книги из ГПНТБ / Писарев Н.М. Элементы квантовой механики и статистической физики [учеб. пособие]

и в том случае, если в

его

п р а в у ю

часть

вписать полную энер ­

гию:

^

=

-

^

( Е к

+ и ) ф .

(34)

dt

h

Снова

исключив

из

этого

в ы р а ж е н и я

с помощью

уравнения

(31),

мы получим

одно

из

в а ж н е й ш и х

в ы р а ж е н и й

квантовой

_ Л І _ д Ф . _ О ф =

(35)

8ті2т0

Т

2*1 dt

тивистскими

скоростями.

С математической точки зрения в уравнении

(35)

бесчислен­

ное количество решений, но д а л е к о не все из них имеют

физи­

ческий смысл. Р е а л ь н ы е

значения

получают

те

решения

^ - ф у н к ­

ции,

которые

удовлетворяют

следующим

требованиям:

они

д о л ж н ы быть

конечными,

однозначными

и

непрерывными

вмес­

те со своими первыми производными по

координатам и

време­

ни.

К а ж д о е

из этих

требований

имеет

определенную

физиче­

скую основу. Так, если

бы tf-функция в

каких-то

точках

обра ­

щ а л а с ь в бесконечность,

это

означало

бы,

что

в тех

ж е

точках

о б р а щ а л а с ь

в

бесконечность

и

вероятность

проявления

какого-

либо свойства,

что лишено

физического

смысла . Н е

может

быть

•ф-функция

многозначной,

т. е. принимать

множество

значений

в одной и той

ж е точке

пространства д л я

одних и

тех ж е

физи­

ческих условий, в противном случае с ее помощью нельзя

было

бы делать никаких предсказаний . Наконец,

р а з р ы в ы г|з-функции

в сущности означали бы внезапное исчезновение частиц

в

мес­

тах

р а з р ы в а

и

такое

ж е

их

«воскрешение»

в местах,

где

-ф Ф О,

что немыслимо, но более существенной аргументацией

требо­

вания непрерывности ^ - функции,

а т а к ж е ее производной

я в л я ­

ется

постулированная

справедливость

уравнения

Ш р ё д и н г е р а .

ПРИНЦИП СУПЕРПОЗИЦИИ

Пусть найдены решения уравнения Ш р ё д и н г е р а

д л я

некото­

рой

задачи

і|)Ь

г|)2, т|>з, - ,

тогда

решением

т а к ж е

является

их ли­

нейная комбинация:

n

* =

2

ûj'V

(36)

j = l , 2 , ...

С математической точки зрения высказанное

предположение

вытекает из линейности самого уравнения

(35). О д н а к о подлин­

ное

с о д е р ж а н и е в ы р а ж е н и я (36) сводится

к утверждению,

что

оно

описывает реальную физическую ситуацию,

к а к ірі, гр2,

и

получения

общего. Без этого принципа невозможно объяснить,

например,

интерференцию волн информации . Его т а к ж е исполь­

W

=

J

ф*фаѴ.

(37)

— оо

О д н а к о

вполне

іможет оказаться,

что первое

найденное

решение

не

удовлетворяет

требованию

нормировки.

Тогда

пользуясь

принципом

суперпозиции, выбираем

новое решение

i | /

=

ai|5,

где

а — пока что неопределенный

постоянный множитель, и требу­

ем, чтобы интеграл (37) после

подстановки

в него

г|/

р а в н я л с я

единице:

-f-

оо

W =

a 2

(

^dV

=

I .

(38)

О т с ю д а

а =

•

(39)

Л/

j ^

d v

"

— оо

Следовательно,

г|/ является

у ж е

нормированным решением.

Принцип

суперпозиции

в

квантовой

механике

трактуется

иначе, чем в классической физике. В механике Ньютона

супер­

позиция двух величин А и

В — это

величина

в известном

смыс­

ле

наделенная

свойствами

исходных.

Так,

сумма двух

сил

fi -f- h

есть

сила f,

промежуточная

по величине и

н а п р а в л е н и ю

м е ж д у

fi и

f2 .

причем шансы

реализации состояний, входящих в суперпозицию

в соответствии

с принципом

Борна, пропорциональны

значениям

к в а д р а т о в модулей

с.

КВАНТОВЫЕ ОПЕРАТОРЫ.

СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ

МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН.

,

УРАВНЕНИЕ ДЛЯ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ

И ЗНАЧЕНИЙ ОПЕРАТОРОВ

Математический

аппарат

квантовой механики,

к а к

оказа ­

смысле оператором называется символ, который

показывает,

какое действие следует произвести н а д функцией,

написанной

рядом с ним справа, т. е. над функцией, которую

он « у м н о ж а ­

ет». М ы ставим последнее слово в кавычки, чтобы

подчеркнуть,

дифференцированию,

интегрированию

и другим

операциям,

но

в том

числе

иногда и к умножению . Оператор

какой - либо

вели-

л

чины

M будем обозначать M ,

а действие

его

на

функцию

f в

л

виде

произведения Мі . Существуют разные

классы операторов .

В квантовой

механике применяются линейные операторы, удов­

л е т в о р я ю щ и е

условию

Эрмита .

Линейность

в ы р а ж а е т с я

в

сле­

д у ю щ е м :

M i A + fo) =

M f 1 + M f , .

(40)

Операция от

суммы функций р а в н а сумме операций от слагае ­

мых. Смысл

второго условия выяснится ниже .

Одной из

в а ж н ы х

задач, решение

которых

связано с

приме­

ханических

величин.

В классической статистической физике среднее значение оп­

ределяется

в ы р а ж е н и е м

(см. «Элементы статистической физики»)

M = - J M d W .

(41)

З д е с ь

M — среднее

значение

величины

М ;

d W ' —в е р о я т н о с т ь

того

или иного

числового

значения М .

К в а н т о в а я вероятность по

Б о р н у

р а в н а

-ф**ф dV,

следователь ­

но,

м о ж н о

было бы

предположить,

что

квантовомеханическое

среднее

M

определяется

т а к ж е формулой

(41), если в нее

под­

ставить

вероятность

tj}*ij> dV,

однако

при

этом

получается,

вооб­

щ е

говоря,

неверный

результат . П р а в и л ь н о е

значение M

полу-

чится

л и ш ь

при

подстановке

в

уравнение

(41)

вместо

M

соот-

Л

ветствующего

оператора

М,

причем

его

действие

д о л ж н о

распространяться

л и ш ь

на

второй сомножитель

M =

J

ф*М<^Ѵ.

(42)

л

В ы р а ж е н и е

(42)

дает

правильное

значение

М,

если

M — линей­

ный оператор

и удовлетворяет требованию

M

=

J <|>»M->dV =

J

фМ*<5»*<іѴ =

M * .

(43)

Ф о р м у л а

(43)

к а к

раз

в ы р а ж а е т

условие

Эрмита .

Оно

базиру­

ется на вполне четкой физической основе.

Р е а л ь н о е

значение

имеют л и ш ь

вещественные

(не мнимые)

величины.

А _ к а к

из­

вестно, условие вещественности какой - либо величины M

сводит­

ся к тождеству

M = M * . Очевидно,

Эрмитово

соотношение

(43)

и выполняет это требование .

М о ж е т

ли

квантовая механика п р е д с к а з ы в а т ь не

средние, а

точные

значения

величины

М?

О к а з ы в а е т с я ,

при

соблюдении

р я д а условий

может .

Н а й д е м

эти условия.

Оператор

отклоне­

ния величины M

от ее среднего значения M есть

Л

/

\

_

Л

M .

(44)

ДМ =

M -

M =

/И -

В равенстве

(44)

мы

воспользовались

линейностью

оператора

Л

A M ,

а

т а к ж е

очевидным

утверждением,

что

оператор

постоян­

ного числа есть само число. В среднем это отклонение

д л я

слу­

чайных

величин

тривиальным

образом

равно

нулю,

ибо

поло­

ж и т е л ь н ы е отклонения компенсируются

отрицательными,

но

если

брать

абсолютное

значение A M , то

среднее от

него

не

рав ­

но нулю. Согласно

в ы р а ж е н и ю

(43)

среднее

абсолютное

| А М |

|ЛМ|

=

J ->*|М -

A" I +dV =

j

\Щ

-

Щ

dV.

(45)

М ы ищем точные значения М, но по определению

точное

значение

M

равно

среднему, т.

е. М, или

иначе:

д л я

точного

| Д М |

= 0 .

П р а в а я

часть

уравнения

(45)

в

силу произвольности

о б ъ е м а

и л|з — функции

обратится

в нуль л и ш ь

при

Мф — Щ = 0.

(46)

Полученное

в ы р а ж е н и е

называется

уравнением

д л я

собст-

Л

•ф, имеющие

физическое содержание,

д о л ж н ы

быть

конечными,

непрерывными и однозначными . Н а б о р

(спектр)

решений

д л я M

м о ж е т

быть или непрерывным, или дискретным .

М о ж е т

случить­

ся

так,

что

одному

собственному

значению M

будет

отвечать

л и ш ь одна

собственная функция -ф, т. е. M i ~

грь Мг ~

і|)2- Та­

кое

решение н а з ы в а ю т невырожденным . Н о м о ж е т

случиться,

что

какому - то собственному значению

M j соответствует

а

реше­

ний

']>, Mj — ф.1 ,

ф?,

ф ? , . . ., ф".

Тогда

решение

н а з ы в а е т с я

в ы р о ж д е н н ы м , причем число а (иногда

а — 1) н а з ы в а ю т

кратно ­

стью в ы р о ж д е н и я . Теперь у к а ж е м

способы

отыскания

операто ­

ров

в некоторых

в а ж н е й ш и х случаях . Общего пути их

н а х о ж д е ­

ния

нет. Н а в о д я щ и м и я в л я ю т с я исходные гипотезы,

в

частности

де Б р о й л я , методы проб и постулированные

рецепты.

ОПЕРАТОРЫ ВАЖНЕЙШИХ ДИНАМИЧЕСКИХ

ВЕЛИЧИН

Операторы проекций

импульса

Снова

обратимся

к равенствам

(28). Перепишем

их

несколь­

ко в ином

виде:

С р а в н и в а я эти уравнения

с в ы р а ж е н и е м

(46), у б е ж д а е м с я

в

их

полной эквивалентности, если

принять

M =

р х , р у , pz ,

а

опера­

т о р а м и проекций р следующие символы:

л

h

д

л

п с

> л

h

д

Р х

=

2п1 дк'

РУ "7 2тТі

dy;

P Z

= 2лі dz'

^

'

Операторы

кинетической

энергии

h 2

З а п и с а в уравнение

(31) в

виде — — — Д ф — Ек ф = 0

и

срав ­

нив его с уравнением

(46), найдем

оператор

кинетической

энер ­

гии

С к

8rJm0

8n2 m0

U x 2

ду*

dz*)'

V

'

Оператор

координат и потенциальной энергии,

гамильтониан

К о о р д и н а т ы

X, у, z во

всех

расчетах

выступают в виде пе­

ременных чисел,

которые

не у к а з ы в а ю т никакого действия

на д

функцией, написанной

рядом

с

ними,

кроме

умножения,

т а к

что операторами

координат

являются

они сами:

Л

Л

Л

х = х;

у =

у;

г

— г.

(50)

Оператором любой функции от одних

координат

т а к ж е

являет ­

ся

с а м а

эта

функция . Такова,

например,

потенциальная

энергия

U

(х, у,

г),

следовательно,

U = U ( x ,

у,

г).

(51)

Действие

операторов

функций

от

одних координат

сводится

к у м н о ж е н и ю

в

алгебраическом

смысле. Одним

из самых

в а ж -

Л

ных

является

оператор

полной

энергии — Гамильтониан

Н .

Он

равен сумме

операторов

кинетической

и

потенциальной

энергии

Д л я

отыскания

многих

операторов

о к а з а л о с ь применимым

следующее простое правило . Пусть

нам

известна

классическая

ф о р м у л а

какой - либо механической величины М,

т. е.

функция,

о п р е д е л я ю щ а я M

через

координаты

и

импульсы. Д л я

н а х о ж д е -

Л

ния

оператора

M

подставим

в

классическую

ф о р м у л у

вместо

если

встречается

к а к а я - т о

степень п,

то

будем понимать

ее как

п — кратное повторение

операции .

Р а с с м о т р и м

несколько

примеров.

Классическое

в ы р а ж е н и е

„

Р2

=

Px 2 + Py2 + Pz2

н

вместо

кинетической энергии Ь =

к—

к=.

• Подставим

Рх, р у , p z

операторы

h

д

h

д

h

д

2

й

считать

—-

да '

—

—

—

— и

р х

будем

2тл

2ш ду

2ъ\

дг

h2

д2

д в у х к р а т н ое дифференцирование, т. е.

р х = — • — • — .

Тогда

снова

придем

к

у ж е известному

нам

оператору

(49).

Классиче ­

с к а я

ф о р м у л а

проекций

момента

импульса:

L x

= y p z

— zpy ;

L y

=

zpx

— x p z ;

L z =

x p y

— yp x .

(53)

Согласно

только

что сформулированному

п р а в и л у находим опе­

р а т о р ы этих проекций:

л

h i d

d \

л

h ( д

д\

л

(

д

д\

л

h l /

д

•

д\

L x

= ^ ( 4 S i n ? ^ + c t g ö c o s c p 0 - J ;

л

hi /

д

д\

-

Ly = - 2 A c o s ' ? d b ~ c i g

s i

n f ^ ! ;

( 5 5 )

L z

=

~~ 2r. df

В дальнейшем

очень в а ж н о

знать

значение

оператора

L 2

в

сфе­

рических координатах . М ы приводим его, опуская в ы к л а д к и :

h 2

/

д

д

I

' д*\

h 2

U

= -

w

IdP +C t "&

Tb + ШП • ä^J = -

Д а '

(5 6 )

где Д ц > ?

— о п е р а т о р

Л а п л а с а

дл я сферы .

УСЛОВИЯ ОДНОВРЕМЕННОЙ ИЗМЕРЯЕМОСТИ

ДВУХ ВЕЛИЧИН

Д о п у с т и м, найдены

решения (46)

дл я собственных

функций

n собственных значений двух механических

величин А и В:

— Aà

=

0;

Щ -

В і =

0;

ф А

= фА'. ФА, . . . ;

(57)

'Ь =

фв, ФІ,

• • • ; А =

А ь А 2

, . . . ; В =

В 1 ;

В 2 , . . . .

З д е с ь могут

иметь

место дв а случая: либо

система

собственных

л

функций

оператора

А не совпадает с системой

функций

опера­

тора

В, либо

совпадает

с точностью

до постоянного

сомножите ­

л я С. П р е д п о л о ж и м , что в

каком - то

опыте

р е а л и з о в а н ы

усло­

вия,

соответствующие

собственным

функциям

-фА , тогда,

если

Ф "ФА, В ЭТОМ опыте

в о з м о ж н о

точное

измерение

величины А,

потому

что согласно в ы р а ж е н и ю

(46)

| А А | = (Ак — А ) = 0

и

невозможно

точное

измерение

величины

В, та к ка к г}>в Ф tju, а

следовательно,

и

| Д В | = £ 0 . Теперь допустим, что \|) В

совпадает

с ірА

(для простоты, не в

у щ е р б общности

вывода,

п о л о ж и м

С =

1), тогда

в

опытах

по измерению собственных

значений

А

реализуются

те

ж е условия,

ч т о . и

дл я В,

поэтому

в о з м о ж н о

одновременное

и

точное их

измерение.

О к а з ы в а е т с я ,

необходи­

мую предпосылку одновременной измеримости м о ж н о

в ы р а з и т ь

на операторном

«языке».

П о д е й с т в у ем на \|з— функцию (мы

полагаем,

что

Ч"А =

Ч'в =

= гр) с н а ч а л а оператором

л

потом

л

Л Л

л

А, а

В, получим

ВА-ф =

BAjtp,

т а к

к а к согласно первому

уравнению

(57) Аг|) =

А ^ -

Вынесем

л

л

постоянный

сомножитель Aj за

знак оператора В

AjB -ф. Соглас ­

но

второму

равенству (57)

это

будет

равняться

AjBjip-

Теперь

применим операции А и

В

к

г|з в обратной

последовательности,

Л Л

Л

=

Л

BjAjib.

Наконец,

возьмем

раз -

тогда АВф =

А В ^

BjAO =

л

л

ность двух операций А и В, примененных к if, в

различной

по­

следовательности:

Л

Л

Л

Л

Л

Л

Л

Л

BA'jj — А В ф =

(ВА — A B H ) =

( A j B j - B j A J

) - V .

(58)

Н о п р а в а я часть

уравнения

(58) равна

нулю, ибо

AjBj — произ­

ведение у ж е

обычных

чисел,

следовательно,

и л е в а я часть д о л ж ­

на равняться

нулю. Поскольку ipj — произвольная

функция

пол­

дится к

равенству

Л Л

Л Л

ВА -

A B -

0.

(59)

Уравнение

(59)

н а з ы в а ю т

условием

коммутативности

операто-

Л

л

ров А и В, или

просто коммутатором . И т а к , если

две

механиче­

ские величины

одновременно

измерены с

любой

точностью, то

их операторы коммутируют . Справедливо

и обратное: если опе-

Л

л

р а т о р ы А и В не коммутируют, соответствующие им

собствен­

ные значения не могут быть

одновременно

измерены точно. Д в а

соответствующей проекции

импульса:

Л Л

Л Л

h

Л Л

Л Л

h

( х р х -

рхх)-]> =

( х р х -

р х х ) =

2^і¥=0.

(60)

М ы видим, что

операторы

координаты

и импульса

некоммута ­

тивны, следовательно, х и

р х ,

а т а к ж е ,

разумеется, у

и р у , z и р ,

ранее

с ф о р м у л и р о в а н н о м у

принципу

Гейзенберга. С другой сто­

роны,

легко

показать,

что

операторы

к в а д р а т а

момента

импуль­

са и одной из его проекций, с к а ж е м

L z ,

коммутативны:

Л Л

Л Л

[

1

д2

д

д

I

1

д*\\

(L*LZ

- UL») ф =

l h ' [ -

^

w

щ

-

щ

{

- ^ щ

) \ ф = 0.

(61)

ПРИНЦИП СООТВЕТСТВИЯ

Если в квантовых

з а д а ч а х

реализуются условия,

которые

м о ж н о считать квазиклассическими

(относительно б о л ь ш а я мас ­

са частиц, высокие значения энергии,

макроскопические

разме ­

ры

геометрических

п а р а м е т р о в

и

т.

д . ) , то квантовомеханиче -

ские

решения д о л ж н ы

совпадать

с

классическими, поскольку

последние в таких

случаях безусловно

верны.

логических

принципов

физики вообще. Его соблюдение

м

о ж е т

с л у ж и т ь необходимым

критерием

правильности

построения

но­

вой теории,

но что еще

в а ж н е е , с

его помощью

нередко

удается

лучателя, д а н н ы е П л а н к о м , а затем

Эйнштейном,

и многие

дру­

гие примеры . Некоторые из них будут приведены

ниже .

З а к а н ч и в а я перечень в а ж н е й ш и х

постулатов

квантовой

ме­

ципов,

вот

у ж е

полстолетия

к а к

их

последовательное

примене­

ние о б о г а щ а е т науку и практику результатами

чрезвычайной

ценности.

В

качестве иллюстраций

достижений

квантовой

ме­

ханики

назовем истолкование

_ химической

связи,

объяснение

спектральных

закономерностей

и построение теории

твердых

тел. Во

всех

перечисленных

случаях

классическая

физика

ока­

з а л а с ь бессильной.

СТАЦИОНАРНОЕ СОСТОЯНИЕ

Основным

уравнением

нерелятивистской

квантовой

механи­

ки является

уравнение Ш р е д и н г е р а

—ь!_Дф+

иф = іь*!:.

( 6 2 )

8*2m

т

т

2к

dt

'

П о т е н ц и а л ь н а я

энергия U ,

в х о д я щ а я

в

это

уравнение,

в

общем

случае

зависит

от координат

и

времени.

О д н а к о

д л я

многих

практически

в а ж н ы х з а д а ч

U

является функцией

только

ко­

ординат, тогда,

как мы увидим,

распределение

плотности

ве­

В о л н о в ую функцию в

р а с с м а т р и в а е м о м

случае

м о ж н о пред­

ставить в

виде

произведения

двух

сомножителей .

^ ( x , y , z , t ) = ¥ ( x , y , z ) ? ( t ) .

(63)

Подставим

в ы р а ж е н и е

(63)

в

уравнение

(62)

и,

разделив

все

его члены

на W (х, у,

z)

<p ( t ) , получим

h 2

1

A T - U ( x . y , z ) = A _ i _ 5 .

•

(64)

8ті2 т T ( x , y , z )

2тЛ <f (t)

dt

Л е в а я

часть уравнения

(64)

зависит

только

от

координат, а

п р а в а я — от времени.

Они

могут быть

равными

л и ш ь

тогда,

когда

к а ж д а я

из них

в

отдельности

равна

одной

и

той

ж е

по­

стоянной.

В т а к о м случае

уравнение

(64)

распадается

на

два

независимых:

W

+ £ Ѵ

+ £ Г + 8 * ш (

Е

_ и

) Ч

Г =

( ) ;

( 6 5 )

д х 3

ду2

dz2

h 2

dt

h

П е р в о е уравнение

системы

(65)

называется

амплитудным

деленная

функция

W (х,

у,

z),

з а в и с я щ а я

л и ш ь

от

координат .

Р е ш е н и е

второго уравнения

(65)

легко

находится

ср = е

- . 2

* Et

.

(66)

h

К а к

видим,

ф гармонически

зависит

от

времени,

точно

т а к

ж е

зависит от времени и волна де

Б р о й л я

(27), я в л я ю щ а я с я

част­

ным

решением

системы

(65)

при

U = О, но по гипотезе

де Брой ­

л я

постоянная

Е

в в ы р а ж е н и и

(27)

есть

энергия.

Такой

ж е

смысл она

д о л ж н а

иметь

и

в системе

(65). Поскольку Е = hv,

уравнение

(66)

м о ж н о

переписать в

виде

ср =

е ~ і ш 1 .

Т а к и м образом, полное решение уравнения Шредингера д л я

стационарных з а д а ч имеет вид:

<Ь (х, у,

z, t)

=

47 (х, у,

z) e_ i 2 l c v t .

(67)

Подставив

(67)

в в ы р а ж е н и е

вероятности

пребывания

микро­

частицы

внутри

элементарного

объема

dV,

получаем

d W =

W * d V

= W (х, у, z) 47* (х, у, г)

е~ ^ешаV

=

4747*dV

(68)

и у б е ж д а е м с я ,

что

dW

действительно

не

зависит

от

времени:

состояние

стационарное .

Ч т о

касается

амплитудной

части

^ - ф у н к ц и и ,

то

ее

общее

в ы р а ж е н и е

не

может,

быть

у к а з а н о