||||
у, z и получим |
соотношения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
t = T » * > |
|
|
|
|
|
ь |
= I * ' * - |
|
( 2 8 ) |
|||||||
Вторые |
производные по х, у, z: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
4 я 2 |
2 , |
|
|
|
4* |
|
2 , |
дѢ |
|
4* |
2 , |
|
|
||
|
й = ~ Ѵ * Ь |
w = |
- ь т Р у |
' ; |
І 5 = |
- ьг P«2 *- |
|
( 2 9 ) |
|||||||||||
С л о ж и м |
|
почленно левые и правые части уравнения |
(29): |
|
|
||||||||||||||
|
^ + é + |
|
^ |
= |
~ ^ ( р * " + Р у |
+ |
P z i |
|
• в |
~ » р |
*• |
m |
|||||||
или |
короче |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
h 2 |
А^ = |
Ек ф, |
|
|
|
|
|
|
(31) |
||
|
|
|
|
|
|
|
07С"ГП0 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
где |
А — о п е р а т о р |
Л а п л а с а ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Eh = |
~ |
|
кинетическая энергия свободной |
частицы. |
|
|
|||||||||||||
|
2 т 0 |
|
первую |
производную |
по |
времени |
от |
уравнения |
(27) |
||||||||||
Возьмем |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
^ _ |
= |
_ * L l E k |
* . |
|
|
|
|
|
|
(32) |
||
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
h |
|
' |
|
|
|
|
|
|
|
Н а й д е м |
|
Ek из |
уравнения |
(32) |
и подставим |
найденное |
в ы р а ж е |
||||||||||||
ние |
в уравнение |
(31) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
_ ^ д , ^ = _ А д _ І |
. |
|
|
|
|
|
(33) |
||||||
Это |
д и ф ф е р е н ц и а л ь н о е |
уравнение |
и |
определяет |
^ - ф у н к ц и ю |
сво |
бодной частицы. Теперь представим более общую ситуацию:
частица находится во внешнем силовом поле, |
тогда ее п о л н а я |
|||
энергия Е будет р а в н а сумме |
кинетической |
Е^ |
и |
потенциальной |
U . Шрёдингер предположил, |
что уравнение |
(32) |
сохраняет силу |
19