книги из ГПНТБ / Писарев Н.М. Элементы квантовой механики и статистической физики [учеб. пособие]

n<p_D =

f<i>-D=

— .

(317)

e »

+

1

Функция

(317) называется распределением

Ферми — Д и р а ­

ка. Химический потенциал

р 0 , входящий

в в ы р а ж е н и е (317), по­

лучил особое

название — энергетический

уровень Ферми, или

имеет

четкий

физический

смысл — это

верхний

предел

энер­

гии

фермионов . Действительно,

если

•&

— 0,

а

ек >

и.о.

то

е

*

-> оо,

a

іф-г> =

0.

Это означает, что состояние с энергией

б о л ь ш е цо невозможно . С другой

стороны, если •& =

0, а е >

ро, то

іф-в

=

1. Следовательно,

энергия

при абсолютном

нуле

л е ж и т

в

пределах 0

ц0.

Н а к о н е ц ,

определим

среднее

число

бозонов в состоянии

с

з а д а н н ы м

значением

энергии. С н а ч а л а

подсчитаем

термодина -

мический

потенциал.

Введя

обозначение e

ô

=

q,

перепишем

ф о р м у л у

(299)

в тако м виде:

П = оо

Qk = — & l n £ q V =

—

ftln[l+q+

. . . +

q n

+

. . . ] .

(318)

nk=0

С у м м а

под

знаком

л о г а р и ф м а - — г е о м е т р и ч е с к а я

прогрессия.

Ч т о б ы

получить

физически осмысленное

значение

Qk, мы

д о л ж -

оо

ны

потребовать

сходимости

^

Q"k Д л

я

в с е х

значений

энергии

о

ек,

включа я

0.

Математически

это

возможн о

л и ш ь

при

q =

e 9

<

1,

а

это возможно,

если ц0

0. Т а к и м

образом,

2 q n '

= 1 ^

= ГГ7 ;

2 k = *

l n ( l

- e ~ ) .

(319)

п,=0

Среднее число

бозонов

согласно

в ы р а ж е н и ю

(311)

F B - 9 = f B - 3 =

^

^

(320)

е

&

_ 1

Это и есть

распределение

Б о з е — Эйнштейна .

Графически

все

три распределения при абсолютном нуле

и з о б р а ж е н ы на рис. 37.

Отметим одно в а ж н о е свойство

квантовых

распределений:

если

физические

условия таковы, что

ч л е н е

»

»

1 в ф о р м у л а х

(317)

и (320), то

распределения

Ф е р м и — Д и р а к а

и

Бозе — Эйнштей-

fo

С

Рис.

ЗІ

на

практически

совпадают

с

классическим

распределением

М а к с в е л л а — Б о л ь ц м а н а . В самом деле,

при

» 1

1

=

f М-Б -

О

*

± 1

Ч т о б ы подсчитать полное число частиц N , нужно

просуммиро­

вать соответствующие распределения по всем

значениям

энер­

гии. Д л я дискретного

спектра

энергии

гіЕг...

е п

N==

^ '

е

л

»

± 1

,

или N =

S -

*

.•

(321)

. -

:

> ; е

Если спектр

сплошной

или

почти

сплошной, то

число

частиц в

з а д а н н о м интервале состояний аГ паТ

=

f d r ,

a

во всем

фазо ­

вом

объеме

N

=

J î d r ,

(322)

г

где

f — то или иное

распределение.

О б ы ч но

полное

число частиц

известно з а р а н е е

из других со­

о б р а ж е н и й ,

а не по ф о р м у л а м

(321) и (322). В

таком

случае

оба эти в ы р а ж е н и я

с л у ж а т дл я определения

числового

значения

химического

потенциала .

Применительно

к квантовомеханическим

з а д а ч а м в ы р а ж е н и е

га

э л е м е н т а р н ы й

объем

одной

частицы

в ^.-пространстве

ApoxApoyApozAxoAyoAz0

= h 3 = Д Г 0 . П о этой

причине

фазовый

объем в квантовой механике измеряют

в б е з р а з м е р н ы х

едини-

,„

dr„drv

, р drpdr,-

цах

а Г—

!:

і_

в

частности в

и. — пространстве

а Г = — •

L

dr0

'

r

r

h 3

К р о м е сказанного,

в в ы р а ж е н и и

(322)

надо

учесть

еще

один

фактор . К а к

известно,

фазовый

объем

Г определяется

через

обобщенные координаты

и импульсы,

но элементарные

частицы

о б л а д а ю т

ещ е

одной

степенью

свободы — спином,

и,

чтобы

учесть эту внутреннюю

координату,

в ф а з о в ы й

объем

вводят

поправочный м н о ж и т е л ь

g,

который

н а з ы в а ю т коэффициентом

в ы р о ж д е н и я .

Н а п р и м е р ,

для электронов g =

2.

Это

говорит

о

том, что спин

электрона

имеет две проекции. Учитывая

все из­

ложенное,

имеем

N ^ ^ j J f d r p d V ^ ^ v J f d f p .

(323)

V

Основной

числовой

характеристикой

количества

частиц

являет ­

ся

концентрация

п 0

=

—, поэтому

целесообразно

ввести

ее

в

в ы р а ж е н и е (323) в явной

форме:

" î d r p .

(324)

Наконец,

если

интервал

состояний

d r

з а д а н не в импульсном,

а

в энергетическом

представлении,

то учитывая,

что d f p

=

дГр<ЭГр

- ïp - d е,

получаем

дЕ

n^w)idéé"

= w)p^ds

L p ( £ ) = = f ^}

( 3 2 5 )

ЧЕРНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ

Р а с с м о т р и м приложение

квантовой

статистики

к

излучению

Х а р а к т е р н а я особенность фотонного

газа

состоит в том, что

при взаимодействии с

веществом

фотоны

могут р о ж д а т ь с я

и

уничтожаться,

поэтому

число фотонов

в

заданном

объеме,

а

вместе

с тем и

ц0, не определены

и д о л ж н ы

быть

найдены

из

условия

равновесия. К а к известно,

при

равновесии

термодина ­

частности, свободная энергия

F

минимальна . В ы р а ж а я

условие

минимума при фиксированных

значениях Û и V, имеем

- т

^

-

=

^о =

0.

(326)

d n

( » , V)

Т а к и м

образом,

химический

потенциал

фотонов

равен

нулю.

З н а я

все перечисленные

свойства

фотонов, легко

найти

ос­

новные

статистические законы черного излучения. Среднее

чис­

л о фотонов в состоянии с

з а д а н н ы м

значением энергии

e =

h v

согласно

ф о р м у л а м (320)

и

(326)

пЕ

=

- — - — .

(327)

e t T

- 1

Умножив

это равенство на энергию фотона hv, на

коэффициент

в ы р о ж д е н и я g =

2 и на элемент фазового

объема

- 4 л р d p - dV =

h 3

—

,

получим энергию

излучения

в интервале

частот

d v

с 3

вблизи

заданной

частоты

dEvT =

—

—

dvdV.

(328)

c3(ek T

— 1)

Величина

рѵ т, р а в н а я энергии

излучения

в единичном

объеме и

И з ф о р м у л ы

(328) дл я

рѵ т получается

следующее

в ы р а ж е ­

ние:

dE, T

—

8*h3

•

(329)

Р<т - т ^ Г =

ь

dvdV

с з ( e k T

_

1)

Ф о р м у л а (329)

называется

законом

М.

П л а н к а .

"Ч*

К а к мы знаем, плотность

потока

частиц

идеального

газа

M ""V.

фотонов Ѵ = с,

~ч^-

lift С

У м н о ж и в ѵС р на

ѵ = ^ - Ѵ . Д л я

поэтому

ѵс р =

энергию одного фотона, получим спектральную

плотность

пото­

ка

излучения,

т. е. величину,

р а в н у ю энергии

излучения

с по­

через

гѵ т', найдем

Г ч Т =

v h

v =

s

—

-

.

(330)

с 2 ( e k T

—17

Испускательную способность м о ж н о представить в

виде функ­

ции X и Т, дл я чего используем дв а

равенства:

г (ѵ, T ) dv =

r (X, T) dX и |dv| = ~,

о т к у д а

г «

=

—

2к h с2

•

(331)

\ь ( e X k

T

- 1)

В ы р а ж е н и я (330) и (331)

т а к ж е

получены

М. П л а н к о м .

Зависимости г (ѵ, Т)

от ѵ

и г (X,

Т) от X

носят экстремаль ­

ный х а р а к т е р . Возьмем производную

от г (X,

Т) по X и

прирав ­

няем

ее к нулю, тогда

получится

трансцендентное

уравнение

х е * - 5 е * +

5 =

0

(х = ^

)

.

(332)

Это уравнение имеет единственный корень х = 4,965. Отсюда

длина волны Хм, на которую приходится

максимум

испуска­

тельной способности черного

излучения:

;

1

=

1

{Ъ = 2,897-Ю-7

м-град).

(333)

4.965

этот закон из феноменологической термодинамики .

Р а з у м е е т с я

теоретическое в ы р а ж е н и е постоянной Ъ было найдено

л и ш ь пос­

ле работ П л а н к а . Н а к о н е ц , определим полный поток

излучения

Исторические предпосылки развития квантовой механики

Общие

сведения

3

Строение

атома. Постулаты Бора

8

Гипотеза де Бройля. Возникновение

квантовой механики . . . .

11

Смысл Чг -функции. Статистическая трактовка Борном волн де Бройля .

13

Соотношение неопределенностей Гейзенберга. Принцип дополнительно­

сти

Н. Бора

16

Уравнение

Шредингера

18

Принцип

суперпозиции

20

Квантовые операторы. Средние значения механических величин. Уравне­

ние

для собственных функций

и

значений опараторов . . . .

22

Операторы важнейших динамических

величин

Операторы

проекций импульса

24

Операторы

кинетической энергии

24

Оператор

координат и потенциальной энергии, гамильтониан . .

24

Условия одновременной измеряемости двух величин

26

Принцип

соответствия

28

Стационарное

состояние

28

Частица в одномерней потенциальной яме

30

Частица в многомерной потенциальной яме

35

Ион в потенциальной яме энергии

взаимодействия с кристаллом

.

37

Прохождение микрочастицы через потенциальный барьер

Общие

сведения

39

Кажущаяся

парадоксальность

туннельного эффекта

44

Холодная эмиссия электронов из металла

45

Гармонический

осциллятор

Общие

сведения

47

Излучение

осциллятора

52

Приложение теории гармонического осциллятора . . . . . .

56

Дисперсионные, или Ван-дер-Ваальсовы силы

58

Атом водорода и водородоподобные ионы в квантовой механике

Общие

сведения

62

Вырождение состояний в атоме водорода

74

Излучение

атома

водорода

75

Орбитальный магнитный момент

78

Спин

электрона

79

Атомы в магнитном поле. Нормальный эффект Зеемана

82

Основы

теории

возмущений

84

Системы из большого числа частиц

88

Принцип

Паули

90

Периодическая

система элементов

Менделеева

91

Молекула

водорода

97

Природа

химической

связи

. ' . . .

105

Элементы

статистической физики

108