книги из ГПНТБ / Писарев Н.М. Элементы квантовой механики и статистической физики [учеб. пособие]

последующие поиски решения аплитудного уравнения

Ш р е д и н -

гера — основная

з а д а ч а механики

стационарных

процессов.

ЧАСТИЦА В ОДНОМЕРНОЙ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЯМЕ

Пусть

п о т е н ц и а л ь н а я , э н е р г и я

зависит только

от одной коор­

д и н а т ы

X, например

так,

к а к

это

и з о б р а ж е н о на

г р а ф и к е

(рис. 8) .

Если

частица

о к а з а л а с ь

в области минимума потен­

циальной

энергии U

(х), говорят,

что она находится

в

одно­

мерной яме . П о

оси

частица

будет испытывать

силу

f =

— — ,

эта сила

всегда

н а п р а в л е н а

в сторону

у б ы в а н и я

потенциальной

Рис.

8

•

Рис.

9

энергии

(знак

минус),

поэтому

частица не

м о ж е т покинуть яму,

если ее

энергия Е

не

больше

некоторого

предела,

зависящего

от глубины

я м ы

U 0 ,

т. е. разности м е ж д у

м а к с и м а л ь н ы м и

минимальным значениями U . Численное значение Е определя ­

ется начальными условиями и может быть

л ю б ы м .

Все

у к а з а н н ы е

особенности

д в и ж е н и я

получаются из зако ­

очередь предполагает знание

вида потенциальной функции U .

Во многих случаях функция U

известна теоретически, во мно­

когда

нет

ни теоретических,

ни

экспериментальных

данных,

вид U

з а д а ю т гипотетически.

U может иметь с а м ы е

разнооб ­

р а з н ы е

в ы р а ж е н и я , однако

все

решения

уравнения

Шрединге ­

ра д л я

частиц в

потенциальных

я м а х о б л а д а ю т

некоторыми

об­

щими

чертами,

которые легче

всего получить,

если

в ы б р а т ь

математически наиболее простую потенциальную яму.

Т а к о в а

одномерная

я м а

прямоугольной

ф о р м ы

(рис. 9) .

Глубина

ее

б о л ь ш а я , теоретически бесконечно

б о л ь ш а я . С р а з у

ж е

заметим,

что «угловатых» ям в природе нет,

ибо

все физические

функ­

ции U меняются

плавно . И х

и

быть

не

может,

в самом

деле,

в точках

0 и а (рис. 9 ) — — =

f

о б р а щ а е т с я в

бесконечность,

дх

но реальные силы всегда конечны, что и

д о к а з ы в а е т

отсутствие

углов. Тем не менее на практике

могут

встретиться такие функ­

ции U ,

которые

в окрестностях

некоторых точек

меняются,

решение получается математически легче, хотя

и в ущерб

стро­

гости.

З а п и ш е м

уравнение

Шредингера д л я

области

минимума

по­

тенциальной

энергии,

причем

UM hh

п о л о ж и м

р а в н ы м

нулю, так

к а к

н а ч а л о

отсчета

величины

U

м о ж н о

взять

произвольным .

С учетом

сказанного уравнение

в области 0 ^

х ^

а имеет вид

Ё!*: л . \(Щ = 0.

(69)

2я

/

З д е с ь постоянная

k = — К 2 т Е .

Д л я свободной частицы

( U — 0)

h

эта

постоянная согласно

де

Б р о й л ю

имеет

конкретный

смысл:

она

р а в н а модулю

волнового

вектора

—, и

ее

н а з ы в а ю т неред-

ко

волновым

числом.

О б щ е е решение

уравнения

(69)

очень

простое:

W =

Asin (kx — ô ) ,

где

А и

б •— произвольные

посто­

янные . Это решение однозначно

(периодическая

функция

счи­

тается однозначной в пределах своего главного

значения

аргу­

мента,

в

данном

случае

от — я

до

+ я ) ,

решение

т а к ж е

и ко­

нечно,

но, кроме

того,

оно

д о л ж н о

быть

непрерывным

во

всем

пространстве .

Выполнение

последнего

условия

даст

в о з м о ж ­

ность найти б и к. В

точках

О н а

я м а

ограничена

бесконечно

высокими потенциальными б а р ь е р а м и (так

н а з ы в а ю т

участки,

где

U

возрастает,

или глубину

я м ы

Ûo,

взятую

с

обратным

з н а к о м ) ,

частица

не

может

проникнуть в

область

барьеров,

д л я

этого т р е б о в а л а с ь

бы

бесконечно

б о л ь ш а я

энергия,

поэто­

му

ЧЧО) = Т

(а)

= 0 .

Отсюда

получаем

6 =

0

и,

кроме

того,

в а ж н е й ш е е

условие д л я k,

а

именно:

а к п

=

п я ,

п =

1, 2,

3

(п = 0

исключаем

ка к

тривиальное, та к

ка к это ведет к W (х)

=

= 0

всюду,

а

не

только

в

точках

0 и а ) .

Таким

образом,

k n

изменяется

скачками,

но

в

таком

случае получается, что спектр

энергии

дискретный:

E n

=

8n2 m

=

8 т а з

n 2 .

(70)

4

п называется квантовым числом. Вывод о прерывистом

х а р а к ­

тере

изменения энергии

ч у ж д

классической

физике и

я в л я е т с я

чисто

квантовым

эффектом . О д н а к о замечательно следующее:

если,

пользуясь формулой

(70),

найти

разность

двух

соседних

значений

энергии,

так

н а з ы в а е м у ю

энергетическую

ступеньку,

т. е. Еп-і — Е п ,

и

взять

отношение

этой разности

к Е„:

Е "

+ Ѵ ~ Е "

=

2 - ~ \ -

E n +

1 - E n = - ^ ( 2 n - l ) ,

. (71)

En

n

n 2

8 m a2

то легко

видеть,

что

при

больших

энергиях

( п - ѵ о о )

энергети­

ческие

ступеньки

становятся

ничтожно м а л ы м и по сравнению

с Е

и

спектр м о ж н о

считать

сплошным,

а

в

случае

больших

масс

m

или

р а з м е р о в

я м ы

а

квантование

Е

несущественно

и

при

м а л ы х

n

(формула

71).

Полученный

результат

подтверж ­

дает

справедливость принципа

соответствия.

Д л я

того

чтобы

определить

коэффициент

А

в

функции

W (х), используем условие нормировки . В

данном

конкретном

случае

оно

гласит:

частица,

о к а з а в ш а я с я

внутри ямы,

ограни ­

ченной

бесконечно

высокими

потенциальными

барьерами,

не

может

выйти из

нее

и

с полной

достоверностью

находится

в

одной

из

точек

ямы,

а

так

к а к

вероятность

достоверного

собы-

а

тия по

условию

равна

единице,

то

W

=

А 2

\

sin3

kxdx =

1,

о

2

о т к у д а А =

I /

~ , где а — ш и р и н а

ямы, следовательно,

Ч? п (х)

=

2

sin

kx.

Теперь

определим

распределение

плотности

вероятности об­

н а р у ж е н и я

микрочастицы

в

различных

состояниях:

d W

=

j»Fn i2 dx;

—

=

A 2 s i n 2

— X .

dx

„

a

I .

Р а с с м о т р и м

невозбужденное

(основное)

состояние

мик­

рочастицы.

Д л я

такого

состояния

n =

1.

Вероятность

пребы ­

вания

вблизи

центра

потенциальной я м ы м а к с и м а л ь н а

(рис\ 10).

О д н а к о

частица

м о ж е т находиться

в различных

точках

интер­

в а л а

[0,

а].

II . П р и

п =

2

—

=

A 2

sin 2

— X .

dx

а

Если

частица

находится

во втором

возбужденном

состоя­

32

4

С увеличением квантового числа растет количество

макси­

мумов на

кривой распределения плотности вероятности.

П р и

очень больших п количество максимумов

т а к

велико, что ве­

роятность

н а х о ж д е н и я микрочастицы во

всех

областях

отрез-

ка а м о ж н о считать

одинаковой,

точно

т а к ж е

как и д л я клас ­

сической частицы.

Это

является

еще

одним

подтверждением

справедливости принципа

соответствия.

£<

1

\

-

\

/

\

'I1

\

i

s

\

3?,

ос'

х г

X

Рис.

12

Р а с с м а т р и в а я рис.

10, м о ж н о

заметить

аналогию м е ж д у

г р а ф и к а м и а м п л и т у д ы

волновой

функции и г р а ф и к о м изменения

а м п л и т у д ы стоячей

волны, возникающей при возбуждении стру­

ны, закрепленной

в двух точках х = 0, х = а. Внутри

потенци­

альной

я м ы возникает «стоячая волна вероятности», и

поэтому

нередко

процедуру

решения стационарных з а д а ч н а з ы в а ю т ме­

( х )

=

1 / ' — s i

n — х >

En,

i l l

8га й і 2 '

2

.

п2тс

Еп3 —

h2

п 2

2

* ( у )

— s i n — у ,

8 т а 2 2 '

а 2

os

Т а к и м образом, полные собственные функции

и

значения

энер ­

гии

будут

зависеть

от

двух

квантовых чисел

ni

и

п 2 :

По ТС

«"n„ п , ( х , у )

=

і / Г

^ - З І П

( ^ Х sin

аI2

— '

у | ;

8 m Vat 2

1

а 2 2 /

Теперь

предположим,

что

микрочастица

д в и ж е т с я в

некото­

рой области трехмерного пространства и

потенциальная

энер­

гия

частицы

является

функцией

от

трех

переменных

х,

у, г.

Н а

границе

потенциальная

энергия частицы пусть р а в н а

беско­

нечности,

а внутри

области — нулю, т. е.

при

х < 0 ,

при

X >

Я і

!

О < X <

Оі,

)

х < 0 ,

U =

О < у < а 2 ,

U = 0.

У >

а2;

О < z <

а 3

z < 0 ,

z >

а3;

)

В таком случае

говорят,

что

микрочастица

находится

в

«по­

нию

предыдущей

задачи,

собственные

функции

у ж е

будут за­

висеть от

трех квантовых

чисел

п ь

n 2 , п 3 .

Тп„ п„ п3

(х, у, z) = 1 /

— — sin

f ^ x

) sin

f ^ y

) sin

В в ы р а ж е н и е д л я

энергии

т а к ж е

войдут три

квантовых

числа:

Е _

h / " і 2 J "з2

J n3 s

8m V^!2

я 2

2

й з !

М ы

видим, что количество

квантовых

чисел,

от

которых

зави ­

сят

собственные

функции

и собственные

значения

парамет -

ров, равно числу

степеней свободы

микрочастицы .

Этот

вывод

п о д т в е р ж д а е т с я

и

при

решении

других

з а д а ч

квантовой

меха­

ники.

В з а д а ч а х о движении микрочастицы в двухмерной и трех­

мерной

я м а х

может

н а б л ю д а т ь с я

энергетическое

в ы р о ж д е н и е

состояний. Н а п р и м е р , пусть

потенциальный

я щ и к

имеет

куби­

ческую

форму,

тогда

E

=

- ^

K

2

+

n 2

2

+

n32 ).

(72)

Р а с с м о т р и м

три квантовых

состояния.

Первое пусть характе ­

ризуется

набором

квантовых

чисел

Пі =

1,

п 2 = 1 ,

п 3

= 2;

вто­

р о е — набором

П і = 1 ,

гі2 =

2,

п 3 = 1 ;

третье — набором

гц

=

= 2, П2 =

1, пз =

1. И з

ф о р м у л ы (72)

следует,

что

во

всех этих

случаях

энергия

микрочастицы

одна

и

та ж е

(е

=

-~-

-6^'

следовательно, рассмотренные состояния я в л я ю т с я

в ы р о ж д е н ­

ными. С ростом п степень

в ы р о ж д е н и я

увеличивается .

ИОН В ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЯМЕ ЭНЕРГИИ

ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

С КРИСТАЛЛОМ

Рассмотрим более реальную з а д а ч у о движении

частицы

в

потенциальной

яме .

Допустим,

у

поверхности

кристалла,

которую

м о ж н о

счи­

тать плоской,

о к а з а л с я

ион

с з а р я д а м

q,

под

действием

элек ­

тростатического

поля этого

з а р я д а

в

кристалле

возникнет

за­

р я д - и з о б р а ж е н и е

q',

который

согласно

з а к о н а м

электродинами ­

ки в бесконечной среде, ограниченной плоскостью,

представлен

формулой

q' =

-

^

q .

(73)

е2 + е 1

Здесь

ег — диэлектрическая

проницаемость

к р и с т а л л а ,

еі — диэлектрическая

проницаемость

среды,

где

находит­

ся

ион.

Т а к и м образом, взаимодействие

м е ж д у

ионом

и

кристаллом

в ы р а ж а е т с я

кулоновой

силой

п р и т я ж е н и я

з а р я д о в

q

и q'.

П о ­

тенциальная

энергия

этой системы

U = - S S L ,

( 7 4 )

где во — электрическая

постоянная;

г — расстояние

от

иона

до поверхности к р и с т а л л а

(рис.

11).

* Задача, решенная

H . М. П и с а р е в ы м .

В в ы р а ж е н и я х (79) и

(80)

С п — постоянная нормировки . П о д ­

с т а в л я я X в уравнения

(76),

находим

g =

1

(е2 --. £,)2д*т*

_ а

^ l5!2iilî2±li)Jl!

/gj\

n

n 2

32e0

2 E l 2

(ea

-;- sj)2

h2 '

" ^

я (e2

-

ei) m*qs *

'

i_

Д л я

нормального

состояния

(n =

l )

Q =

a i 2

,

следовательно,

согласно

в ы р а ж е н и я м

(76)

и

(80)

4F1 = 2 a 1 ^ r e ~ « T .

( 8 2 )

П а р а м е т р

а\

соответствует

наивероятнейшему

расстоянию иона

от

поверхности

кристалла .

В

случае

проводника

ег

следует

п р и р а в н я т ь бесконечному

значению,

тогда

Е

п

=

_

- L _ ü l E ! _ .

(83)

Если

ж е

ei =

оо, то

Е п

=

0, это

естественно:

ион

не

м о ж е т

воз­

действовать на

кристалл,

находясь

в

проводнике.

М ы снова

видим,

что

энергия

квантуется, причем легко про­

верить:

если

п - * - о о ,

квантование

не

существенно,

к а к

того и

требует

принцип

соответствия.

Р е з у л ь т а т ы

этой

з а д а ч и

могут

быть

полезными

в теории

с л о ж н ы х

промышленных

растворов,

с о д е р ж а щ и х

макрокристаллические

включения,

ионы и

нейт­

р а л ь н ы е

атомы .

ПРОХОЖДЕНИЕ МИКРОЧАСТИЦЫ ЧЕРЕЗ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ

\

БАРЬЕР

О б щ и е сведения

Если

м е ж д у

д в у м я областями

пространства

существует

мак ­

симум

потенциальной

энергии

Uo,

говорят,

области

разделены

потенциальным

барьером . Н а

рис.

12 и 13 и з о б р а ж е н

одномерный

потенциальный

барьер,

где

U — функция

координаты

х. Р а с ­

смотрим

поведение

классической

частицы,

д в и ж у щ е й с я

вдоль

оси

X . Пусть

эта

частица

д в и ж е т с я

слева

н а п р а в о и ее

п о л н а я

энергия

Е

меньше, чем

U 0

. В

т а к о м

случае

она

не

пройдет

че­

рез

барьер .

Действительно,

чтобы

преодолеть

барьер,

н у ж н о

совершить работу численно р а в н у ю высоте

б а р ь е р а

Uo,

но

ра­

бота

д о л ж н а

совершиться

за

счет

з а т р а т ы

энергии

Е,

которая

по условию меньше Uo. Следовательно,

если

частица

пройдет

через

барьер,

нарушится

закон

сохранения

энергии. Точно

т а к

ж е

легко

показать,

если

энергия

классической частицы

Е >

Uo,

она

обязательно

проникнет

через

барьер .